Modified Exponentially Weighted Moving Average Model to Estimate Stock Volatility in Indonesia Stock Exchange (Case Study: LQ45 Index).

RAT

TAAN BE

UNTUK

IN

MOD

ERGERA

K MENDU

DI BURS

(Studi K

JOSE BO

SEKOLA

NSTITUT

DIFIKASI

AK TERB

UGA VOL

SA EFEK

Kasus: In

ONATUA

AH PASC

T PERTA

BOGO

2012

I MODEL

BOBOTI E

LATILIT

K INDONE

ndeks LQ

A HASIBU

CASARJA

ANIAN BO

OR

2

L

EKSPON

TAS SAH

ESIA

Q45)

UAN

ANA

OGOR

NENSIAL

HAM

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Modifikasi Model Rataan Bergerak Terboboti Eksponensial Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa Efek Indonesia (Studi Kasus: Indeks LQ45) adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, September 2012

Jose Bonatua Hasibuan

ABSTRACT

JOSE BONATUA HASIBUAN. Modified Exponentially Weighted Moving Average Model to Estimate Stock Volatility in Indonesia Stock Exchange (Case Study: LQ45 Index). Under direction of ENDAR H. NUGRAHANI and I GUSTI PUTU PURNABA.

Accurate volatility modeling is an important issue in finance. A common approach to estimate the volatility of asset returns is to use an exponentially weighted moving average (EWMA_{) model, a special case of general}

autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH_{) model with optimized}

smoothing weights. The standard EWMA _{estimator is based on the maximum}

likelihood estimator of the variance of normal distribution, and is thus optimal when the returns are conditionally normal. Financial asset returns are well-known to be non-normal and leptokurtic. In this research, we propose an alternative

EWMA _{estimator that is robust to leptokurtosis in the conditional distribution of}

returns. The estimator is based on the maximum likelihood estimator of variance of thepower exponentialdistribution. It is a function of an EWMA _{of the absolute}

value of past returns, rather than their squares. The aim of this paper is to compare forecasting performance of this newly developed estimator named Power EWMA

with EWMA _and GARCH_{. The data used in this research are daily closing stock}

prices of LQ45 index in the period of 2002-2011. We found that the Power

EWMA _{has the best performance of the three models with respect to root mean}

square forecast error.

RINGKASAN

JOSE BONATUA HASIBUAN. Modifikasi Model Rataan Bergerak Terboboti Eksponensial Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa Efek Indonesia (Studi Kasus: Indeks LQ45). Dibawah bimbingan ENDAR H. NUGRAHANI dan I GUSTI PUTU PURNABA.

Berinvestasi melalui kepemilikan saham dan produk derivatif memungkinkan seorang investor mendapatkan return (imbal hasil) berupa keuntungan dalam jumlah besar dengan waktu yang relatif singkat. Namun demikian, sifat saham yang berfluktuasi terhadap waktu, seringkali justru menimbulkan risiko untuk merugi. Dalam ilmu keuangan, fluktuasi dari return saham dikenal dengan istilah volatilitas. Salah satu isu sentral dalam dunia keuangan modern adalah bagaimana mendapatkan penduga volatilitas terbaik. Akurasi dari suatu metode penduga volatilitas menjadi masukan dalam memutuskan kebijakan suatu perusahaan dan pelaku pasar keuangan.

Model rataan bergerak terboboti eksponensial atau exponentially weighted moving average (EWMA) merupakan bentuk khusus dari model generalized autoregressive conditional heteroscedascity (GARCH). Keduanya merupakan metode untuk menduga volatilitas berdasarkan data return historis. Alat standar yang digunakan adalah regresi sederhana dari volatilitas sesungguhnya pada volatilitas yang diperkirakan. Pengukur GARCH dan EWMA didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimator) dari ragam yang berdistribusi normal, dan karena itu akan optimal ketika return dalam kondisi normal.

Berdasarkan hasil analisis data return harga penutupan harian indeks LQ45 yang diamati sejak tanggal 1 Januari 2004 sampai 30 Desember 2011 diketahui bahwa return indeks LQ45 memiliki nilai skewness yang negatif, menunjukkan bahwa sebaran data yang condong ke kiri. Sedangkan nilai kurtosis 6.4924 > 3 menunjukkan karakteristik kurva yang bersifat leptokurtik. Pola leptokurtik menunjukkan terdapat banyak kejadian yang ternyata berada jauh dari nilai rata-rata, kontras dengan apa yang ditunjukkan dengan distribusi normal. Sehingga, perlu dianalisa penduga EWMA alternatif untuk return tak-normal yaitu dengan memodifikasi model EWMA standar dengan mengasumsikan bahwa distribusi return memiliki karakteristik kurva leptokurtik. Penduga baru ini didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum dari standar deviasi dengan menggunakan asumsi generalized error distribution (GED). Hasil analisis modifikasi model EWMA memberikan model P-EWMA untuk menentukan volatitas dengan persamaan model

pendugaan P-EWMA terhadap data indeks LQ45 periode 2008-2011 adalah sebagai berikut:

. _. . _{. | |} .

dengan = ragam pada saat-t dan = return pada saat-t.

Proses pendugaan dilakukan dalam periode 40, 60 dan 80 hari perdagangan dengan ketiga model. Hasil pendugaan volatilitas berdasarkan

RMSFE menunjukkan bahwa model P-EWMA adalah model terbaik dalam

menduga volatilitas indeks LQ45. Kebaikan dari model Power EWMA adalah mengasumsikan bahwa return indeks LQ45 berdistribusi GED sehingga nilai perkiraan ragam mendekati nilai ragam aktual.

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.

MODIFIKASI MODEL

RATAAN BERGERAK TERBOBOTI EKSPONENSIAL

UNTUK MENDUGA VOLATILITAS SAHAM

DI BURSA EFEK INDONESIA

(Studi Kasus: Indeks LQ45)

JOSE BONATUA HASIBUAN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

Judul Tesis : Modifikasi Model Rataan Bergerak Terboboti Eksponensial Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa Efek Indonesia (Studi Kasus: Indeks LQ45).

Nama : Jose Bonatua Hasibuan

NIM : G551100041

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB

Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

PRAKATA

Puji dan syukut penulis panjatkan kepada Tuhan atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.

Dalam penyelesaian tesis ini, penulis banyak mendapat masukan dari dosen pembimbing, keluarga dan teman-teman. Dengan segala keterbatasan dan kekurangan akhirnya tesis yang berjudul Modifikasi Model Rataan Bergerak Terboboti Eksponensial Untuk Menduga Volatilitas Saham di Bursa Efek Indonesia (Studi Kasus: Indeks LQ45) dapat diselesaikan dengan baik.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku dosen pembimbing, serta Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku penguji luar komisi yang telah banyak memberi bimbingan dan saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Gubernur Riau, Kepala Badan Kepegawaian Daerah (BKD) Provinsi Riau, Kepala Dinas Pendidikan Provinsi Riau serta Bapak Agus Rosadi, SP, M.Pd. selaku Kepala Sekolah SMKN Pertanian Terpadu Provinsi Riau yang telah memberikan izin Tugas Belajar Program Pasca Sarjana di Institut Pertanian Bogor (IPB). Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada seluruh dosen dan karyawan Departemen Matematika Terapan FMIPA IPB, serta kepada Bapak Presman Hasibuan (Alm), Ibu Suparni, Adik Desmaida, serta seluruh keluarga, atas segala dukungan yang diberikan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, September 2012 Jose Bonatua Hasibuan

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Selat Panjang Riau pada tanggal 27 Desember 1982 dari pasangan Presman Hasibuan (Alm) dan Suparni. Penulis merupakan putra pertama dari dua bersaudara. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Riau.

Pada Tahun 2009, penulis diterima menjadi Pegawai Negeri Sipil di Dinas Pendidikan Provinsi Riau sebagai guru Matematika di SMKN Pertanian Terpadu Provinsi Riau. Pada tahun 2010, penulis mendapatkan kesempatan untuk melanjutkan pendidikan ke program Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana IPB. Bantuan biaya Tugas Belajar Program Pascasarjana di IPB diperoleh dari Dinas Pendidikan Provinsi Riau.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ………. xi

DAFTAR GAMBAR ……… xii

DAFTAR LAMPIRAN ………. xiii

1 PENDAHULUAN ………..…………... 1

1.1Latar Belakang ……….……… 1

1.2 Tujuan Penelitian ………..……… 3

2 TINJAUAN PUSTAKA ………. 5

2.1 Saham dan Return Saham ………. 5

2.2 Volatilitas ………. 7

2.3 Distribusi Return ………... 8

2.4 Model GARCH …….………. 10

2.5 Stasioneritas Model GARCH ……… 14

2.6 Model EWMA ……….. 18

2.7 Pendugaan Parameter EWMA ……….. 20

2.8 Pengukuran Kemampuan Peramalan ……….. 23

3 METODE ……… 25

4 HASIL DAN PEMBAHASAN ……….. 27

4.1 Analisa Modifikasi Model EWMA ……… 27

4.2 Parameter Model ……….. 32

4.2.1 Parameter GARCH ……… 32

4.2.2 Parameter EWMA ……….. 34

4.2.3 Parameter P-EWMA ……….. 35

4.3 Pendugaan Volatilitas di Masa Mendatang ……….. 36

4.4 Perbandingan Kinerja GARCH, EWMA dan P-EWMA ……….. 39

V SIMPULAN ……… 41

DAFTAR PUSTAKA ……… 43

LAMPIRAN ………. 45  

DAFTAR TABEL

Halaman 1 Ringkasan statistik data return indeks LQ45 29 2 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model GARCH 32 3 Hasil pendugaan parameter model GARCH dengan solver 33 4 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model EWMA 34 5 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model P-EWMA 35 6 Hasil pendugaan volatilitas periode 40 hari perdagangan 36 7 Hasil pendugaan volatilitas periode 60 hari perdagangan 36 8 Hasil pendugaan volatilitas periode 80 hari perdagangan 37

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Karakteristik kurva normal, kurva leptokurtik dan kurva platikurtik 9 2 Diagram alir pendugaan parameter model EWMA 22 3 Harga penutupan indeks LQ45 periode 2004-2011 27

4 Histogram return LQ45 2010-2011 28

5 Volatilitas indeks LQ45 periode 3 Januari 2011 – 30 Desember 2011 28 6 Volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan 37 7 Volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan 38 8 Volatilitas dalam periode 80 hari perdagangan 38

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Daftar Saham Indeks LQ45 Periode Agustus 2012 s.d. Januari 2013 47 2 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan 48 3 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan 49 4 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan 50

5 RMSFE periode 40 hari perdagangan 51

6 RMSFE periode 40 hari perdagangan 52

7 RMSFE periode 40 hari perdagangan 53

8 Harga Penutupan Indeks LQ45 Periode 1 Januari 2004 - 54 30 Desember 2011

                             

             

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang

Pasar modal memiliki peran penting dalam kegiatan ekonomi modern. Di banyak negara, pasar modal dengan kemampuannya menyediakan modal dalam jangka panjang dan tanpa batas, telah menjadi salah satu sumber kemajuan ekonomi dengan menjadi sumber dana alternatif bagi perusahaan (Widoatmodjo 2009). Bagi masyarakat, investasi di pasar modal bisa menjadi alternatif mengembangkan kekayaan. Dewasa ini, dengan suku bunga yang diberikan bank tidak terlalu tinggi, seringkali penabung mengalami kerugian, setelah pendapatan dari suku bunga itu dikurangi inflasi, pajak dan biaya bank lainnya.

