Metode Kostaki Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas

Sehingga model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas adalah: �� � � = 1 − � �1 − �� + �; � 1 + �� + �; � � �−1 �=0 Nilai-nilai parameter model Heligman- Pollard dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 3.8. Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh nilai-nilai parameter model Heligman-Pollard yang diberikan pada Tabel 4.3 di bawah ini. Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard. Parameter Nilai Keterangan � 0.0073 Representasi dari � 1 � 4.2105 Perbedaan antara � dan � 1 � 0.2905 Penurunan laju kematian anak-anak. � 0.0009 Intensitas kematian pada dewasa muda. � 7.8659 Sebaran usia terjadinya kecelakaan. � 23.3058 Usia muda dengan kematian terbanyak. � 0.0001 Tingkat kematian usia tua. � 1.0928 Laju peningkatan kematian usia tua. Kemudian dengan mensubstitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh ke dalam persamaan 3.10 akan dihasilkan nilai dugaan � � tabel hayat lengkap. Setelah nilai � � diperoleh, nilai � � dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan dengan fungsi � � yaitu: � �+1 = 1 − � � � � ; � = 0,1,2, … , � 4.4 � adalah usia tertua tabel hayat ringkas dan � = 100000. Hasil pendugaan � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.5. Gambar 4.5 Plot � � asli Amerika Serikat 2007 dan � � dengan model Heligman-Pollard Pola kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard mengikuti pola � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat yang asli. Model Heligman-Pollard dapat menduga data asli dengan cukup baik.

4.4. Metode Kostaki

Metode interpolasi Kostaki Kostaki 2000 memberikan metode nonparametric sederhana yang berkaitan dengan peluang kematian lima tahunan dan peluang kematian satu tahunan. Hipotesis dari metode ini adalah                                                          20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000  Heligman Pollard  Asli bahwa dalam setiap usia interval [ �, � + �, laju kematian sesaat �� tabel hayat ringkas adalah perkalian atau penggandaan konstanta laju kematian sesaat �� tabel hayat lengkap standar di interval usia yang sama. Hipotesis metode ini diberikan pada persamaan: �� = � � ∗ � � � � Oleh karena itu konstanta � � � konstan untuk setiap interval usia [ �, � + �. Metode interpolasi Kostaki berdasarkan data standar diberikan pada persamaan 3.11. Kemudian untuk memperoleh nilai dugaan � � tahunan, hasil perhitungan persamaan 3.11 disubstitusi kepersamaan 3.12. Bukti persamaan 3.11: � � � = ln1 − � � � ∑ ln 1 − � �+� � �=1 �=0 Diketahui: �� = � � ∗ � � � � Bukti: − � � �+� �� = − � � � � � �+� �� � � � ln � � = � � � � ln � � � � � � � = ln � � � ln � � � � = ln � � � ln �∏ � � �+� �=1 �=0 � = ln �1 − � � � � ln �∏ �1 − � � �+� � �=1 �=0 � = ln1 − � � � ∑ ln 1 − � �+� � �=1 �=0 Metode Kostaki menggunakan tabel hayat standar yang serupa dengan metode Brass Logit, yakni tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002. Hasil nilai � � dari metode Kostaki diberikan pada Lampiran 4 dan hasil keseluruhan untuk perhitungan nilai konstanta � � � diberikan pada Lampiran 8. Perbandingan kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Kostaki diberikan pada Gambar 4.6. Gambar 4.6 Plot � � asli Amerika Serikat 2007 dan � � dengan metode Kostaki Berdasarkan kurva � � pada Gambar 4.6 dengan menggunakan metode Kostaki, mengikuti pola kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan sangat baik.

4.5. Metode modifikasi Kostaki