Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat
lengkap dapat dihitung menggunakan rumus berikut:
�
�
= ��; �
1 + ��; �
= ��; � 3.10
dengan ��; � = �
�+��
+ �exp �−� �ln �
� ���
2
� +
��
�
Heligman Pollard 1980 3.4. Metode Kostaki
Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki,
tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:
1 Menentukan konstanta �
� �
untuk setiap interval
usia [
�, � + � dengan
menggunakan rumus: �
� �
= ln1
− �
� �
∑ ln 1
− �
�+� �
�−1 �=0
3.11 dengan:
�
1 4
untuk
� � [1,4] �
5 5
untuk
� � [5,9] �
10 5
untuk
� � [10,14]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
�
105 5
untuk
� � [105,109]
2 Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:
�
�
= 1 − 1 − �
� �
�� �
3.12 Keterangan:
�
� �
: peluang seseorang tepat berusia �
meninggal sebelum mencapai usia � + 1
pada tabel hayat standar. Kostaki 2000
3.5. Modifikasi Kostaki
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap menggunakan
metode modifikasi Kostaki adalah: 1 Menentukan konstanta
�
� �
untuk setiap interval
usia [
�, � + � dengan
menggunakan rumus: �
� �
= ln1
− �
� �
∑ ln 1
− �
�+� I
� �−1
�=0
3.13 dengan:
�
1 4
untuk
� � [1,4] �
5 5
untuk
� � [5,9] �
10 5
untuk
� � [10,14]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
�
105 5
untuk
� � [105,109]
2 Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:
�
�
= 1 − �1 − �
� I
�
�
�� �
3.14 Nilai
�
� I
�
di atas berasal dari data hasil interpolasi
�
�
pada tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange
enam titik dan model Heligman-Pollard alternatif.
3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik
Interpolasi lagrange 6 titik adalah metode yang digunakan untuk menginterpolasi
�
�
pada tabel hayat ringkas, dan diberikan dengan menggunakan persamaan:
�
� I
= �
∏ �� − �
�
�
�≠�
∏ ��
�
− �
�
�
�≠�
�
�� �
6 �=1
�
3.15
3.5.2 Model Heligman-Pollard alternatif
Pada model Heligman-Pollard diberikan 2 alternatif model, yakni alternatif pertama
berdasarkan persamaan 3.10 dan alternatif yang kedua berdasarkan persamaaan 3.7.
Pada alternatif yang pertama dan kedua akan dicoba mengelompokkan model-model
tersebut berdasarkan kelompok usia, yang nantinya akan dijadikan sebagai model-model
untuk menginterpolasi
�
�
pada tabel hayat ringkas. Model-model alternatif Heligman-
Pollard diberikan sebagai berikut:
1 HP 1 Usia anak-anak 1-9 tahun
�
� I
=
� ��+�
� 1+��+��+�exp�−��ln�����
2 �+���
3.16 Usia muda 10-29 tahun
�
� I
=
� �exp�−��ln�����
2 �
1+��+��+�exp�−��ln����� 2
�+���
3.17 Usia tua 30 tahun ke atas
�
� I
=
� ���
1+��+��+�exp�−��ln����� 2
�+���
3.18 2 HP 2
Usia anak-anak 1-9 tahun �
� I
=
� ��+�
� 1+��+��
3.19 Usia muda 10-29 tahun
�
� I
=
�exp�−��ln����� 2
� 1+�exp�−��ln�����
2 �
�
3.20 Usia tua 30 tahun ke atas
�
� I
=
� ���
1+���
3.21
IV PEMBAHASAN
Dalam penyusunannya, tabel hayat
diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan
tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat
menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam
penyajiannya menyajikan usia dalam interval 5 atau 10 tahun. Berdasarkan tabel hayat
ringkas Amerika Serikat tahun 2007, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang
bertahan hidup menurut usia tertentu pada interval usia 5 tahunan, peluang penduduk
usia tertentu akan meninggal dunia, dan angka harapan hidup penduduk usia tertentu. Tabel
hayat ringkas 5 tahunan lebih sering digunakan dengan alasan lebih praktis dalam
penggunaannya. Namun, tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seseorang
yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel
hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan
jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun. Perbandingan kurva antara
�
�
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 dan
�
�
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Plot �
�
tabel hayat lengkap dan �
�
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat bahwa
kurva �
�
pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 cenderung monoton turun, artinya
bahwa jumlah penduduk pada populasi tersebut berkurang seiring bertambahnya usia
dari suatu individu populasi akibat adanya kematian. Misalkan pada Gambar 4.1 dapat
dilihat bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berusia 80 tahun ada
sekitar 40 dari jumlah keseluruhan populasi.
Data pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 akan digunakan sebagai
perbandingan dari metode-metode interpolasi yang digunakan dalam tulisan ini, yakni di
antaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, Kostaki,
modifikasi Kostaki
dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan
modifikasi Kostaki dengan HP 2.
4.1. Metode Elandt-Johnson
