Kolom kedua menyatakan hari pengamatan yang terdiri dari hari pertama hingga hari ke-991. Kolom ketiga menyatakan harga penutupan dari indeks LQ45 dalam
991 hari pengamatan. Kolom keempat menyatakan return indeks LQ45. Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-i yang dihitung menggunakan model
GARCH dengan nilai awal ω = 0.000040, α = 0.2, dan β = 0.5. Sedangkan kolom
keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi kemungkinan. Selanjutnya hasil pendugaan parameter model GARCH dapat dilihat
dari Tabel 3 berikut: Tabel 3 Hasil pendugaan parameter model GARCH dengan solver
Parameter Nilai Dugaan Parameter
0.000025 α
0.175269 β
0.713004
Dari Tabel 3 di atas, diketahui bahwa solver memberikan nilai kemungkinan maksimum 5663.178178 dengan nilai taksiran parameter
ω = 0.000025, α = 0.175269, dan
β = 0.713004. Dari hasil pendugaan parameter yang telah dilakukan dengan solver,
selanjutnya model GARCH yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
. .
.
dengan, = ragam pada saat-t
= return pada saat-t.
4.2.2 Parameter EWMA
Proses pendugaan parameter model EWMA dilakukan dengan menentukan nilai
λ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan yang diberikan. Secara iteratif, dengan bantuan menu solver pada Microsoft Excel, pendugaan
parameter memerlukan nilai awal λ dengan syarat λ 0. Pada penelitian ini,
pendugaan dilakukan dengan memberikan nilai awal λ = 0.4. Hasil perhitungan
fungsi kemungkinan dapat dilihat dari Tabel 4 berikut. Tabel 4 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model EWWA
Tanggal Hari
Ke-i Harga
Penutupan Return
Ragam Kemungkinan 1-Jan-04 1 151.9
2-Jan-04 2 155.5 0.02342332
5-Jan-04 3 161.02 0.03488285
0.000549 3.451943
6-Jan-04 4 161.33 0.00192338
0.000950 5.117348
7-Jan-04 5 157.26 -0.02555150
0.000382 4.322779
… … … …
… …
27-Dec-07 990 599.6
0.00983800 0.000439
5.671512 28-Dec-07 991 599.82
0.00036700 0.000234
6.522014 Total Kemungkinan
4783.357927
Tabel 4 menunjukkan perhitungan awal sebelum parameter nilai awal λ diduga
dengan menggunakan solver. Kolom pertama menunjukkan tanggal pengamatan data yang dimulai dari 1 Januari 2004 dan berakhir pada 28 Desember 2007.
Kolom kedua menyatakan hari pengamatan yang terdiri dari hari pertama hingga hari ke-991. Kolom ketiga menyatakan harga penutupan dari indeks LQ45 dalam
991 hari pengamatan. Kolom keempat menyatakan return indeks LQ45. Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-i yang dihitung menggunakan model
EWMA dengan λ = 0.4. Sedangkan kolom keenam menyatakan nilai logaritma dari
fungsi kemungkinan. Dengan menggunakan nilai awal λ = 0.4, diperoleh nilai
Fungsi Kemungkinan sebesar 4783.357927. Pendugaan dengan menggunakan solver pada Microsoft Excel pada prinsipnya akan menentukan parameter
λ yang memaksimumkan nilai fungsi kemungkinan. Hasil pendugaan dengan nilai awal
λ = 0.4 diperoleh nilai maksimum dari fungsi kemungkinan adalah 5613.151875
dengan nilai λ = 0.906374. Selanjutnya dalam penelitian ini, digunakan nilai
parameter λ = 0.906374 dalam melakukan pendugaan volatilitas untuk model
EWMA sebagai berikut :
. .
dengan adalah ragam pada saat-t dan = return pada saat-t.
4.2.3 Parameter Power EWMA
Proses pendugaan parameter model Power EWMA P-EWMA dilakukan dengan menentukan nilai k dan
λ. Dengan menggunakan data return LQ45 periode 2004-2008, secara iteratif, pendugaan parameter dilakukan dengan
bantuan solver pada Microsoft Excel. Pendugaan dilakukan dengan memberikan sebarang nilai awal k dan
λ. Pada penelitian ini pendugaan dilakukan dengan memberikan nilai awal k = 1 dan
λ = 0.8. Hasil perhitungan fungsi kemungkinan dapat dilihat dari Tabel 5 berikut.
Tabel 5 Perhitungan awal fungsi kemungkinan P-EWMA
Tanggal Hari
Ke-i Harga
Penutupan Return
Ragam Kemungkinan 112004
1 151.90 122004
2 155.50 0.023423
152004 3 161.02
0.034883 0.000549
0.351252 162004
4 161.33 0.001923
0.000668 0.767210
172004 5 157.26
-0.025551 0.000561
0.492091 … … … … …
… 12272007
990 599.60 0.009838
0.766400 0.766400
12282007 991 599.82
0.000367 0.958310
0.958310 Total Kemungkinan
826.576741
Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-t yang dihitung menggunakan model P-EWMA. Kolom keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi
kemungkinan dari distribusi GED. Dengan bantuan solver diperoleh nilai maksimum dari fungsi kemungkinan = 992.260611, dengan k = 1.592196, gk =
1.157126, dan λ = 0.930125. Nilai k = 1.592196 memenuhi asumsi kurva
leptokurtik. Selanjutnya, nilai parameter penduga yang diperoleh digunakan untuk
menghitung dugaan volatilitas masa mendatang dengan model P-EWMA sebagai berikut:
.
.
.
. | |
.
dengan adalah ragam pada saat-t dan = return pada saat-t.
4.3 Pendugaan Volatilitas di Masa Mendatang
Pada bagian ini akan dibahas pendugaan volatilitas di masa yang akan datang dengan menggunakan model GARCH, EWMA dan P-EWMA. Untuk
pendugaan volatilitas digunakan data indeks LQ45 periode 2008-2011. Dengan ketiga model tersebut, akan ditaksir besaran volatilitas dengan menggunakan
periode 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan dengan tingkat kepercayaan 95.
Hasil pendugaan dalam periode 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan dapat dilihat dari Tabel 6, Tabel 7 dan
Tabel 8 berikut. Hasil pendugaan lengkap dapat dilihat dari Lampiran 2, Lampiran 3 dan Lampiran 4.
Tabel 6 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan
Periode Volatilitas
Aktual GARCH
EWMA P-EWMA
1 0.0293 0.0171 0.0196 0.0201
2 0.0232 0.0159 0.0195 0.0212
3 0.0130 0.0119 0.0100 0.0110
4 0.0193 0.0137 0.0169 0.0177
5 0.0500 0.0554 0.0608 0.0597
… … … … …
23 0.0152 0.0167 0.0189 0.0174
24 0.0296 0.0202 0.0282 0.0281
Tabel 7 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan
Periode Volatilitas
Aktual GARCH
EWMA P-EWMA
1 0.0280 0.0219 0.0250 0.0246
2 0.0155 0.0119 0.0098 0.0107
3 0.0236 0.0209 0.0289 0.0281
4 0.0467 0.0292 0.0355 0.0348
5 0.0172 0.0195 0.0213 0.0213
… … … … …
15 0.0214 0.0157 0.0177 0.0178
16 0.0203 0.0114 0.0115 0.0130