Pada dasarnya, pasar modal mirip dengan pasar-pasar lainnya. Perbedaannya terletak pada komoditi yang diperdagangkan. Di pasar modal, komoditi utama yang diperdagangkan adalah surat berharga (efek) yang meliputi saham dan obligasi. Belakangan, mulai berkembang produk derivatif, turunan dari saham dan obligasi, seperti waran dan opsi. Produk derivatif pada dasarnya memberikan hak kepada pemegangnya untuk melakukan sesuatu, pada waktu yang telah ditentukan, sesuai dengan perjanjian yang ada di dalamnya.

Berinvestasi melalui kepemilikan saham dan produk derivatif memungkinkan seorang investor mendapatkan return (imbal hasil) berupa keuntungan dalam jumlah besar dengan waktu yang relatif singkat. Namun demikian, sifat saham yang berfluktuasi terhadap waktu, sering kali justru menimbulkan risiko untuk merugi. Dalam ilmu keuangan, fluktuasi dari return saham dikenal dengan istilah volatilitas.

Salah satu isu sentral dalam dunia keuangan modern adalah bagaimana mendapatkan prediksi volatilitas terbaik. Akurasi dari suatu metode pendugaan volatilitas menjadi masukan dalam memutuskan kebijakan suatu perusahaan. Pelaku pasar keuangan banyak menerapkan pendugaan volatilitas untuk menentukan harga opsi dan produk derivatif lainnya. Bagi para investor, pendugaan volatilitas digunakan sebagai masukan dalam mengambil keputusan untuk berinvestasi.

Penelitian volatilitas di bursa modern telah banyak dilakukan. Chan & Karolyi (1991) melakukan penelitian untuk bursa di Jepang periode 1977 sampai 1990 dengan model generalized autoregressive conditional heteroscedascity

(GARCH). Hasil penelitian ini memberikan kesimpulan Model GARCH sangat

cocok untuk menduga volatilitas di bursa Jepang. Volatilitas bursa Singapura diteliti oleh Kuen & Hoong (1992) untuk periode Maret 1975 sampai dengan Oktober 1988 dengan menggunakan model GARCH dan model rata-rata bergerak terboboti eksponensial atau exponentially weighted moving average (EWMA). Hasil penelitian tersebut memberikan kesimpulan bahwa EWMA lebih baik dari

GARCH dalam menduga volatilitas pasar Singapura.

Di Indonesia, penelitian autoregressive conditional heteroscedascity (ARCH) dan GARCH telah dilakukan Manurung (1997) untuk periode 1989 sampai Juli 1993. Hasil penelitian ini menyatakan bahwa ARCH dan GARCH tidak signifikan digunakan untuk menduga volatilitas bursa. Hanya volatilitas sebelumnya yang sangat mempengaruhi volatilitas sekarang. Manurung & Nugroho (2005) melakukan penelitian conditional varians untuk periode Desember 1996 sampai dengan Desember 2004. Metode yang dipergunakan yaitu metode vector autoregressive. Hasil penelitian tersebut menyatakan bahwa volatilitas sebelumnya signifikan mempengaruhi volatilitas sekarang.

GARCH dan EWMA merupakan dua metode untuk menduga volatilitas

berdasarkan data return historis. Alat standar dalam analisis tersebut adalah regresi sederhana dari volatilitas sesungguhnya pada volatilitas yang diperkirakan. Penduga GARCH dan EWMA didasarkan pada estimator kemungkinan maksimum

(maximum likelihood) dari ragam yang berdistribusi normal, dan karena itu akan

optimal ketika return dalam kondisi normal. Beberapa hasil studi menunjukkan bahwa return tidak berdistribusi normal. Sehingga, dalam penelitian ini perlu dikaji estimator EWMA alternatif untuk return tak-normal. Estimator baru ini didasarkan pada estimator kemungkinan maksimum dari standar deviasi dengan menggunakan asumsi distribusi power exponential atau generalized error

3   

1.2Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Melakukan analisa terhadap modifikasi model EWMA dengan mengasumsikan return berdistribusi GED.

2. Melakukan pendugaan parameter model GARCH, EWMA dan modifikasinya.

3. Mengaplikasikan model GARCH, EWMA dan modifikasinya pada indeks saham LQ45 di Bursa Efek Indonesia (BEI) dan memberikan saran model terbaik untuk memperkirakan volatilitas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Saham dan Return Saham

Saham merupakan surat berharga yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan yang berbentuk perseroan terbatas (PT) yang dapat diperjualbelikan atau diperdagangkan di pasar modal. Menurut Sunariyah (2003) saham atau stock adalah surat bukti atau tanda kepemilikan bagian modal dari suatu Perseroan terbatas. Masing-masing lembar saham mewakili satu suara tentang segala hal dalam pengurusan perusahaan. Suara tersebut digunakan dalam rapat tahunan perusahaan dan pembagian keuntungan.

Suatu perusahaan dikendalikan oleh dewan komisaris yang dipilih oleh pemegang saham melalui rapat umum tahunan pemegang saham (RUPS). Dewan komisaris memilih manajer yang menjalankan operasi perusahaan sehari-hari. Manajer memiliki kekuasaan untuk membuat keputusan bisnis tanpa persetujuan khusus dari dewan komisaris. Mandat yang dimiliki dewan komisaris adalah mengawasi manajemen untuk meyakinkan bahwa mereka telah bertindak sesuai dengan kepentingan pemegang saham.

Saham dapat diperoleh atau dijual bebas di satu atau lebih pasar saham. Perusahaan yang memiliki saham yang tidak diperjualbelikan bebas disebut perusahaan tertutup atau perusahaan terbatas (Bodie et al. 2006). Di sebagian besar perusahaan tertutup, pemilik perusahaan bertindak secara aktif dalam manajemen, sehingga pengambilalihan biasanya bukan merupakan masalah.

Bursa Efek Indonesia (BEI) merupakan bursa hasil penggabungan dari Bursa Efek Jakarta (BEJ) dengan Bursa Efek Surabaya (BES). Demi efektifitas operasional dan transaksi, Pemerintah memutuskan untuk menggabung Bursa Efek Jakarta sebagai pasar saham dengan Bursa Efek Surabaya sebagai pasar obligasi dan derivatif. Bursa hasil penggabungan ini mulai beroperasi pada 1 Desember 2007. Untuk memberikan informasi yang lebih lengkap tentang perkembangan bursa kepada publik, BEI menyebarkan data pergerakan harga saham melalui media cetak dan elektronik. Indikator pergerakan harga saham dikenal dengan istilah indeks harga saham. Indeks harga saham merupakan angka

harga saham yang telah disusun dan dihitung sedemikian rupa sehingga menghasilkan trend (Widoatmodjo 2009). Saat ini, BEI mempunyai tujuh macam indeks saham, yaitu:

1. IHSG, menggunakan semua saham tercatat sebagai komponen kalkulasi Indeks.

2. Indeks Sektoral, menggunakan semua saham yang masuk dalam setiap sektor.

3. Indeks LQ45, menggunakan 45 saham terpilih setelah melalui beberapa tahapan seleksi.

4. Indeks Individual, yang merupakan Indeks untuk masing-masing saham didasarkan harga dasar.

5. Jakarta Islamic Index, merupakan Indeks perdagangan saham syariah.

6. Indeks Papan Utama dan Papan Pengembangan, indeks yang didasarkan pada kelompok saham yang tercatat di BEI yaitu kelompok Papan Utama dan Papan Pengembangan.

7. Indeks Kompas100, menggunakan 100 saham pilihan harian Kompas.

Indeks LQ45 didirikan untuk menyediakan pasar dengan indeks yang mewakili 45 dari saham paling likuid yang telah terpilih melalui berbagai kriteria pemilihan. Berikut adalah beberapa faktor suatu saham dimasukkan dalam Indeks LQ45 (Fact book BEI 2011, http://www.idx.co.id):

1. Saham harus telah dicatatkan di BEI selama 3 bulan.

2. Kinerja saham di pasar reguler, yang meliputi nilai perdagangan, volume dan frekuensi transaksi.

3. Jumlah hari perdagangan di pasar reguler.

4. Kapitalisasi pasar saham pada periode waktu tertentu.

5. Selain faktor likuiditas dan kapitalisasi pasar, pemilihan saham untuk Indeks LQ45 juga didasarkan pada kondisi keuangan dan prospek pertumbuhan perusahaan.

Saham-saham yang termasuk di dalam LQ45 terus dipantau dan setiap enam bulan akan diadakan review (Februari dan Agustus). Apabila ada saham yang sudah tidak masuk kriteria maka akan diganti dengan saham lain yang memenuhi syarat.

7   

Daftar saham yang masuk dalam indeks LQ45 periode Agustus 2012 sampai dengan januari 2013 dapat di lihat pada Lampiran 1.

Dalam berinvestasi, seorang investor mempertimbangkan tingkat return dan faktor risiko ketika memilih saham. Daripada mengambil keputusan berisiko dengan keuntungan yang tidak pasti, seorang investor yang takut risiko (risk averse) akan mengambil keputusan berinvestasi pada saham yang memiliki risiko rugi lebih kecil dan berharap mendapatkan keuntungan yang pasti. Sebaliknya seorang investor pengambil risiko (risk taker) memilih berinvestasi pada saham yang tidak memberikan kepastian return suatu saham memberikan keuntungan namun memiliki peluang keuntungan yang lebih tinggi dari saham yang memberikan keuntungan yang pasti. Return saham adalah tingkat pengembalian dari saham biasa yang benar-benar diterima oleh pemegang saham di beberapa periode yang lalu (Brigham & Houston 2006). Dalam penelitian ini, return saham pada saat t ( ) dicari dengan rumus sebagai berikut:

ln

dimana menyatakan harga saham pada saat t. 2.2 Volatilitas

Terdapat dua komponen utama di dalam risiko yaitu risiko non-sistematis dan risiko sistematis. Risiko non-sistematis adalah risiko yang dapat diabaikan dengan pembentukan portofolio yang terdiri dari beberapa aset finansial (proses diversifikasi), sedangkan risiko sistematis adalah risiko pasar atau yang biasa disebut risiko yang tidak dapat didiversifikasi dimana besar kecilnya tergantung pada risiko portofolio pasar. Kedua komponen utama di dalam risiko biasanya disebut total risiko yang dapat diukur dengan standar deviasi dan diasumsikan dengan bahasa matematis sebagai volatilitas.

Volatilitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga berfluktuasi dalam suatu periode waktu (Lo 2003). Semakin tinggi volatilitas suatu saham, maka kepastian return suatu saham memberikan keuntungan akan semakin rendah. Namun, volatilitas yang tinggi menunjukkan nilai return yang tinggi pula. Sebaliknya, volatilitas yang rendah menunjukkan kestabilan nilai return, tetapi umumnya nilai return yang diharapkan tidak terlalu tinggi.

Volatilitas pasar terjadi akibat masuknya informasi baru ke dalam pasar/bursa. Akibatnya para pelaku pasar melakukan penilaian kembali terhadap aset yang mereka perdagangkan. Pada pasar yang efisien, tingkat harga akan melakukan penyesuaian dengan cepat sehingga harga yang terbentuk mencerminkan informasi baru tersebut. Proses perubahan harga tersebut dinamakan sebagai volatilitas. Oleh karena itu, para ahli ekonomi seringkali mengintepretasikan pergerakan/perubahan harga sebagai suatu bukti bahwa pasar berfungsi dengan baik dan mendapatkan informasi secara efisien.

Secara umum, tinggi rendahnya volatilitas harga saham ini dapat

dipengaruhi oleh faktor makro dan mikro (Schwert 1989). Faktor makro adalah

faktor-faktor yang mempengaruhi perekonomian secara keseluruhan, antara lain

tingkat bunga yangtinggi, inflasi, tingkat produktivitas nasional, politik, dan lain-lain yang memiliki dampak penting pada potensi keuntungan perusahaan. Faktor mikro

adalah faktor-faktor yang berdampak langsung pada perusahaan itu sendiri, seperti

perubahan manajemen, harga, dan ketersediaan bahan baku, produktivitas tenaga

kerja dan faktor lain yang dapat mempengaruhi kinerja keuntungan perusahaan

individual. Faktor yang beraneka ragam tersebut tentunya mengakibatkan harga

saham bergerak sangat fluktuatif.

2.3 Distribusi Return

Banyak pengukuran volatilitas yang didasari pada asumsi distribusi normal. Seperti diketahui, distribusi normal memiliki banyak karakteristik yang menarik. Selain karakteristik distribusi ini hanya dibedakan dari kedua momen pertamanya, banyak alat analisis statistik yang didasarkan pada distribusi ini. Salah satu model pengukuran volatilitas yang berdasarkan pada asumsi ini adalah model RiskMetrics dari J.P. Morgan (Hull 2006).

Berdasarkan studi empiris yang telah dilakukan, banyak return saham yang tidak mengikuti pola distribusi normal. Andersen et al. (2001) menemukan bahwa distribusi return saham-saham sektor industri pada bursa Dow Jones umumnya memiliki karakteristik kurva yang lancip di tengah dan far tail, atau dikatakan juga bersifat leptokurtik. Situngkir & Surya (2004) mengekplorasi untuk data-data keuangan di Indonesia dan memberikan kesimpulan bahwa return menunjukkan sifat skewness dan kurtosis berlebih.

9   

Parameter kurtosis menunjukkan tinggi atau rendahnya bentuk kurva normal. Kurva disebut normal jika grafiknya tidak terlalu runcing (tinggi) atau tidak pula terlalu datar (rendah). Kurva yang runcing disebut leptokurtik sedangkan kurva yang datar disebut platikurtik. Nilai kurtosis untuk kurva berdistribusi normal adalah 3, sementara distribusi yang leptokurtik biasanya kurtosisnya > 3 (Usman & Akbar 2008). Perbandingan karakteristik kurva normal, kurva platikurtik dan kurva leptokurtik dapat dilihat dari Gambar 1.

  Gambar 1 Karakteristik kurva normal, kurva leptokurtik dan kurva platikurtik.

Ketika mempelajari kurtosis pada data time series, akan mengacu pada formula Fisher kurtosis yang didefinisikan sebagai berikut:

Untuk barisan , , … , ,

,

dengan , , momen pusat derajat ke- , = 1, 2, 3, 4.. Kurtosis ada jika momen keempat ada dan berhingga. Misalkan ~ , , momen keempat dan momen kedua diberikan sebagai berikut:

√ exp

Parameter skewness menunjukkan derajat ketaksimetrian dari distribusi di antara nilai rata-ratanya. Nilai negatif dari skewness menunjukkan asimetri yang condong ke kiri. Nilai skewness dari distribusi yang benar-benar simetris (misalnya distribusi normal) adalah nol. Nilai Fisher skewness didefiniskan sebagai berikut:

/ ,

dimana adalah momen pusat ketiga, dan / adalah standar deviasi.

2.4 Model GARCH

Model autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) pertama kali diperkenalkan oleh Engle (1982). Selanjutnya, model ini dikembangkan oleh Bollerslev (1986) menjadi general autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH) untuk menjawab persoalan adanya volatilitas pada data time series di ekonomi, secara khusus bidang keuangan.

Data time series adalah data yang disusun berdasarkan urutan waktu atau data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu (Hasan 2008). Analisis time series adalah analisis yang menerangkan dan mengukur berbagai perubahan atau perkembangan data selama satu periode. Terdapat tiga model dasar yang umum digunakan dalam analisis time series yaitu autoregressive (AR), moving average (MA) dan autoregressive moving average (ARMA).

Definisi 1 Proses white noise

Suatu proses stokastik dikatakan white noise jika untuk suatu konstanta (Francq & Zakoian 2010):

(i) , ;

(ii) , ;

11   

Suatu proses autoregressive (AR) berorde p, dinotasikan AR(p), dirumuskan sebagai berikut:

… (1)

dengan:

= data observasi ke-t = parameter AR ke-p

, , … , = variabel bebas = galat ke-t.

Persamaan (1) menunjukkan ketergantungan terhadap variabel pendahulunya sebanyak p atau disebut autoregressive berodo p. Jika p = 1 maka modelnya didefinisikan sebagai AR(1) yaitu .

Secara umum proses moving average (MA) berorde q atau MA(q) dirumuskan sebagai berikut:

… dengan:

= data observasi ke-t

= parameter proses MA ke-q

= galat pada saat t dan diasumsikan merupakan white noise.

Jika q = 1 maka modelnya didefinisikan sebagai MA(1) yaitu . Model autoregressive moving average (p,q) merupakan gabungan dari model autoregressive (AR) dan moving average (MA). Karakteristik tidak dapat dijelaskan dengan proses AR saja atau proses MA saja, namun harus dijelaskan oleh keduanya. Model yang memuat kedua proses tersebut adalah model autoregressivemoving average (ARMA).

Definisi 2 Proses ARMA

Suatu proses autoregressive moving average berorde (p,q), ditulis ARMA(p,q) dirumuskan sebagai berikut (Francq & Zakoian 2010):

… … .

Misalkan , , … , merupakan data deret waktu dari return dan adalah proses ARMA(p,q). Jika q = 0, maka proses ARMA(p,q) sama dengan proses AR(p) yaitu :

… (2)

dengan: = 0,

, , _{, lainnya.} untuk

Walaupun persamaan (2) berimplikasi bahwa ragam bersyarat dari adalah sama yaitu sebesar , namun pada kenyataannya ragam bersyarat dari dapat berubah-ubah terhadap titik waktu. Satu pendekatan yang digunakan untuk mendeskripsikan kuadrat dari terhadap dirinya sendiri melalui proses AR(m) adalah:

… (3)

dengan: ,

, _{, lainnya} , .

Karena merupakan galat dari peramalan , persamaan (3) berimplikasi proyeksi linier kuadrat galat dari ramalan sebanyak m periode kuadrat galat ramalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut:

13   

Proses white noise yang memenuhi persamaan (4) dideskripsikan sebagai model autoregressive conditional heteroscedasticity dengan orde m atau disebut ARCH(m). Persamaan (4) ditulis sebagai:

…

dengan | , _{, …} disebut sebagai ragam barisan . Proses ARCH(m) dicirikan oleh . dimana , .

Lebih umum lagi dapat diperlihatkan sebuah proses dengan ragam bersyarat tergantung pada jumlah lag terhingga dari :

(5) dengan ∑ , 1, 2, … p.

Kemudian diparameterisasi sebagai rasio dari 2 orde polinomial terhingga …

… .

Diasumsikan bahwa akar dari = 0. Jika persamaan (5) dikalikan dengan , maka diperoleh persamaan berikut:

. Selanjutnya dapat ditulis:

Definisi 3 Proses GARCH(p,q)

Suatu proses merupakan proses GARCH(p,q) jika momen bersyarat pertama dan kedua ada dan memenuhi (Francq & Zakoian 2010):

(i) | , ,

(ii) , , , … , dan , , … , sehingga

Var | , , .

Definisi 4 Proses GARCH(1,1)

Proses dikatakan proses GARCH(1,1) jika

(6)

dengan , , (Francq & Zakoian 2010). 2.5 Kestasioneran Model GARCH

Definisi 5 Stasioner Kuat

Proses merupakan stasioner kuat jika vektor , … , dan , … , memiliki distribusi bersama yang sama untuk semua dan (Francq & Zakoian 2010).

Definisi 6 Stasioner Orde Kedua

Proses disebut stasioner orde kedua jika (Francq & Zakoian 2010):

(i) ∞ , ;

(ii) , ;

15   

Teorema 1 Stasioner kuat dari proses GARCH(1,1) Jika ∞ log ,

maka jumlah tak terbatas

… konvergen hampir pasti dan proses yang didefinisikan adalah solusi stasioner kuat dari model (6).

(Francq & Zakoian 2010) Bukti.

Koefisien log selalu ada di ∞ , ∞ karena log .

Dengan melakukan iterasi terhadap persamaan (6) maka, untuk ,

… …

… .

Limit proses lim_N ada di , ∞ untuk jumlah tak negatif. Selain itu, dengan membiarkan menuju tak terbatas dalam

, diperoleh .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa hampir pasti (almost surely) terbatas jika dan hanya jika . Selanjutnya akan digunakan aturan Cauchy untuk deret tak negatif,

… exp hampir pasti.

dengan ∞, dengan mengaplikasikan hukum kuat dari bilangan besar pada barisan log .

Deret (7) akan konvergen hampir pasti di , dengan mengaplikasikan aturan Cauchy, dan limit proses ( untuk nilai real positif. Maka proses yang didefinisikan

…

/

adalah stasioner kuat.

Teorema 2 Stasioner orde kedua dari proses GARCH(1,1)

Misalkan . Jika , proses yang didefinisikan adalah stasioner orde kedua.

(Francq & Zakoian 2010) Bukti.

Jika adalah proses GARCH(1,1), dalam arti definisi 2, di mana stasioner orde kedua terpenuhi, diperoleh

| , ,

sehingga

.

Karenanya, haruslah . Selain itu, diperoleh . Sehingga kondisi stasioneritas kuat terpenuhi. Dengan demikian cukup untuk menunjukkan bahwa solusi stasioner kuat yang didefinisikan dalam (8) merupakan ragam yang terbatas. Variabel menjadi limit naik dari variabel acak positif, jumlah yang tak terbatas dan nilai harapan

17   

…

.

Selain itu, solusi ini adalah white noise karena | , dan untuk semua ,

Cov , | , .

