Proses perhitungan akan berhenti pada saat
��
�̅
dan �̂
�̅
untuk �̅ = � −10, dengan �
adalah usia tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Setelah memperoleh
nilai dugaan parameter ��
�̅
dan �̂
�̅
dilanjutkan dengan menghitung fungsi survival
berdasarkan persamaan: �̂� + � = ��
� 1−�̂��+�
dengan � = 1, … ,4
� = 75,80, … , � − 15 � = 1, … , 119 − �
� = � − 10 4.2
Dimulai dari survival �̂� kemudian
menduga jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yakni
�
� �
pada persamaan 3.3. Hasil
perhitungan ��
�̅
dan �̂
�̅
menggunakan persamaan 4.1 dan 4.2 diberikan pada Lampiran 5. Selanjutnya hasil
nilai �
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan menggunakan metode Elandt-
Johnson diberikan pada Lampiran
4. Perbandingan kurva
�
�
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan
berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Plot �
�
asli Amerika Serikat 2007 dan �
�
dengan metode Elandt-Johnson Gambar 4.2 kurva
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli memiliki
perbedaan yang sangat kecil dengan metode Elandt-Johnson, sehingga metode Elandt-
Johnson dikatakan sangat baik dalam
menduga �
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007.
4.2. Metode Brass Logit
Brass 1971 mengasumsikan hubungan linear persamaan 3.4 yakni antara
�
�
dan �
� �
. �
� �
merupakan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat standar,
sedangkan � dan � adalah parameter yang
masing-masing menyatakan perubahan level kematian dan slope kematian. Perubahan nilai
� berhubungan dengan distribusi usia yang berbeda yaitu apakah kematian usia anak-anak
lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian usia dewasa. Jika nilai
� 1 berarti kematian usia anak-anak lebih rendah
dibandingkan dengan kematian usia dewasa, sebaliknya jika
� 1 berarti kematian usia anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan
kematian usia dewasa.
Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan
digunakan, oleh karena itu perlu dilakukan pengujian linearitas antara logit
1 − �
�
dengan logit
�1 − �
� �
� menggunakan persamaan 3.4. Pada tulisan ini data yang
digunakan sebagai data standar adalah tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002.
Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan bantuan Software Mathematica
7.0 diperoleh � = −0.154 dan � = 0.91
dengan �
2
= 0.9989 yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan
linear antara logit 1
− �
�
2007 dan logit �1 − �
� �
� 2002 dapat dilihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.
20 40
60 80
100 20000
40000 60000
80000 100000
Elandt Johnson
Asli
Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit Jumlah penduduk yang bertahan hidup
dari tabel hayat lengkap dapat dihitung berdasarkan persamaan 3.4 dan persamaan
3.5 sehingga diperoleh persamaan 3.6. Berdasarkan perhitungan
� = −0.154 dan � = 0.91, � 1 artinya angka kematian
penduduk Amerika Serikat 2007 usia anak- anak lebih tinggi dibandingkan dengan usia
muda. Parameter � yang mendekati 1
menunjukkan bahwa perubahan kurva �
�
pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 tidak
berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat
2002. Bukti persamaan 3.6:
�
�
= 1
1 + exp �2 �� + �logit�1 − �
� S
��� Diketahui:
logit1 − �
�
= 1
2 ln
� 1
− �
�
�
�
� Bukti:
logit1 − �
�
= � + �logit�1 − �
� S
� 1
2 ln
� 1
− �
�
�
�
� = � + �logit�1 − �
� S
� ln
� 1
− �
�
�
�
� = 2 �� + �logit�1 − �
� S
�� �
1 − �
�
�
�
� = exp �2 �� +
�logit�1 − �
� S
��� 1
�
�
− �
�
�
�
= exp �2 �� + �logit�1 − �
� S
��� 1
�
�
− 1 = exp �2 �� + �logit�1 − �
� S
��� 1
�
�
= 1 + exp �2 �� + �logit�1 − �
� S
��� �
�
= 1
1 + exp �2 �� + �logit�1 − �
� S
��� Berdasarkan hasil yang diperoleh persamaan
3.6 menjadi
�
�
=
1 1+exp [2−0.154+0.91logit1− ��]
S
4.3 Nilai
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Brass Logit
diperoleh dengan mensubstitusi �
� �
data standar
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 kepersamaan 4.3. Nilai
�
�
metode ini dapat dilihat pada lampiran 4. Perbandingan kurva
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva
�
�
dengan metode Brass Logit tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat
pada Gambar 4.4.
