Metode Brass Logit Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas

Proses perhitungan akan berhenti pada saat �� �̅ dan �̂ �̅ untuk �̅ = � −10, dengan � adalah usia tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Setelah memperoleh nilai dugaan parameter �� �̅ dan �̂ �̅ dilanjutkan dengan menghitung fungsi survival berdasarkan persamaan: �̂� + � = �� � 1−�̂��+� dengan � = 1, … ,4 � = 75,80, … , � − 15 � = 1, … , 119 − � � = � − 10 4.2 Dimulai dari survival �̂� kemudian menduga jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yakni � � � pada persamaan 3.3. Hasil perhitungan �� �̅ dan �̂ �̅ menggunakan persamaan 4.1 dan 4.2 diberikan pada Lampiran 5. Selanjutnya hasil nilai � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan menggunakan metode Elandt- Johnson diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva � � pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.2. Gambar 4.2 Plot � � asli Amerika Serikat 2007 dan � � dengan metode Elandt-Johnson Gambar 4.2 kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli memiliki perbedaan yang sangat kecil dengan metode Elandt-Johnson, sehingga metode Elandt- Johnson dikatakan sangat baik dalam menduga � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007.

4.2. Metode Brass Logit

Brass 1971 mengasumsikan hubungan linear persamaan 3.4 yakni antara � � dan � � � . � � � merupakan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat standar, sedangkan � dan � adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level kematian dan slope kematian. Perubahan nilai � berhubungan dengan distribusi usia yang berbeda yaitu apakah kematian usia anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian usia dewasa. Jika nilai � 1 berarti kematian usia anak-anak lebih rendah dibandingkan dengan kematian usia dewasa, sebaliknya jika � 1 berarti kematian usia anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian usia dewasa. Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu perlu dilakukan pengujian linearitas antara logit 1 − � � dengan logit �1 − � � � � menggunakan persamaan 3.4. Pada tulisan ini data yang digunakan sebagai data standar adalah tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002. Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan bantuan Software Mathematica 7.0 diperoleh � = −0.154 dan � = 0.91 dengan � 2 = 0.9989 yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara logit 1 − � � 2007 dan logit �1 − � � � � 2002 dapat dilihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.                                                         20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000  Elandt Johnson  Asli Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat dihitung berdasarkan persamaan 3.4 dan persamaan 3.5 sehingga diperoleh persamaan 3.6. Berdasarkan perhitungan � = −0.154 dan � = 0.91, � 1 artinya angka kematian penduduk Amerika Serikat 2007 usia anak- anak lebih tinggi dibandingkan dengan usia muda. Parameter � yang mendekati 1 menunjukkan bahwa perubahan kurva � � pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat 2002. Bukti persamaan 3.6: � � = 1 1 + exp �2 �� + �logit�1 − � � S ��� Diketahui: logit1 − � � = 1 2 ln � 1 − � � � � � Bukti: logit1 − � � = � + �logit�1 − � � S � 1 2 ln � 1 − � � � � � = � + �logit�1 − � � S � ln � 1 − � � � � � = 2 �� + �logit�1 − � � S �� � 1 − � � � � � = exp �2 �� + �logit�1 − � � S ��� 1 � � − � � � � = exp �2 �� + �logit�1 − � � S ��� 1 � � − 1 = exp �2 �� + �logit�1 − � � S ��� 1 � � = 1 + exp �2 �� + �logit�1 − � � S ��� � � = 1 1 + exp �2 �� + �logit�1 − � � S ��� Berdasarkan hasil yang diperoleh persamaan 3.6 menjadi � � = 1 1+exp [2−0.154+0.91logit1− ��] S 4.3 Nilai � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubstitusi � � � data standar � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 kepersamaan 4.3. Nilai � � metode ini dapat dilihat pada lampiran 4. Perbandingan kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva � � dengan metode Brass Logit tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.4. 4 2 2 4 6 4 2 2 4 logit  1  s l x  logit 1 l x Gambar 4.4 Plot � � asli Amerika Serikat 2007 dan � � dengan metode Brass Logit Kurva � � dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli, kecuali di usia sekitar 50 tahun ke atas nilai � � berbeda jauh dengan nilai � � sebenarnya. 4.3. Model Heligman-Pollard HP Menurut Heligman-Pollard 1980, model Heligman-Pollard adalah salah satu metode interpolasi yang merepresentasikan kematian selama rentang waktu seluruh kehidupan. Ide yang mendasari model Heligman-Pollard ini adalah bahwa kelompok kematian dapat dibagi menjadi tiga kelas, yakni komponen pertama merepresentasikan kematian bayi dan anak-anak, komponen kedua merepresentasikan kematian dewasa muda, dan komponen ketiga merepresentasikan kematian di usia tua. Fungsi matematika model Heligman- Pollard diberikan pada persamaan 3.7. Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan tersebut adalah ��; �, yakni suatu fungsi dengan variabel usia � dan � merupakan vektor parameter pada persamaan tersebut, maka rumus Heligman-Pollard akan menjadi: � � � � = ��; � karena � � = 1 − � � maka � � = ��; � 1 + ��; � Bukti hubungan � � � dengan � � pada model Heligman-Pollard: � � � = 1 − �1 − � �+� �−1 �=0 Bukti: � � � = 1 − � � � = 1 − � � � � � = � �+� � � = � �+1 � � � �+2 � �+1 … � �+� � �+�−1 = � � � �+1 … � �+�−1 = � � �+� �−1 �=0 � � � = 1 − � � �+� �−1 �=0 = 1 − �1 − � �+� �−1 �=0                                                            20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000  Brass Logit  Asli Sehingga model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas adalah: �� � � = 1 − � �1 − �� + �; � 1 + �� + �; � � �−1 �=0 Nilai-nilai parameter model Heligman- Pollard dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 3.8. Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh nilai-nilai parameter model Heligman-Pollard yang diberikan pada Tabel 4.3 di bawah ini. Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard. Parameter Nilai Keterangan � 0.0073 Representasi dari � 1 � 4.2105 Perbedaan antara � dan � 1 � 0.2905 Penurunan laju kematian anak-anak. � 0.0009 Intensitas kematian pada dewasa muda. � 7.8659 Sebaran usia terjadinya kecelakaan. � 23.3058 Usia muda dengan kematian terbanyak. � 0.0001 Tingkat kematian usia tua. � 1.0928 Laju peningkatan kematian usia tua. Kemudian dengan mensubstitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh ke dalam persamaan 3.10 akan dihasilkan nilai dugaan � � tabel hayat lengkap. Setelah nilai � � diperoleh, nilai � � dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan dengan fungsi � � yaitu: � �+1 = 1 − � � � � ; � = 0,1,2, … , � 4.4 � adalah usia tertua tabel hayat ringkas dan � = 100000. Hasil pendugaan � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.5. Gambar 4.5 Plot � � asli Amerika Serikat 2007 dan � � dengan model Heligman-Pollard Pola kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard mengikuti pola � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat yang asli. Model Heligman-Pollard dapat menduga data asli dengan cukup baik.

4.4. Metode Kostaki