Misalkan menunjukkan solusi stasioner orde kedua lainnya. Diperoleh

… ,

dan

…

.

Nilai harapan dari dibatasi oleh | | yang terbatas dan bebas dari dengan stasioneritas, dan karena untuk

2.6 Model EWMA

Model rata-rata bergerak terboboti eksponensial atau exponential weighted moving average (EWMA) pertama kali dikenalkan oleh Nelson pada tahun 1990 (Tagliafichi 2003). Model EWMA merupakan bagian dari model GARCH untuk kasus khusus dari model GARCH(1,1) dengan bobot pemulusan dioptimasi. EWMA merupakan salah satu dari model volatilitas data time series yang memperkirakan volatilitas di masa mendatang dengan menggunakan volatilitas rata-rata terdahulu. Dibandingkan dengan GARCH, struktur model EWMA lebih sederhana namun tetap mempertahankan ketepatan model dalam melakukan estimasi.

Model EWMA digunakan untuk meramalkan ragam dari return berdistribusi normal. Model EWMA menggunakan data pengamatan historis untuk meramalkan ragam dengan memberikan bobot tertinggi pada data observasi terbaru. Penetapan bobot memungkinkan ragam mengikuti lompatan return di pasar dan selanjutnya menurun secara eksponensial.

Model EWMA untuk data sebanyak k return , … , , return terbaru diberikan bobot (1 - λ), return berikutnya (1 - λ)λ dan seterusnya, sehingga return terakhir diberi bobot (1 - λ) , dengan λ (0 < λ < 1) merupakan faktor peluruhan (decay factor). Secara umum, EWMA meramalkan ragam untuk k return sebagai berikut:

, dengan = return.

Dengan mengasumsikan = 0 dan jumlah tak berhingga data tersedia, maka perkiraan ragam satu hari ke depan dapat diturunkan sebagai berikut:

… …

19   

Morgan menggunakan model EWMA untuk memperkirakan volatilitas dari ragam berdistribusi normal (Hull 2006). Dalam model EWMA, ragam periode berikutnya didefinisikan sebagai rata-rata terbobot dari ragam dan kuadrat return periode ini,

(9)

dengan adalah ragam periode t, adalah return periode t dan λ adalah faktor peluruhan. Dengan substitusi rekursif, estimator EWMA standar dapat ditulis sebagai berikut:

… Secara umum, ragam EWMA dihitung dengan formula sebagai berikut:

∞

Secara matematis, model EWMA diturunkan dari model GARCH(1,1) sebagai berikut :

. (10) Dengan mensubstitusi ke persamaan (10) diperoleh:

). (11) Jika persamaan ini dilanjutkan sampai lag ke-j dengan j adalah maksimum lag,

persamaan (12) menjadi sebagai berikut :

Jika j→∞ dengan 0 < β < 1 maka (1- ) → 1 dan → 0. Persamaan (12) dapat ditulis menjadi:

.

Model EWMA yang dikembangkan Morgan merupakan model GARCH(1,1) dengan K = 0, α = (1 - λ) dan β = λ.

2.7 Pendugaan Parameter GARCH dan EWMA

Pendugaan parameter model GARCH dan model EWMA akan dilakukan dengan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood) menggunakan data historis return indeks saham LQ45 periode 2004-2007, sebanyak 991 data pengamatan. Melalui metode ini akan diperoleh penaksir terbaik yang nilainya akan memaksimumkan fungsi kemungkinan (likelihood).

Diasumsikan terdapat m data pengamatan , , … , yang berdistribusi normal dengan rataan nol dan varian . Fungsi kepekatan peluang dari , i = 1, 2, …, m adalah:

√ exp Fungsi kemungkinan dari m pengamatan adalah:

L , …

√ exp

√ exp

√ exp ∑

Maksimumkan fungsi kemungkinan dapat diperoleh dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi kemungkinan.

ln L ln √

Kondisi orde pertama untuk memaksimumkan ln L adalah L . Sehingga diperoleh

21   

. Definisikan adalah ragam pada hari ke- dan distribusi peluangnya normal. Dengan cara yang sama diperoleh fungsi kemungkinan: L exp ln L ln ‐

ln

ln ln

Sehingga ekuivalen dengan memaksimumkan

ln . Pendugaan parameter model EWMA dilakukan dengan menduga nilai maksimum dari persamaan (13) dengan metode kemungkinan maksimum yang mengasumsikan bahwa volatilitas tidak konstan. Nilai maksimum yang diperoleh akan menunjukkan penduga parameter yang dicari, di mana nilai volatilitas pada

hari ke-i ( ) bergantung pada parameter seperti ditunjukkan pada persamaan (9).

Proses pendugaan parameter model EWMA dengan algoritma Steepest Descent (Bertsekas 2003) dapat dilihat pada Gambar 2.

     

                                     

Gambar 2 Diagram alir pendugaan parameter model EWMA.

Selanjutnya, untuk memudahkan proses pendugaan dilakukan dengan pendekatan numerik menggunakan menu solver pada Microsoft Excel.

Input ; i = 1:991

 

L ln  

; TL  = 0 ;  = 0.4 ; α = 0.1 

TL TL  

Stop

; :  

L ln ; :  

TL ∑ L

TL Maksimum

= + αd ; d , dengan TL’ ( ).d < 0 N

Y Start

23   

2.8 Pengukuran Kemampuan Peramalan

Untuk membandingkan kinerja perkiraan model GARCH, model EWMA dan modifikasinya, akan diukur kemampuan peramalan dengan root mean square forecast error (RMSFE). Secara matematis, RMSFE dirumuskan sebagai berikut:

dimana berarti volatilitas dari return untuk setiap periode perkiraan dimulai pada hari t +1 ke t +s. merupakan perkiraan volatilitas dengan m adalah jumlah periode perkiraan.

BAB 3 METODE

Beberapa tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menganalisa Modifikasi Model EWMA

Analisis dilakukan terhadap model EWMA yang dimodifikasi dengan mengasumsikan bahwa return berdistribusi GED. Modifikasi model EWMA tersebut selanjutnya disebut Power EWMA (P-EWMA).

2. Pendugaan Parameter GARCH, EWMA dan P-EWMA

Parameter yang diduga adalah parameter , dan untuk model GARCH

GARCH dan parameter untuk model EWMA dengan menggunakan data

historis return indeks saham LQ45 periode 2004-2007, sebanyak 991 data pengamatan. Melalui metode ini akan diperoleh penaksir terbaik yang nilainya akan memaksimumkan fungsi kemungkinan (likelihood). Pendugaan parameter model P-EWMA dilakukan dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan maksimum dari ragam berdistribusi GED

g exp g σ , dengan

g

⁄

dan adalah fungsi gamma. Logaritma dari persamaan (14) adalah

log g g log log log .

     

3. Pendugaan Volatilitas di Masa Mendatang

Untuk menduga volatilitas di masa mendatang digunakan data indeks LQ45 periode 2008-2011. Dengan model GARCH, EWMA standar dan modifikasinya, akan ditaksir besaran volatilitas dengan menggunakan periode 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan. 4. Membandingkan Kinerja Model GARCH, Model EWMA dan Model

P-EWMA

Pengukuran kinerja model GARCH, EWMA standar dan modifikasinya dilakukan dengan menghitung RMSFE. Nilai RMSFE terkecil menyatakan model yang terbaik dalam mengestimasi volatilitas.

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Modifikasi Model EWMA

Harga penutupan indeks LQ45 yang diamati sepanjang tahun 2004 sampai dengan 2011 yang tercatat sebanyak 1962 hari pengamatan mengalami fluktuasi dari waktu ke waktu seperti terlihat dari Gambar 3.

Gambar 3 Harga penutupan indeks LQ45 periode 2004-2011.

Dari gambar 3 terlihat bahwa harga penutupan indeks LQ45 terendah terletak di interval harga Rp.100 - Rp.200, sedangkan harga tertinggi terletak di interval harga Rp.700 – Rp.800. Dalam pengamatan seribu hari pertama, grafik menunjukkan trend positif, namun pada interval waktu 1000 – 1200 mengalami trend negatif yang tajam. Selanjutnya, setelah hari ke-1200, grafik terus mengalami trend positif.

Tingkat return yang diamati sepanjang tahun 2010 sampai dengan tahun 2011 berkisar di angka -0.107 dan 0.072. Hal ini menunjukkan grafik yang menjulur ke sebelah kiri. Rata-rata return tercatat sebesar 0.002 dengan frekuensi di atas 120. Grafik distribusi frekuensi return LQ45 tahun 2010-2011 dapat diihat dari Gambar 4 berikut.

Gambar 4 Histogram return LQ45 2010-2011.

Sedangkan volatilitas yang terjadi pada harga saham di Indeks LQ45 dapat dilihat pada Gambar 5.

Gambar 5 Volatilitas indeks LQ45 periode 3 Januari 2010 – 30 Desember 2011. Gambar 5 menunjukkan volatilitas yang tidak konstan sepanjang waktu yang diamati.

29   

Berdasarkan data return harga penutupan harian indeks LQ45 yang diamati sejak tanggal 1 Januari 2004 sampai 30 Desember 2011 dengan jumlah pengamatan sebanyak 1962 (lihat lampiran 8), diperoleh beberapa statistik deskriptif seperti disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1 Ringkasan statistik data return indeks LQ45

Ringkasan Nilai Rataan 0.0007

Standar Deviasi 0.0180

Kurtosis 6.4924

Skewness -0.5709

Dari Tabel 1 diketahui bahwa return indeks LQ45 memiliki nilai rataan positif, artinya bahwa fluktuasi return masih dalam keadaan wajar. Nilai skewness yang negatif menunjukkan bahwa grafik menjulur ke kiri. Sedangkan nilai kurtosis 6.4924 > 3 menunjukkan karakteristik kurva yang bersifat leptokurtik. Pola leptokurtik menunjukkan bahwa terdapat banyak kejadian yang ternyata berada jauh dari nilai rata-rata, kontras dengan apa yang ditunjukkan dengan distribusi normal. Sehingga, perlu dianalisa penduga EWMA alternatif untuk return tak-normal yaitu dengan memodifikasi model EWMA standar dengan mengasumsikan bahwa distribusi return memiliki karakteristik kurva leptokurtik. Penduga baru ini didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum dari standar deviasi dengan menggunakan asumsi generalized error distribution (GED).

Meskipun Engle (1982) fokus pada model ARCH linier, Engle mengakui bahwa ada kemungkinan bahwa formulasi lain dari model ragam mungkin lebih tepat untuk aplikasi tertentu (Higgins & Bera 1992). Engle menyarankan dua alternatif, model eksponensial dan nilai absolut:

exp …

| | … | |.

Higgins & Bera (1992) mengusulkan suatu bentuk fungsional umum untuk model ARCH (N-GARCH) dan menunjukkan bahwa model yang lebih umum ini mencakup kedua model yang diusulkan Engle di atas.

| | | | / dengan:

, untuk , , … ,

, demikian sehingga, ∑ .

