Morgan menggunakan model EWMA untuk memperkirakan volatilitas dari ragam berdistribusi normal Hull 2006. Dalam model EWMA, ragam periode
berikutnya didefinisikan sebagai rata-rata terbobot dari ragam dan kuadrat return periode ini,
9 dengan adalah ragam periode t,
adalah return periode t dan λ adalah faktor
peluruhan. Dengan substitusi rekursif, estimator EWMA standar dapat ditulis sebagai berikut:
… Secara umum, ragam EWMA dihitung dengan formula sebagai berikut:
∞
Secara matematis, model EWMA diturunkan dari model GARCH1,1 sebagai berikut :
. 10 Dengan mensubstitusi
ke persamaan 10 diperoleh: . 11
Jika persamaan ini dilanjutkan sampai lag ke-j dengan j adalah maksimum lag, persamaan 12 menjadi sebagai berikut :
Jika j →∞ dengan 0 β 1 maka 1- → 1 dan → 0. Persamaan 12 dapat
ditulis menjadi: .
Model EWMA yang dikembangkan Morgan merupakan model GARCH1,1 dengan K = 0,
α = 1 - λ dan β = λ.
2.7 Pendugaan Parameter GARCH dan EWMA
Pendugaan parameter model GARCH dan model EWMA akan dilakukan dengan metode kemungkinan maksimum maximum likelihood menggunakan
data historis return indeks saham LQ45 periode 2004-2007, sebanyak 991 data pengamatan. Melalui metode ini akan diperoleh penaksir terbaik yang nilainya
akan memaksimumkan fungsi kemungkinan likelihood. Diasumsikan terdapat m data pengamatan
, , … , yang
berdistribusi normal dengan rataan nol dan varian . Fungsi kepekatan peluang dari , i = 1, 2, …, m adalah:
√ exp
Fungsi kemungkinan dari m pengamatan adalah: L
, …
√ exp
√ exp
√
exp ∑
Maksimumkan fungsi kemungkinan dapat diperoleh dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi kemungkinan.
ln L ln √
Kondisi orde pertama untuk memaksimumkan ln L adalah
L
. Sehingga diperoleh
. Definisikan
adalah ragam pada hari ke- dan distribusi
peluangnya normal. Dengan cara yang sama diperoleh fungsi kemungkinan: L
exp
ln L ln
‐
ln
ln
ln
Sehingga ekuivalen dengan memaksimumkan ln
. Pendugaan parameter model EWMA dilakukan dengan menduga nilai
maksimum dari persamaan 13 dengan metode kemungkinan maksimum yang mengasumsikan bahwa volatilitas tidak konstan. Nilai maksimum yang diperoleh
akan menunjukkan penduga parameter
yang dicari, di mana nilai volatilitas pada hari ke-i
bergantung pada parameter
seperti ditunjukkan pada persamaan 9.
Proses pendugaan parameter model EWMA dengan algoritma Steepest Descent Bertsekas 2003 dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 Diagram alir pendugaan parameter model EWMA. Selanjutnya, untuk memudahkan proses pendugaan dilakukan dengan pendekatan
numerik menggunakan menu solver pada Microsoft Excel. Input ; i = 1:991
L ln
; TL = 0 ; = 0.4 ; α = 0.1
TL TL
Stop ;
: L
ln ;
: TL
∑ L
TL Maksimum
= +
αd ; d ,
dengan TL’ .d 0
N Y
Start
