gelombang soliter untuk persamaan KdV 4.6, yaitu a, γ dan C
yang semuanya bergantung pada T. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter
lainnya dapat ditentukan. Parameter C menyatakan kecepatan phase gelombang
soliter tak terganggu, parameter a menyatakan amplitudo gelombang, sedangkan parameter
γ memberikan panjang gelombang soliter tak terganggu.
4.3 Gelombang Soliter Terganggu
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian U
1
pada persamaan 4.7 yang dituliskan kembali sebagai berikut :
. dengan
. . Dari Grimshaw dan Mitsudera [12], adjoint dari bentuk homogen persamaan
4.18 adalah , .
dengan ketika
∞. Dapat ditunjukan bahwa penyelesaian persamaan 4.20 adalah U
pada persamaan 4.16, V = 1 dan dengan .
dimana ,
. . Bukti diberikan pada lampiran 3. Selanjutnya, persamaan 4.18 memiliki
penyelesaian, jika memenuhi kondisi terselesaikan berikut . .
Jika pada persamaan 4.19 disubstitusikan ke persamaan 4.23, maka
diperoleh . .
Persamaan 4.24 yang diperoleh di atas merupakan rata-rata perubahan energi bagi gelombang soliter pada dasar yang bervariasi dengan sangat lambat slowly
varying. Jika persamaan 4.16 disubstitusikan ke persamaan 4.24, maka diperoleh
. .
Jika diasumsikan bahwa pada
∞, persamaan 4.18 dan 4.19 diintegralkan terhadap , maka diperoleh
, . dengan
. . Jadi
bila ∞, dengan
. . Jika
pada persamaan 4.16 disubstitusikan ke persamaan 4.28, maka diperoleh
. . Penurunan persamaan 4.29 diberikan pada lampiran 4.
Penyelesaian persamaan 4.26 dan 4.27 dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan homogen dan tak homogennya. Penyelesaian persamaan homogen
untuk pada persamaan 4.26 adalah
dan w pada persamaan 4.21. Bukti untuk ini dapat dilihat pada lampiran 5. Adapun Wronskian dari
dan w adalah . .
Selanjutnya, penyelesaian tak homogen persamaan 4.26 dan 4.27 akan ditentukan dengan metode variasi parameter. Untuk itu, misalkan
dipisahkan kedalam penjumlahan dua fungsi, yaitu dan
yang masing-masing merupakan fungsi genap dan fungsi ganjil dalam . Karena fungsi
genap, maka persamaan 4.28 terpenuhi bila =
. Dengan demikian penyelesaian umum dari persamaan 4.26 dan 4.27 dimisalkan dalam
bentuk .
dengan dan
untuk ∞.
Jika persamaan 4.31 disubstitusikan ke persamaan 4.26, maka diperoleh persamaan untuk
dan berikut :
. dan
. dengan
, . . .
Penurunan persamaan 4.32 - 4.35 diberikan pada lampiran 6. Bentuk
pada persamaaan 4.16 memenuhi . .
sehingga penyelesaian tak homogen persamaan 4.32 adalah .
dengan , .
dan penyelesaian tak homogen persamaan 4.33 adalah . .
Berdasarkan persamaan 4.37 dan 4.39, diperoleh bahwa hanya yang
bergantung pada
.
, sedangkan dan
tidak. Selain itu, pada tingkat
kajian ini tidak ditentukan. Hal ini dapat dikembangkan pada kajian lebih lanjut dalam menentukan koreksi kecepatan phase orde kedua
.
, sehingga tanpa mengurangi perumuman
bentuk dapat diabaikan.
Selanjutnya, persamaan 4.8 yang merupakan persamaan orde kedua dari hampiran asimtotik, akan digunakan untuk menurunkan suatu persamaan bagi
kecepatan phase gelombang soliter terganggu. Untuk itu, tinjau persamaan 4.8 yang ditulis kembali sebagai berikut :
, . dengan
. . dengan
adalah fungsi turunan dari di
. Hampiran fungsi
diberikan oleh О
. . Persamaan 4.40 memiliki penyelesaian, jika memenuhi kondisi
terselesaikan berikut . .
Jika pada persamaan 4.41 disubstitusikan ke persamaan 4.43, maka diperoleh
. . Jika metode integral parsial digunakan pada persamaan 4.44 dengan
pada ∞ dan
di ∞, maka diperoleh
. . Persamaan 4.45 menyatakan rata-rata perubahan energi bagi gelombang
soliter terganggu, sedangkan rata-rata perubahan energi bagi gelombang soliter tak terganggu diberikan oleh persamaan 4.24. Bukti untuk ini diberikan pada
lampiran 7. Selain itu, persamaan 4.45 bergantung pada , sedangkan
bergantung yang merupakan koreksi kecepatan phase gelombang soliter terganggu, yang secara ekplisit termuat dalam persamaan 4.44.
Selanjutnya, jika persamaan 4.31, 4.37 dan persamaan 4.38 disubstitusikan ke persamaan 4.45, maka diperoleh
. dengan
. .
dan
.
Ruas kiri dan kanan dari persamaan 4.46 bergantung pada , dan berupa
persamaan diferensial dengan fungsi dari T yang akan ditentukan. Penurunan
persamaan 4.46 – 4.49 diberikan pada lampiran 8. Selanjutnya, bila diasumsikan
, maka dari persamaan 4.34 diperoleh = 0, sehingga dari persamaan 4.38
= 0 dan G = 0. Dengan demikian bentuk integral sebelah kiri persamaan 4.46 juga sama dengan nol. Jadi berdasarkan
persamaan 4.46, diperoleh .
Secara ringkas prosedur untuk memperoleh dilakukan sebagai berikut.
Misalkan diberikan , yaitu suatu fungsi yang bergantung pada U. Fungsi
di digunakan pada persamaan 4.25, 4.29, 4.47 dan 4.48 yang
masing-masing memberikan persamaan untuk ,
, dan
. Nilai-nilai ,
, dan
digunakan pada persamaan 4.50 untuk memperoleh persamaan bagi
. Besaran diperoleh sebagai penyelesaian dari suatu persamaan differensial.
4.4 Studi Kasus 4.4.1 Kasus pertama