Formula umum untuk N-GARCH adalah sebagai berikut.

| | | | | |

′ | | | |

′ | |

Penduga powerEWMA didasarkan pada penduga kemungkinan maksimum ragam dari distribusi GED. Fungsi kepekatan peluang dari distribusi power eksponensial adalah sebagai berikut :

, , exp δ ,

dengan:

dan Γadalah fungsi gamma.

Distribusi power eksponensial memiliki koefisien kurtosis yang tergantung pada nilai parameter δ. Jika δ = 2, distribusi power eksponensial tereduksi menjadi distribusi normal. Jika δ > 2, distribusi power eksponensial bersifat platikurtik, dan jika δ < 2, distribusi power eksponensial bersifat leptokurtik. Ragam dari distribusi power eksponensial dirumuskan sebagai berikut :

31   

g | | ,

dengan:

g .

Penduga power EWMA adalah kasus khusus dari model N-GARCH Higgins & Bera (1992). Ragam model N-GARCH pada waktu t +1 dirumuskan :

| | (15)

dengan , dan adalah parameter estimasi. Ketika dan

g , persamaan (15) tereduksi menjadi penduga Power EWMA sebagai berikut (Guermat & Harris 2002):

g | | . (16)

Dengan mensubstitusi g | | ke persamaan (16) diperoleh:

g | | g | |

g | | g | |

g | | g | | . (17)

Jika persamaan ini dilanjutkan sampai lag ke-j dengan j adalah maksimum lag, persamaan (17) menjadi sebagai berikut :

g | | . Jika j→∞ dengan 0 < λ < 1 maka . Persamaan (18) dapat ditulis menjadi:

g | | .

4.2 Parameter Model

Proses pendugaan parameter model GARCH, EWMA dan P-EWMA diperoleh melalui solusi numerik dengan menggunakan metode maximum likelihood (kemungkinan maksimum). Metode ini digunakan untuk menentukan nilai parameter yang memaksimumkan fungsi kemungkinan yang diberikan dengan menggunakan data return LQ45 periode 2004-2007 sebanyak 991 data pengamatan. Dengan bantuan menu solver pada Microsoft Excel, pendugaan parameter dilakukan dengan terlebih dulu menentukan nilai kemungkinan dan total nilai kemungkinan untuk sebarang nilai awal yang diberikan, selanjutnya secara iteratif diduga total nilai kemungkinan maksimum dan parameter yang memaksimumkan total nilai kemungkinannya.

4.2.1 Parameter GARCH

Pada model GARCH, akan ditentukan nilai ω, α, dan β. Pendugaan dilakukan dengan memberikan nilai awal ω = 0.000040, α = 0.2, dan β = 0.5. Hasil perhitungan dengan nilai awal tersebut diperoleh total nilai kemungkinan maksimum sebesar 5605.806572. Perhitungan fungsi kemungkinan model GARCH dapat dilihat dari Tabel 2.

Tabel 2 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model GARCH

Tanggal Hari

ke-i

Harga

Penutupan Return Ragam Kemungkinan

1-Jan-04 1 151.9

2-Jan-04 2 155.5 0.023423

5-Jan-04 3 161.02 0.034883 0.000549 3.451943

6-Jan-04 4 161.33 0.001923 0.000558 5.646797

7-Jan-04 5 157.26 -0.025551 0.000320 4.167313

… … … … … …

27-Dec-07 990 599.6 0.009838 0.000244 6.084023

28-Dec-07 991 599.82 0.000367 0.000181 6.776723

Total Kemungkinan 5605.806572

Tabel 2 menunjukkan perhitungan awal sebelum parameter model GARCH diduga dengan menggunakan solver. Kolom pertama menunjukkan tanggal pengamatan data yang dimulai dari 1 Januari 2004 dan berakhir pada 28 Desember 2007.

33   

Kolom kedua menyatakan hari pengamatan yang terdiri dari hari pertama hingga hari ke-991. Kolom ketiga menyatakan harga penutupan dari indeks LQ45 dalam 991 hari pengamatan. Kolom keempat menyatakan return indeks LQ45. Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-i yang dihitung menggunakan model GARCH dengan nilai awal ω= 0.000040, α = 0.2, dan β = 0.5. Sedangkan kolom keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi kemungkinan.

Selanjutnya hasil pendugaan parameter model GARCH dapat dilihat dari Tabel 3 berikut:

Tabel 3 Hasil pendugaan parameter model GARCH dengan solver

Parameter Nilai Dugaan Parameter

0.000025

α 0.175269

β 0.713004

Dari Tabel 3 di atas, diketahui bahwa solver memberikan nilai kemungkinan maksimum 5663.178178 dengan nilai taksiran parameter ω = 0.000025, α = 0.175269, dan β = 0.713004.

Dari hasil pendugaan parameter yang telah dilakukan dengan solver, selanjutnya model GARCH yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

. . .

dengan,

 

= ragam pada saat-t = return pada saat-t.

4.2.2 Parameter EWMA

Proses pendugaan parameter model EWMA dilakukan dengan menentukan nilai λ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan yang diberikan. Secara iteratif, dengan bantuan menu solver pada Microsoft Excel, pendugaan parameter memerlukan nilai awal λ dengan syarat λ > 0. Pada penelitian ini, pendugaan dilakukan dengan memberikan nilai awal λ = 0.4. Hasil perhitungan fungsi kemungkinan dapat dilihat dari Tabel 4 berikut.

Tabel 4 Perhitungan awal fungsi kemungkinan model EWWA

Tanggal Hari

Ke-i

Harga

Penutupan Return Ragam Kemungkinan

1-Jan-04 1 151.9

2-Jan-04 2 155.5 0.02342332

5-Jan-04 3 161.02 0.03488285 0.000549 3.451943

6-Jan-04 4 161.33 0.00192338 0.000950 5.117348

7-Jan-04 5 157.26 -0.02555150 0.000382 4.322779

… … … … … …

27-Dec-07 990 599.6 0.00983800 0.000439 5.671512

28-Dec-07 991 599.82 0.00036700 0.000234 6.522014

Total Kemungkinan 4783.357927

Tabel 4 menunjukkan perhitungan awal sebelum parameter nilai awal λ diduga dengan menggunakan solver. Kolom pertama menunjukkan tanggal pengamatan data yang dimulai dari 1 Januari 2004 dan berakhir pada 28 Desember 2007. Kolom kedua menyatakan hari pengamatan yang terdiri dari hari pertama hingga hari ke-991. Kolom ketiga menyatakan harga penutupan dari indeks LQ45 dalam 991 hari pengamatan. Kolom keempat menyatakan return indeks LQ45. Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-i yang dihitung menggunakan model EWMA dengan λ= 0.4. Sedangkan kolom keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi kemungkinan. Dengan menggunakan nilai awal λ = 0.4, diperoleh nilai Fungsi Kemungkinan sebesar 4783.357927. Pendugaan dengan menggunakan solver pada Microsoft Excel pada prinsipnya akan menentukan parameter λ yang memaksimumkan nilai fungsi kemungkinan. Hasil pendugaan dengan nilai awal λ = 0.4 diperoleh nilai maksimum dari fungsi kemungkinan adalah 5613.151875 dengan nilai λ = 0.906374. Selanjutnya dalam penelitian ini, digunakan nilai parameter λ = 0.906374 dalam melakukan pendugaan volatilitas untuk model EWMA sebagai berikut :

35   

. .

dengan adalah ragam pada saat-t dan = return pada saat-t. 4.2.3 Parameter Power EWMA

Proses pendugaan parameter model PowerEWMA (P-EWMA) dilakukan dengan menentukan nilai k dan λ. Dengan menggunakan data return LQ45 periode 2004-2008, secara iteratif, pendugaan parameter dilakukan dengan bantuan solver pada Microsoft Excel. Pendugaan dilakukan dengan memberikan sebarang nilai awal k dan λ. Pada penelitian ini pendugaan dilakukan dengan memberikan nilai awal k = 1 dan λ = 0.8. Hasil perhitungan fungsi kemungkinan dapat dilihat dari Tabel 5 berikut.

Tabel 5 Perhitungan awal fungsi kemungkinan P-EWMA

Tanggal Hari

Ke-i

Harga

Penutupan Return Ragam Kemungkinan

1/1/2004 1 151.90

1/2/2004 2 155.50 0.023423

1/5/2004 3 161.02 0.034883 0.000549 0.351252

1/6/2004 4 161.33 0.001923 0.000668 0.767210

1/7/2004 5 157.26 -0.025551 0.000561 0.492091

… … … … … …

12/27/2007 990 599.60 0.009838 0.766400 0.766400

12/28/2007 991 599.82 0.000367 0.958310 0.958310

Total Kemungkinan 826.576741

 

Kolom kelima menyatakan ragam pada hari ke-t yang dihitung menggunakan model P-EWMA. Kolom keenam menyatakan nilai logaritma dari fungsi kemungkinan dari distribusi GED. Dengan bantuan solver diperoleh nilai maksimum dari fungsi kemungkinan = 992.260611, dengan k = 1.592196, g(k) = 1.157126, dan λ = 0.930125. Nilai k = 1.592196 memenuhi asumsi kurva leptokurtik.

Selanjutnya, nilai parameter penduga yang diperoleh digunakan untuk menghitung dugaan volatilitas masa mendatang dengan model P-EWMA sebagai berikut:

. _. . _{. | |} .

4.3 Pendugaan Volatilitas di Masa Mendatang

Pada bagian ini akan dibahas pendugaan volatilitas di masa yang akan datang dengan menggunakan model GARCH, EWMA dan P-EWMA. Untuk pendugaan volatilitas digunakan data indeks LQ45 periode 2008-2011. Dengan ketiga model tersebut, akan ditaksir besaran volatilitas dengan menggunakan periode 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan dengan tingkat kepercayaan 95%.

Hasil pendugaan dalam periode 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan dapat dilihat dari Tabel 6, Tabel 7 dan Tabel 8 berikut. Hasil pendugaan lengkap dapat dilihat dari Lampiran 2, Lampiran 3 dan Lampiran 4.

Tabel 6 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan

Periode Volatilitas

Aktual GARCH EWMA P-EWMA

1 0.0293 0.0171 0.0196 0.0201

2 0.0232 0.0159 0.0195 0.0212

3 0.0130 0.0119 0.0100 0.0110

4 0.0193 0.0137 0.0169 0.0177

5 0.0500 0.0554 0.0608 0.0597

… … … … …

23 0.0152 0.0167 0.0189 0.0174

24 0.0296 0.0202 0.0282 0.0281

 

Tabel 7 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan

Periode Volatilitas

Aktual GARCH EWMA P-EWMA

1 0.0280 0.0219 0.0250 0.0246

2 0.0155 0.0119 0.0098 0.0107

3 0.0236 0.0209 0.0289 0.0281

4 0.0467 0.0292 0.0355 0.0348

5 0.0172 0.0195 0.0213 0.0213

… … … … …

15 0.0214 0.0157 0.0177 0.0178

37   

Tabel 8 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 80 hari perdagangan

Periode Volatilitas

Aktual GARCH EWMA P-EWMA

1 0.0262 0.0159 0.0192 0.0206

2 0.0163 0.0137 0.0169 0.0178

3 0.0431 0.0292 0.0355 0.0349

4 0.0190 0.0220 0.0239 0.0237

5 0.0188 0.0138 0.0158 0.0168

… … … … …

11 0.0122 0.0167 0.0189 0.0174

12 0.0233 0.0114 0.0116 0.0131

Kolom pertama menyatakan periode pendugaan, masing-masing terdiri dari 24 periode, 16 periode dan 12 periode. Kolom kedua menyatakan volatilitas aktual pada masing-masing periode, yang dihitung dengan terlebih dulu mencari nilai ragam dari return selama 40, 60 dan 80 hari perdagangan. Kolom ketiga, keempat dan kelima berturut-turut menyatakan hasil pendugaan volatilitas dengan menggunakan model GARCH, EWMA dan P-EWMA. Tren volatilitas aktual dan volatilitas pendugaan dapat dilihat dari Gambar 6, Gambar 7 dan Gambar 8 berikut.