4 2
2 4
6 4
2 2
4
logit
1
s
l
x
logit
1 l
x
Gambar 4.4 Plot �
�
asli Amerika Serikat 2007 dan �
�
dengan metode Brass Logit Kurva
�
�
dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli, kecuali di
usia sekitar 50 tahun ke atas nilai �
�
berbeda jauh dengan nilai
�
�
sebenarnya. 4.3. Model Heligman-Pollard HP
Menurut Heligman-Pollard 1980, model Heligman-Pollard adalah salah satu metode
interpolasi yang merepresentasikan kematian selama rentang waktu seluruh kehidupan. Ide
yang mendasari model Heligman-Pollard ini adalah bahwa kelompok kematian dapat
dibagi menjadi tiga kelas, yakni komponen pertama merepresentasikan kematian bayi dan
anak-anak,
komponen kedua
merepresentasikan kematian dewasa muda, dan komponen ketiga merepresentasikan
kematian di usia tua. Fungsi matematika model Heligman-
Pollard diberikan pada persamaan 3.7. Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan
tersebut adalah ��; �, yakni suatu fungsi
dengan variabel usia
� dan � merupakan
vektor parameter pada persamaan tersebut, maka rumus Heligman-Pollard akan menjadi:
�
�
�
�
= ��; �
karena �
�
= 1 − �
�
maka �
�
= ��; �
1 + ��; �
Bukti hubungan �
� �
dengan �
�
pada model Heligman-Pollard:
�
� �
= 1 − �1 − �
�+� �−1
�=0
Bukti: �
� �
= 1 − �
� �
= 1 −
�
� �
�
�
= �
�+�
�
�
= �
�+1
�
�
�
�+2
�
�+1
… �
�+�
�
�+�−1
= �
�
�
�+1
… �
�+�−1
= � �
�+� �−1
�=0
�
� �
= 1 − � �
�+� �−1
�=0
= 1 − �1 − �
�+� �−1
�=0
20 40
60 80
100 20000
40000 60000
80000 100000
Brass Logit
Asli
Sehingga model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas adalah:
��
� �
= 1 − � �1 −
�� + �; � 1 +
�� + �; � �
�−1 �=0
Nilai-nilai parameter model Heligman- Pollard dapat dihitung dengan menggunakan
persamaan 3.8. Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan software
Mathematica 7.0 diperoleh nilai-nilai
parameter model Heligman-Pollard yang diberikan pada Tabel 4.3 di bawah ini.
Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard. Parameter Nilai Keterangan
� 0.0073 Representasi dari �
1
� 4.2105 Perbedaan antara � dan
�
1
� 0.2905 Penurunan laju kematian anak-anak. � 0.0009 Intensitas kematian pada dewasa muda.
� 7.8659 Sebaran usia terjadinya kecelakaan. � 23.3058 Usia muda dengan kematian terbanyak.
� 0.0001 Tingkat kematian usia tua. � 1.0928 Laju peningkatan kematian usia tua.
Kemudian dengan mensubstitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah
diperoleh ke dalam persamaan 3.10 akan dihasilkan nilai dugaan
�
�
tabel hayat lengkap. Setelah nilai
�
�
diperoleh, nilai �
�
dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan dengan fungsi
�
�
yaitu: �
�+1
= 1 − �
�
�
�
; � = 0,1,2, … , � 4.4
� adalah usia tertua tabel hayat ringkas dan �
= 100000. Hasil pendugaan
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 diberikan pada
Lampiran 4. Perbandingan kurva �
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli
dan kurva �
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard
dapat dilihat pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 Plot �
�
asli Amerika Serikat 2007 dan �
�
dengan model Heligman-Pollard Pola kurva
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model
Heligman-Pollard mengikuti pola �
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat yang asli.
Model Heligman-Pollard dapat menduga data asli dengan cukup baik.
4.4. Metode Kostaki