g | | ,
dengan:
g .
Penduga power EWMA adalah kasus khusus dari model N-GARCH Higgins Bera 1992. Ragam model N-GARCH pada waktu t +1 dirumuskan :
| | 15 dengan
, dan adalah parameter estimasi. Ketika dan
g , persamaan 15 tereduksi menjadi penduga Power EWMA sebagai
berikut Guermat Harris 2002: g
| | . 16 Dengan mensubstitusi
g |
| ke persamaan 16 diperoleh:
g |
| g
| | g
| |
g | |
g |
| g
| | . 17
Jika persamaan ini dilanjutkan sampai lag ke-j dengan j adalah maksimum lag, persamaan 17 menjadi sebagai berikut :
g |
| . Jika j
→∞ dengan 0 λ 1 maka . Persamaan 18 dapat ditulis menjadi:
g |
| .
dengan g
.
4.2 Parameter Model
Proses pendugaan parameter model GARCH, EWMA dan P-EWMA diperoleh melalui solusi numerik dengan menggunakan metode maximum
likelihood kemungkinan maksimum. Metode ini digunakan untuk menentukan nilai parameter yang memaksimumkan fungsi kemungkinan yang diberikan
dengan menggunakan data return LQ45 periode 2004-2007 sebanyak 991 data pengamatan. Dengan bantuan menu solver pada Microsoft Excel, pendugaan
parameter dilakukan dengan terlebih dulu menentukan nilai kemungkinan dan total nilai kemungkinan untuk sebarang nilai awal yang diberikan, selanjutnya
secara iteratif diduga total nilai kemungkinan maksimum dan parameter yang memaksimumkan total nilai kemungkinannya.
4.2.1 Parameter GARCH
Pada model GARCH, akan ditentukan nilai ω, α, dan β. Pendugaan
dilakukan dengan memberikan nilai awal ω = 0.000040, α = 0.2, dan β = 0.5.
Hasil perhitungan dengan nilai awal tersebut diperoleh total nilai kemungkinan maksimum sebesar 5605.806572. Perhitungan fungsi kemungkinan model
GARCH dapat dilihat dari Tabel 2. Tabel 2 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model GARCH
Tanggal Hari
ke-i Harga
Penutupan Return Ragam
Kemungkinan 1-Jan-04
1 151.9
2-Jan-04 2
155.5 0.023423
5-Jan-04 3 161.02 0.034883 0.000549 3.451943
6-Jan-04 4 161.33 0.001923 0.000558 5.646797
7-Jan-04 5 157.26 -0.025551 0.000320
4.167313 … … …
… … …
27-Dec-07 990 599.6 0.009838 0.000244
6.084023 28-Dec-07 991 599.82
0.000367 0.000181 6.776723
Total Kemungkinan 5605.806572
Tabel 2 menunjukkan perhitungan awal sebelum parameter model GARCH diduga dengan menggunakan solver. Kolom pertama menunjukkan tanggal pengamatan
data yang dimulai dari 1 Januari 2004 dan berakhir pada 28 Desember 2007.
Kolom kedua menyatakan hari pengamatan yang terdiri dari hari pertama hingga hari ke-991. Kolom ketiga menyatakan harga penutupan dari indeks LQ45 dalam
991 hari pengamatan. Kolom keempat menyatakan return indeks LQ45. Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-i yang dihitung menggunakan model
GARCH dengan nilai awal ω = 0.000040, α = 0.2, dan β = 0.5. Sedangkan kolom
keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi kemungkinan. Selanjutnya hasil pendugaan parameter model GARCH dapat dilihat
dari Tabel 3 berikut: Tabel 3 Hasil pendugaan parameter model GARCH dengan solver
Parameter Nilai Dugaan Parameter
0.000025 α
0.175269 β
0.713004
Dari Tabel 3 di atas, diketahui bahwa solver memberikan nilai kemungkinan maksimum 5663.178178 dengan nilai taksiran parameter
ω = 0.000025, α = 0.175269, dan
β = 0.713004. Dari hasil pendugaan parameter yang telah dilakukan dengan solver,
selanjutnya model GARCH yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
. .
.
dengan, = ragam pada saat-t
= return pada saat-t.