Gambar 6 Volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan. 0.00

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

Volatilitas

Periode (@ 40 Hari Perdagangan)

Aktual

EWMA

GARCH

Gambar 7 Volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan.

Gambar 8 Volatilitas dalam periode 80 hari perdagangan.

Secara umum, dari Gambar 6, Gambar 7 dan Gambar 8, terlihat bahwa trend volatilitas hasil pendugaan mendekati tren volatilitas aktual. Secara umum, ketiga model pendugaan cukup baik menggambarkan volatilitas aktual yang terjadi. Namun demikian, secara visual pendugaan periode 40 hari perdagangan memiliki tren terbaik yang mendekati tren volatilitas aktual.

0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.04 0.05 0.05

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Volatilitas

Periode (@ 60 Hari Perdagangan)

Aktual

EWMA

GARCH

P‐EWMA

0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.04 0.05 0.05

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Volatilitas

Periode (@ 80 Hari Perdagangan)

Aktual

EWMA

GARCH

39   

4.4 Perbandingan Kinerja GARCH, EWMA dan P-EWMA

 

Selanjutnya untuk membandingkan kinerja dari model GARCH, EWMA dan P-EWMA, dihitung nilai RMSFE untuk ketiga periode perkiraan yang dilakukan, yaitu 40 hari perdagangan, 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan. Hasil perhitungan RMSFE dapat dilihat dari Tabel 9 berikut. Hasil perhitungan RMSFE secara lengkap dapat dilihat dari Lampiran 5.

Tabel 9 RMSFE untuk GARCH, EWMA dan P-EWMA Root mean squared forecast error

Periode GARCH EWMA P-EWMA

40 Hari Perdagangan 0.005015 0.003880 0.003374

60 Hari Perdagangan 0.007088 0.006561 0.006402

80 Hari Perdagangan 0.006939 0.005887 0.005308

Tabel 9 menunjukkan untuk periode 40 hari perdagangan, RMSFE untuk model GARCH, EWMA dan P-EWMA berturut-turut adalah 0.005015, 0.003880, dan 0.003372. Data ini menunjukkan bahwa model P-EWMA memiliki nilai RMSFE terkecil dibandingkan model GARCH dan EWMA. Demikian pula untuk periode 60 hari perdagangan dan 80 hari perdagangan, model P-EWMA selalu memiliki nilai

RMSFE terkecil dibandingkan model GARCH dan EWMA. Hal ini menunjukkan bahwa, P-EWMA memiliki kemampuan terbaik dalam melakukan pendugaan dibandingkan dengan model GARCH dan EWMA.

BAB 5 SIMPULAN

1. Hasil analisis modifikasi model EWMA dengan mengasumsikan return berdistribusi power exponential atau generalized error distribution memberikan model P-EWMA untuk menduga volatitas dengan persamaan model sebagai berikut:

g | | dengan

g .

2. Pendugaan menggunakan model GARCH, EWMA dan P-EWMA terhadap data indeks LQ45 periode 2008-2011 adalah sebagai berikut:

Model GARCH:

. , .

Model EWMA:

. .

Model P-EWMA:

. _. . _{. | |} .

dengan adalah ragam pada saat-t dan adalah return pada saat-t.

3. Hasil pendugaan volatilitas berdasarkan RMSFE untuk masing-masing periode perdagangan menunjukkan bahwa model Power EWMA adalah model terbaik dalam menduga volatilitas indeks LQ45. Kebaikan dari model

Power EWMA adalah mengasumsikan bahwa return indeks LQ45

berdistribusi GED sehingga nilai perkiraan ragam mendekati nilai ragam aktual.

DAFTAR PUSTAKA

Andersen T, Bollerslev T, Diebold FX, Ebens H. 2001. The Distribution of Realized Stock Return Volatility. Journal of Financial Economics 61:43-76.

Bertsekas DP. 2003. Nonlinear Programming Second Edition. Massachussetts: Athena Scientific.

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2006. Investments 6th Edition. Boston: The McGraw-Hill Companies.

Bollerslev T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.

Journal of Econometrics 31:307-327.

Brigham EF, Houston JF. 2006. Dasar - Dasar Manajemen Keuangan. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

Chan KC, Karolyi GA. 1991. The Volatility of the Japanese Stock Market: Evidence from 1977 to 1990. Research Report. Amsterdam: North-Holland Publishers.

Engle RF. 1982. The Use of ARCH/GARCH Model in Applied Econometrics.

Journal of Economic Perspektives 4:157-158.

Francq C, Zakoian JM. 2010. GARCH Models. Paris: A John Wiley and Sons Ltd..

Guermat C, Harris RD. 2002. Robust Conditional Variance Estimation and Value-at-Risk.Journal of Risk 4:25-41.

Hasan MI. 2008. Pokok – Pokok Materi Statistik 1 (Statistik Deskriptif). Jakarta: Penerbit Bumi Aksara.

Higgins ML, Bera AK. 1992. A Class of Nonlinear Arch Models. International

Economic Review 33:137-158.

Hull JC. 2006. Options, Future, and Other Derivatives. New Jersey: Pearson Prentice Hall.

[IDX] Indonesia Stock Exchange. 2011. IDX Fact Book 2011.

http://www.idx.co.id [4 Februari 2012].

Kuen TY, Hoong TS. 1992. Forecasting Volatility in the Singapore Stock Market.

Asia Pacific Journal of Management; 1:1 – 13.

Lo MS. 2003. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Time Series Model [tesis]. Burnaby: Departemen of Statistics and Actuaria Science, Simon Fraser University.

Manurung AH. 1997. Risk Premium and Volatility on the Jakarta Stock Exchange. Kelola Business Review, Gajah Mada University; 14:42 - 52. Manurung AH, Nugroho WI. 2005. Pengaruh Variabel Makro terhadap Hubungan

“Conditional Mean and Conditional Volatility” IHSG. Manajemen

Usahawan; 6:13 – 22.

Schwert GW. 1989. Why Does Stock Market Volatility Change over Time? The

Journal of Finance; 44:1115-1153.

Situngkir H, Surya Y. 2004. Stylized Statistical Facts of Indonesian Financial Data: Empirical Study of Several Stock Indexes in Indonesia. Proceeding

Simposium Fisika Nasional, XX 2004. hlm173-178.

Sunariyah. 2003. Pengantar Pengetahuan Pasar Modal. Jakarta: Penerbit UUP AMP LPFE UI.

Tagliafichi RA. 2003. The Estimation of Market VaR using GARCH Models and

Heavy Tail Distributions. Argentina: University of Buenos Aries.

Usman H, Akbar HU. 2008. Pengantar Statistik. Jakarta: Penerbit Bumi Aksara. Widoatmodjo S. 2009. Pasar Modal Indonesia, Pengantar & Study Kasus. Bogor:

47   

Lampiran 1 Daftar Saham Indeks LQ45 Periode Agustus 2012 s.d. Januari 2013

   

Lampiran 2 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 40 hari perdagangan

Periode Volatilitas

Aktual EWMA GARCH P-EWMA

1 0.0293 0.0196 0.0171 0.0201

2 0.0232 0.0195 0.0159 0.0212

3 0.0130 0.0100 0.0119 0.0110

4 0.0193 0.0169 0.0137 0.0177

5 0.0500 0.0608 0.0554 0.0597

6 0.0338 0.0352 0.0292 0.0343

7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

9 0.0205 0.0239 0.0220 0.0236

10 0.0210 0.0209 0.0173 0.0210

11 0.0166 0.0158 0.0138 0.0168

12 0.0130 0.0142 0.0152 0.0142

13 0.0125 0.0138 0.0146 0.0134

14 0.0112 0.0106 0.0114 0.0111

15 0.0122 0.0108 0.0121 0.0113

16 0.0233 0.0155 0.0113 0.0164

17 0.0091 0.0096 0.0106 0.0103

18 0.0117 0.0091 0.0111 0.0096

19 0.0133 0.0140 0.0132 0.0139

20 0.0174 0.0141 0.0135 0.0149

21 0.0090 0.0095 0.0130 0.0099

22 0.0083 0.0078 0.0110 0.0079

23 0.0152 0.0189 0.0167 0.0174

24 0.0296 0.0282 0.0202 0.0281

                 

49   

Lampiran 3 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 60 hari perdagangan

Periode Volatilitas

Aktual EWMA GARCH P-EWMA

1 0.0280 0.0250 0.0219 0.0246

2 0.0155 0.0098 0.0119 0.0107

3 0.0236 0.0289 0.0209 0.0281

4 0.0467 0.0355 0.0292 0.0348

5 0.0172 0.0213 0.0195 0.0213

6 0.0217 0.0209 0.0173 0.0211

7 0.0152 0.0134 0.0132 0.0142

8 0.0129 0.0138 0.0146 0.0135

9 0.0120 0.0122 0.0119 0.0120

10 0.0200 0.0154 0.0113 0.0164

11 0.0111 0.0140 0.0138 0.0135

12 0.0119 0.0139 0.0132 0.0138

13 0.0155 0.0110 0.0125 0.0118

14 0.0125 0.0078 0.0110 0.0080

15 0.0214 0.0177 0.0157 0.0178

16 0.0203 0.0115 0.0114 0.0130

                           

Lampiran 4 Hasil pendugaan volatilitas dalam periode 80 hari perdagangan

Periode Volatilitas

Aktual EWMA GARCH P-EWMA

1 0.0262 0.0192 0.0156 0.0206

2 0.0163 0.0169 0.0135 0.0178

3 0.0431 0.0355 0.0287 0.0349

4 0.0190 0.0239 0.0216 0.0237

5 0.0188 0.0158 0.0136 0.0168

6 0.0127 0.0138 0.0143 0.0135

7 0.0118 0.0108 0.0119 0.0113

8 0.0176 0.0093 0.0105 0.0098

9 0.0126 0.0139 0.0130 0.0138

10 0.0139 0.0094 0.0128 0.0097

11 0.0122 0.0189 0.0164 0.0174

12 0.0233 0.0116 0.0112 0.0131

                                 

