…
.
Selain itu, solusi ini adalah white noise karena | ,
dan untuk semua ,
Cov , | ,
. Misalkan
menunjukkan solusi stasioner orde kedua lainnya. Diperoleh
… ,
dan …
. Nilai harapan dari
dibatasi oleh |
| yang
terbatas dan bebas dari dengan stasioneritas, dan karena untuk
∞, diperoleh = 0 dan
untuk semua , hampir pasti.
2.6 Model EWMA
Model rata-rata bergerak terboboti eksponensial atau exponential weighted moving average EWMA pertama kali dikenalkan oleh Nelson pada
tahun 1990 Tagliafichi 2003. Model EWMA merupakan bagian dari model GARCH untuk kasus khusus dari model GARCH1,1 dengan bobot pemulusan
dioptimasi. EWMA merupakan salah satu dari model volatilitas data time series yang memperkirakan volatilitas di masa mendatang dengan menggunakan
volatilitas rata-rata terdahulu. Dibandingkan dengan GARCH, struktur model EWMA lebih sederhana namun tetap mempertahankan ketepatan model dalam
melakukan estimasi. Model EWMA digunakan untuk meramalkan ragam dari return
berdistribusi normal. Model EWMA menggunakan data pengamatan historis untuk meramalkan ragam dengan memberikan bobot tertinggi pada data observasi
terbaru. Penetapan bobot memungkinkan ragam mengikuti lompatan return di pasar dan selanjutnya menurun secara eksponensial.
Model EWMA untuk data sebanyak k return , … ,
, return terbaru diberikan bobot 1 -
λ, return berikutnya 1 - λλ dan seterusnya, sehingga return terakhir diberi bobot 1 -
λ , dengan
λ 0 λ 1 merupakan faktor peluruhan decay factor. Secara umum, EWMA meramalkan ragam untuk k
return sebagai berikut: ,
dengan = return. Dengan mengasumsikan = 0 dan jumlah tak berhingga data tersedia, maka
perkiraan ragam satu hari ke depan dapat diturunkan sebagai berikut:
… …
Morgan menggunakan model EWMA untuk memperkirakan volatilitas dari ragam berdistribusi normal Hull 2006. Dalam model EWMA, ragam periode
berikutnya didefinisikan sebagai rata-rata terbobot dari ragam dan kuadrat return periode ini,
9 dengan adalah ragam periode t,
adalah return periode t dan λ adalah faktor
peluruhan. Dengan substitusi rekursif, estimator EWMA standar dapat ditulis sebagai berikut:
… Secara umum, ragam EWMA dihitung dengan formula sebagai berikut:
∞
Secara matematis, model EWMA diturunkan dari model GARCH1,1 sebagai berikut :
. 10 Dengan mensubstitusi
ke persamaan 10 diperoleh: . 11
Jika persamaan ini dilanjutkan sampai lag ke-j dengan j adalah maksimum lag, persamaan 12 menjadi sebagai berikut :
Jika j →∞ dengan 0 β 1 maka 1- → 1 dan → 0. Persamaan 12 dapat
ditulis menjadi: .
Model EWMA yang dikembangkan Morgan merupakan model GARCH1,1 dengan K = 0,
α = 1 - λ dan β = λ.