51   

Lampiran 5 RMSFE periode 40 hari perdagangan

Periode EWMA GARCH P-EWMA 1 0.00009304 0.00014724 0.00008388 2 0.00001374 0.00005330 0.00000392 3 0.00000878 0.00000120 0.00000418 4 0.00000576 0.00003069 0.00000249 5 0.00011627 0.00002922 0.00009322 6 0.00000204 0.00002079 0.00000027 7 0.00000058 0.00000218 0.00000327 8 0.00001192 0.00000218 0.00000968 9 0.00000001 0.00001385 0.00000000 10 0.00000052 0.00000773 0.00000008 11 0.00000147 0.00000497 0.00000144 12 0.00000159 0.00000406 0.00000077 13 0.00000027 0.00000005 0.00000000 14 0.00000187 0.00000002 0.00000080 15 0.00006087 0.00014435 0.00004735 16 0.00000018 0.00000204 0.00000138 17 0.00000661 0.00000035 0.00000451 18 0.00000050 0.00000000 0.00000042 19 0.00001042 0.00001510 0.00000603 20 0.00000026 0.00001549 0.00000072 21 0.00000029 0.00000733 0.00000020 22 0.00001389 0.00000242 0.00000482 23 0.00000198 0.00008859 0.00000221 24 0.00000848 0.00001053 0.00000162 RSMFE 0.00388011 0.00501520 0.00337434

Lampiran 6 RMSFE periode 60 hari perdagangan

Periode GARCH EWMA P-EWMA 1 0.00003770 0.00000914 0.00001174 2 0.00001320 0.00003242 0.00002308 3 0.00000761 0.00002789 0.00001996 4 0.00030391 0.00012511 0.00013979 5 0.00000504 0.00001669 0.00001669 6 0.00001946 0.00000055 0.00000030 7 0.00000409 0.00000336 0.00000093 8 0.00000280 0.00000088 0.00000035 9 0.00000001 0.00000003 0.00000000 10 0.00007711 0.00002100 0.00001350 11 0.00000719 0.00000844 0.00000549 12 0.00000185 0.00000425 0.00000370 13 0.00000899 0.00001990 0.00001362 14 0.00000229 0.00002247 0.00002104 15 0.00003193 0.00001327 0.00001291 16 0.00008035 0.00007846 0.00005395 RMSFE 0.00708800 0.00656100 0.00640200

53   

Lampiran 7 RMSFE periode 80 hari perdagangan

Periode GARCH EWMA P-EWMA 1 0.00011262 0.00004956 0.00003211 2 0.00000792 0.00000036 0.00000218 3 0.00020647 0.00005743 0.00006701 4 0.00000646 0.00002425 0.00002178 5 0.00002714 0.00000887 0.00000399 6 0.00000260 0.00000117 0.00000054 7 0.00000002 0.00000097 0.00000026 8 0.00005068 0.00006949 0.00006113 9 0.00000020 0.00000180 0.00000155 10 0.00000126 0.00002047 0.00001816 11 0.00001780 0.00004505 0.00002707 12 0.00014460 0.00013640 0.00010231 RSMFE 0.00693872 0.00588662 0.00530806

Lampiran 8 Harga Penutupan Indeks LQ45 Periode 1 Januari 2004 – 30 Desember 2011

Tanggal Hari ke-i Harga Penutupan Return

1‐Jan‐04  1  151.90 

2‐Jan‐04  2  155.50  0.02342332 

5‐Jan‐04  3  161.02  0.03488285 

6‐Jan‐04  4  161.33  0.00192338 

7‐Jan‐04  5  157.26  ‐0.02555147 

8‐Jan‐04  6  161.94  0.02932541 

9‐Jan‐04  7  166.04  0.02500283 

12‐Jan‐04  8  163.17  ‐0.01743612 

13‐Jan‐04  9  164.33  0.00708400 

14‐Jan‐04  10  166.82  0.01503879 

15‐Jan‐04  11  167.71  0.00532091 

16‐Jan‐04  12  169.01  0.00772159 

19‐Jan‐04  13  168.24  ‐0.00456635 

20‐Jan‐04  14  169.42  0.00698931 

21‐Jan‐04  15  170.28  0.00506330 

22‐Jan‐04  16  170.28  0.00000000 

23‐Jan‐04  17  171.84  0.00911967 

26‐Jan‐04  18  171.77  ‐0.00040744 

27‐Jan‐04  19  169.39  ‐0.01395262 

28‐Jan‐04  20  167.96  ‐0.00847789 

29‐Jan‐04  21  167.06  ‐0.00537283 

30‐Jan‐04  22  164.65  ‐0.01453102 

2‐Feb‐04  23  164.65  0.00000000 

3‐Feb‐04  24  158.74  ‐0.03655437 

4‐Feb‐04  25  157.94  ‐0.00505243 

5‐Feb‐04  26  160.00  0.01295860 

6‐Feb‐04  27  164.44  0.02737195 

9‐Feb‐04  28  166.71  0.01371001 

10‐Feb‐04  29  167.05  0.00203739 

11‐Feb‐04  30  168.02  0.00578985 

12‐Feb‐04  31  167.48  ‐0.00321908 

13‐Feb‐04  32  168.95  0.00873887 

16‐Feb‐04  33  169.69  0.00437043 

17‐Feb‐04  34  169.51  ‐0.00106132 

18‐Feb‐04  35  171.46  0.01143808 

19‐Feb‐04  36  171.58  0.00069963 

20‐Feb‐04  37  172.73  0.00668005 

23‐Feb‐04  38  172.73  0.00000000 

24‐Feb‐04  39  169.60  ‐0.01828696 

25‐Feb‐04  40  168.53  ‐0.00632895 

26‐Feb‐04  41  168.41  ‐0.00071229 

27‐Feb‐04  42  165.32  ‐0.01851849 

1‐Mar‐04  43  164.45  ‐0.00527642 

2‐Mar‐04  44  169.62  0.03095407 

3‐Mar‐04  45  168.14  ‐0.00876368 

4‐Mar‐04  46  167.41  ‐0.00435107 

3‐Dec‐10  1698 670.86 ‐0.00256059 

6‐Dec‐10  1699  676.36  0.00816501 

8‐Dec‐10  1700  682.68  0.00930075 

9‐Dec‐10  1701  679.74  ‐0.00431586 

10‐Dec‐10  1702  671.51  ‐0.01218146 

13‐Dec‐10  1703  662.16  ‐0.01402169 

14‐Dec‐10  1704  660.26  ‐0.00287352 

15‐Dec‐10  1705  654.82  ‐0.00827331 

16‐Dec‐10  1706  635.81  ‐0.02946061 

17‐Dec‐10  1707  637.59  0.00279567 

20‐Dec‐10  1708  638.24  0.00101894 

21‐Dec‐10  1709  651.98  0.02129950 

22‐Dec‐10  1710  647.74  ‐0.00652451 

23‐Dec‐10  1711  644.11  ‐0.00561986 

27‐Dec‐10  1712  647.59  0.00538826 

28‐Dec‐10  1713  653.85  0.00962019 

29‐Dec‐10  1714  660.85  0.01064892 

30‐Dec‐10  1715  661.38  0.00080168 

3‐Jan‐11  1716  667.95  0.00988476 

4‐Jan‐11  1717  673.04  0.00759144 

5‐Jan‐11  1718  677.72  0.00692946 

6‐Jan‐11  1719  666.08  ‐0.01732444 

7‐Jan‐11  1720  642.53  ‐0.03599628 

10‐Jan‐11  1721  611.74  ‐0.04910615 

11‐Jan‐11  1722  605.37  ‐0.01046751 

12‐Jan‐11  1723  626.49  0.03429297 

13‐Jan‐11  1724  629.01  0.00401434 

14‐Jan‐11  1725  629.07  0.00009538 

17‐Jan‐11  1726  622.29  ‐0.01083632 

18‐Jan‐11  1727  624.32  0.00325684 

19‐Jan‐11  1728  621.73  ‐0.00415714 

20‐Jan‐11  1729  605.72  ‐0.02608808 

21‐Jan‐11  1730  590.24  ‐0.02588860 

24‐Jan‐11  1731  585.22  ‐0.00854139 

25‐Jan‐11  1732  603.22  0.03029413 

26‐Jan‐11  1733  618.42  0.02488587 

27‐Jan‐11  1734  620.22  0.00290642 

28‐Jan‐11  1735  614.34  ‐0.00952573 

31‐Jan‐11  1736  597.85  ‐0.02720863 

1‐Feb‐11  1737  605.13  0.01210342 

2‐Feb‐11  1738  612.56  0.01220359 

4‐Feb‐11  1739  616.20  0.00592469 

7‐Feb‐11  1740  615.87  ‐0.00053568 

8‐Feb‐11  1741  610.03  ‐0.00952777 

9‐Feb‐11  1742  599.64  ‐0.01717866 

10‐Feb‐11  1743  590.61  ‐0.01517357 

11‐Feb‐11  1744  595.12  0.00760716 

14‐Feb‐11  1745  600.17  0.00844988 

16‐Feb‐11  1746  600.67  0.00083275 

Tanggal Hari

ke-i

Harga Penutupan

Return

18‐Feb‐11  1748  618.75  0.02310115 

21‐Feb‐11  1749  620.11  0.00219557 

22‐Feb‐11  1750  610.22  ‐0.01607733 

23‐Feb‐11  1751  616.14  0.00965466 

24‐Feb‐11  1752  607.57  ‐0.01400682 

25‐Feb‐11  1753  607.70  0.00021394 

28‐Feb‐11  1754  614.02  0.01034616 

1‐Mar‐11  1755  622.74  0.01410160 

2‐Mar‐11  1756  618.62  ‐0.00663791 

3‐Mar‐11  1757  621.23  0.00421019 

4‐Mar‐11  1758  632.82  0.01848464 

7‐Mar‐11  1759  637.63  0.00757216 

8‐Mar‐11  1760  640.44  0.00439726 

9‐Mar‐11  1761  644.04  0.00560540 

10‐Mar‐11  1762  641.76  ‐0.00354643 

11‐Mar‐11  1763  631.50  ‐0.01611646 

14‐Mar‐11  1764  638.11  0.01041274 

15‐Mar‐11  1765  629.30  ‐0.01390259 

16‐Mar‐11  1766  629.48  0.00028599 

17‐Mar‐11  1767  619.75  ‐0.01557791 

18‐Mar‐11  1768  621.21  0.00235302 

21‐Mar‐11  1769  628.20  0.01118940 

22‐Mar‐11  1770  627.70  ‐0.00079624 

23‐Mar‐11  1771  636.74  0.01429906 

24‐Mar‐11  1772  647.73  0.01711253 

25‐Mar‐11  1773  647.56  ‐0.00026249 

28‐Mar‐11  1774  645.31  ‐0.00348063 

29‐Mar‐11  1775  642.14  ‐0.00492447 

30‐Mar‐11  1776  650.88  0.01351894 

31‐Mar‐11  1777  659.05  0.01247411 

1‐Apr‐11  1778  665.01  0.00900267 

4‐Apr‐11  1779  662.50  ‐0.00378152 

5‐Apr‐11  1780  658.76  ‐0.00566128 

6‐Apr‐11  1781  665.65  0.01040473 

7‐Apr‐11  1782  667.76  0.00316482 

8‐Apr‐11  1783  669.60  0.00275169 

11‐Apr‐11  1784  670.51  0.00135810 

12‐Apr‐11  1785  664.90  ‐0.00840196 

13‐Apr‐11  1786  668.60  0.00554932 

14‐Apr‐11  1787  663.65  ‐0.00743107 

15‐Apr‐11  1788  668.73  0.00762549 

18‐Apr‐11  1789  667.87  ‐0.00128685 

19‐Apr‐11  1790  668.63  0.00113730 

20‐Apr‐11  1791  682.20  0.02009203 

21‐Apr‐11  1792  682.37  0.00024916 

25‐Apr‐11  1793  679.37  ‐0.00440613 

26‐Apr‐11  1794  676.03  ‐0.00492844 

27‐Apr‐11  1795  681.16  0.00755977 

28‐Apr‐11  1796  680.89  ‐0.00039646 

2‐May‐11  1798 687.35 0.00982478 

3‐May‐11  1799  681.06  ‐0.00919322 

4‐May‐11  1800  681.58  0.00076322 

5‐May‐11  1801  680.89  ‐0.00101287 

6‐May‐11  1802  677.61  ‐0.00482886 

9‐May‐11  1803  674.39  ‐0.00476332 

10‐May‐11  1804  677.11  0.00402516 

11‐May‐11  1805  686.42  0.01365594 

12‐May‐11  1806  678.19  ‐0.01206220 

13‐May‐11  1807  682.40  0.00618851 

16‐May‐11  1808  676.10  ‐0.00927500 

18‐May‐11  1809  684.53  0.01239148 

19‐May‐11  1810  689.38  0.00706017 

20‐May‐11  1811  691.84  0.00356207 

23‐May‐11  1812  673.40  ‐0.02701521 

24‐May‐11  1813  673.54  0.00020788 

25‐May‐11  1814  672.41  ‐0.00167911 

26‐May‐11  1815  678.88  0.00957611 

27‐May‐11  1816  681.29  0.00354368 

30‐May‐11  1817  680.68  ‐0.00089576 

31‐May‐11  1818  682.25  0.00230386 

1‐Jun‐11  1819  682.29  0.00005863 

3‐Jun‐11  1820  684.50  0.00323386 

6‐Jun‐11  1821  681.71  ‐0.00408430 

7‐Jun‐11  1822  682.14  0.00063057 

8‐Jun‐11  1823  677.81  ‐0.00636790 

9‐Jun‐11  1824  673.39  ‐0.00654236 

10‐Jun‐11  1825  670.07  ‐0.00494247 

13‐Jun‐11  1826  663.21  ‐0.01029050 

14‐Jun‐11  1827  667.71  0.00676227 

15‐Jun‐11  1828  672.16  0.00664246 

16‐Jun‐11  1829  661.91  ‐0.01536681 

17‐Jun‐11  1830  658.79  ‐0.00472478 

20‐Jun‐11  1831  660.31  0.00230460 

21‐Jun‐11  1832  670.84  0.01582124 

22‐Jun‐11  1833  675.88  0.00748489 

23‐Jun‐11  1834  676.75  0.00128638 

24‐Jun‐11  1835  681.49  0.00697965 

27‐Jun‐11  1836  675.26  ‐0.00918378 

28‐Jun‐11  1837  678.08  0.00416747 

30‐Jun‐11  1838  690.65  0.01836791 

1‐Jul‐11  1839  698.86  0.01181725 

4‐Jul‐11  1840  704.24  0.00766877 

5‐Jul‐11  1841  696.90  ‐0.01047728 

6‐Jul‐11  1842  692.59  ‐0.00620373 

7‐Jul‐11  1843  696.51  0.00564396 

8‐Jul‐11  1844  710.90  0.02044962 

11‐Jul‐11  1845  708.96  ‐0.00273267 

12‐Jul‐11  1846  698.05  ‐0.01550837 

Tanggal Hari

ke-i

Harga Penutupan

Return

14‐Jul‐11  1848  707.68  0.00400700 

15‐Jul‐11  1849  713.18  0.00774183 

18‐Jul‐11  1850  714.62  0.00201709 

19‐Jul‐11  1851  710.21  ‐0.00619023 

20‐Jul‐11  1852  714.04  0.00537828 

21‐Jul‐11  1853  718.03  0.00557237 

22‐Jul‐11  1854  725.94  0.01095602 

25‐Jul‐11  1855  721.09  ‐0.00670341 

26‐Jul‐11  1856  731.04  0.01370422 

27‐Jul‐11  1857  740.99  0.01351895 

28‐Jul‐11  1858  733.06  ‐0.01075958 

29‐Jul‐11  1859  729.84  ‐0.00440222 

1‐Aug‐11  1860  742.50  0.01719754 

2‐Aug‐11  1861  740.64  ‐0.00250819 

3‐Aug‐11  1862  732.74  ‐0.01072375 

4‐Aug‐11  1863  730.10  ‐0.00360942 

5‐Aug‐11  1864  693.29  ‐0.05173313 

8‐Aug‐11  1865  681.95  ‐0.01649204 

9‐Aug‐11  1866  660.51  ‐0.03194408 

10‐Aug‐11  1867  685.25  0.03677147 

11‐Aug‐11  1868  686.29  0.00151654 

12‐Aug‐11  1869  689.60  0.00481144 

15‐Aug‐11  1870  702.43  0.01843403 

16‐Aug‐11  1871  700.40  ‐0.00289415 

18‐Aug‐11  1872  715.34  0.02110635 

19‐Aug‐11  1873  679.20  ‐0.05184232 

22‐Aug‐11  1874  677.83  ‐0.00201912 

23‐Aug‐11  1875  686.00  0.01198111 

24‐Aug‐11  1876  678.36  ‐0.01119951 

25‐Aug‐11  1877  676.40  ‐0.00289350 

26‐Aug‐11  1878  676.26  ‐0.00020700 

5‐Sep‐11  1879  682.97  0.00987332 

6‐Sep‐11  1880  687.51  0.00662544 

7‐Sep‐11  1881  710.09  0.03231535 

8‐Sep‐11  1882  709.69  ‐0.00056347 

9‐Sep‐11  1883  705.25  ‐0.00627591 

12‐Sep‐11  1884  684.18  ‐0.03033131 

13‐Sep‐11  1885  680.54  ‐0.00533444 

14‐Sep‐11  1886  664.93  ‐0.02320483 

15‐Sep‐11  1887  659.76  ‐0.00780564 

16‐Sep‐11  1888  670.10  0.01555082 

19‐Sep‐11  1889  654.34  ‐0.02379986 

20‐Sep‐11  1890  654.41  0.00010697 

21‐Sep‐11  1891  643.39  ‐0.01698299 

22‐Sep‐11  1892  578.21  ‐0.10681395 

23‐Sep‐11  1893  592.72  0.02478499 

26‐Sep‐11  1894  574.15  ‐0.03183143 

27‐Sep‐11  1895  604.71  0.05185832 

28‐Sep‐11  1896  614.53  0.01610874 

30‐Sep‐11  1898 622.64 0.00294343 

3‐Oct‐11  1899  584.22  ‐0.06369088 

4‐Oct‐11  1900  569.46  ‐0.02558908 

5‐Oct‐11  1901  574.09  0.00809764 

6‐Oct‐11  1902  603.63  0.05017525 

7‐Oct‐11  1903  600.23  ‐0.00564851 

10‐Oct‐11  1904  605.96  0.00950106 

11‐Oct‐11  1905  622.90  0.02757201 

12‐Oct‐11  1906  645.51  0.03565471 

13‐Oct‐11  1907  652.05  0.01008054 

14‐Oct‐11  1908  649.69  ‐0.00362592 

17‐Oct‐11  1909  661.17  0.01751567 

18‐Oct‐11  1910  641.24  ‐0.03060719 

19‐Oct‐11  1911  654.02  0.01973413 

20‐Oct‐11  1912  641.28  ‐0.01967175 

21‐Oct‐11  1913  640.24  ‐0.00162307 

24‐Oct‐11  1914  659.62  0.02982081 

25‐Oct‐11  1915  660.67  0.00159056 

26‐Oct‐11  1916  666.49  0.00877066 

27‐Oct‐11  1917  679.89  0.01990588 

28‐Oct‐11  1918  683.88  0.00585144 

31‐Oct‐11  1919  675.57  ‐0.01222568 

1‐Nov‐11  1920  653.81  ‐0.03273999 

2‐Nov‐11  1921  671.09  0.02608647 

3‐Nov‐11  1922  659.23  ‐0.01783077 

4‐Nov‐11  1923  674.74  0.02325494 

7‐Nov‐11  1924  673.83  ‐0.00134958 

8‐Nov‐11  1925  678.37  0.00671501 

9‐Nov‐11  1926  689.29  0.01596922 

10‐Nov‐11  1927  673.86  ‐0.02263971 

11‐Nov‐11  1928  671.88  ‐0.00294262 

14‐Nov‐11  1929  682.92  0.01629797 

15‐Nov‐11  1930  678.19  ‐0.00695024 

16‐Nov‐11  1931  678.52  0.00048647 

17‐Nov‐11  1932  673.25  ‐0.00779722 

18‐Nov‐11  1933  663.92  ‐0.01395507 

21‐Nov‐11  1934  648.59  ‐0.02336088 

22‐Nov‐11  1935  660.02  0.01746936 

23‐Nov‐11  1936  651.04  ‐0.01369905 

24‐Nov‐11  1937  653.30  0.00346536 

25‐Nov‐11  1938  641.43  ‐0.01833638 

28‐Nov‐11  1939  643.15  0.00267792 

29‐Nov‐11  1940  652.58  0.01455576 

30‐Nov‐11  1941  656.41  0.00585186 

1‐Dec‐11  1942  669.09  0.01913299 

2‐Dec‐11  1943  669.50  0.00061258 

5‐Dec‐11  1944  669.62  0.00017922 

6‐Dec‐11  1945  664.43  ‐0.00778086 

7‐Dec‐11  1946  671.49  0.01056959 

Tanggal Hari

ke-i

Harga Penutupan

Return

9‐Dec‐11  1948  663.46  ‐0.00732846 

12‐Dec‐11  1949  670.18  0.01007777 

13‐Dec‐11  1950  662.34  ‐0.01176731 

14‐Dec‐11  1951  660.73  ‐0.00243373 

15‐Dec‐11  1952  650.08  ‐0.01624985 

16‐Dec‐11  1953  663.31  0.02014702 

19‐Dec‐11  1954  665.03  0.00258970 

20‐Dec‐11  1955  662.02  ‐0.00453639 

21‐Dec‐11  1956  670.04  0.01204165 

22‐Dec‐11  1957  670.97  0.00138701 

23‐Dec‐11  1958  671.39  0.00062576 

27‐Dec‐11  1959  670.02  ‐0.00204263 

28‐Dec‐11  1960  663.69  ‐0.00949239 

29‐Dec‐11  1961  671.11  0.01111788