Tujuan Tabel hayat Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas

I PENDAHULUAN

1.1. Latar belakang

Dalam rangka perencanaan pembangunan segala bidang di suatu negara, diperlukan informasi mengenai keadaan jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan penduduk menurut usia. Informasi yang harus tersedia tidak hanya menyangkut keadaan pada saat perencanaan disusun, tetapi juga informasi masa lalu dan untuk masa yang akan datang. Proyeksi penduduk adalah perhitungan jumlah penduduk menurut komposisi usia dan jenis kelamin di masa yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan fertilitas, mortalitas dan migrasi. Pada proses proyeksi penduduk dibutuhkan tabel hayat yang digunakan sebagai alat analisis mortalitas. Adapun manfaat dari proyeksi penduduk adalah untuk perencanaan penyediaan beras, fasilitas kesehatan, fasilitas perumahan, dan fasilitas kesempatan kerja. Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal. Dalam penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval lima atau sepuluh tahun. Adapun manfaat dari tabel hayat antara lain adalah sebagai berikut: i untuk keperluan analisis mortalitas, ii sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi penduduk, iii sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa, iv serta untuk mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan masyarakat.

1.2. Permasalahan

Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah mengenai pendataan. Misalkan, pada tabel hayat ringkas lima tahunan kita tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun.

1.3. Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:  Melakukan interpolasi terhadap data tabel hayat ringkas.  Membandingkan dan menentukan metode terbaik dalam menduga tabel hayat lengkap. II LANDASAN TEORI

2.1. Tabel hayat

Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal. Tabel hayat berdasarkan penyusunannya diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat ringkas berisi data kematian penduduk yang dikelompokkan dalam interval usia 5 tahun atau 10 tahun. Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis digunakan. Siegel Swanson 2004 Asumsi – asumsi dalam tabel hayat:  Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu dalam hal ini lahir pada tahun yang sama. Kohort hanya berkurang berangsur- angsur karena kematian.  Migrasi dianggap tidak ada, perubahan jumlah kelompok kohort hanya dipengaruhi oleh kematian.  Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut usia.  Besaran kohort adalah jumlah tetap dari jumlah kelahiran menurut jenis kelamin seperti 1.000; 10.000; atau 100.000 yang disebut dengan “radix tabel hayat” sehingga menyediakan perbandingan antara tabel-tabel yang berbeda. Wirosuhardjo et al. 1985 2.2. Fungsi dasar tabel hayat Fungsi dasar tabel hayat adalah menerangkan riwayat suatu kelompok kohort penduduk yang biasanya disebut radix. Pada kasus ini diberikan fungsi dasar tabel hayat dalam bentuk diskret yakni sebagai berikut: 1 � : berarti usia �, dalam tabel hayat lengkap, kolom ini berisi � = 0,1,2, … �, dengan � adalah usia tertua. 2 � � : jumlah orang-orang yang hidup pada usia � dimulai pada interval � sampai � + � dari jumlah total kelahiran menurut “radix tabel hayat”. Kolom ini dimulai dengan � yang biasanya bernilai 100.000. 3 � � : tingkat kematian penduduk usia � � � = � � � � 2.1 4 � � � : peluang seorang akan meninggal sebelum mencapai usia � + �, untuk penduduk yang berusia �. � � = � � � � � � = � � − � �+� � � 2.2 5 � � � : jumlah kematian dari orang-orang � � selama periode tahun � R . � � � = � � − � �+� 2.3 6 � � � : lamanya waktu yang dijalani oleh sejumlah orang � �, dalam interval usia � sampai � + �. � � � = � � − � 2 � � � = � 2 � � + � �+� 2.4 7 � � : lamanya waktu hidup yang dijalani setelah mencapai usia �. � � = � � � � � 2.5 8 � � R : tingkat harapan hidup pada usia �. Ini adalah rata-rata tahun hidup yang masih akan dijalani oleh seseorang. � � = � � � � 2.6 Catatan: Dalam tabel hayat lengkap � = 1, sedangkan dalam tabel hayat ringkas biasanya menggunakan � = 5 atau � = 10. Brown 1997 2.3. Interpolasi Lagrange Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data yang diberikan. Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapat fungsi polinomial �� berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data � � , � � dengan � = 1,2, … �. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat � − 1 yang melalui � titik berbeda adalah: � �−1 � = � � � � � � 2.7 � � = 1 dengan � � � merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut: � � � = ∏ �� − � � � � �=1,�≠� ∏ �� � − � � � � �=1,�≠� 2.8 Heath 1996 2.4. Model tak linear Model-model yang linear dalam parameter secara umum berbentuk: � = � + � 1 � 1 + � 2 � 2 + ⋯ + � � � � + � 2.9 Sembarang model yang tidak berbentuk seperti persamaan 2.9 disebut model tak linear, maksudnya tak linear dalam parameternya. Model tak linear dapat dibagi menjadi dua jenis, yakni model linear intrinsik dan model tak linear intrinsik. Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini dapat ditransformasi ke bentuk linear, jika suatu model tak linear tidak dapat di ubah ke bentuk linear, maka model tak linear tersebut adalah model tak linear intrinsik. Contoh untuk model-model tersebut adalah: � = е ��1+ �2�2 + �� 2.10 Model ini dapat ditransformasi ke dalam bentuk yang linear, menjadi: ln � = � 1 + � 2 � 2 + � 2.11 Meskipun terdapat pangkat pada persamaan, persamaan tersebut tetap disebut persamaan yang linear persamaan linear ordo-kedua, yang artinya linear dalam parameternya. Contoh untuk model tak linear intrinsik: � = � 1 �е −�2� − е −�1� � � 1 − � 2 + � 2.12 Model ini dikatakan model tak linear intrinsik, karena tidak mungkin mengubah bentuknya ke dalam suatu bentuk yang linear dalam parameternya. Draper Smith 1992 2.5. Regresi tak linear Bentuk sederhana dari persamaan regresi tak linear dapat dinyatakan sebagai berikut: � = ��; � + � 2.13 dengan � adalah fungsi taklinear dari � = � 1 , � 2 , … , � � ′ yang merupakan vektor dari peubah bebas dan � = �� 1 , � 2 , … , � � �′ adalah parameter-parameternya. Apabila ada � data amatan, maka persamaan 2.13 menjadi: � � = �� � ; � + � � � = 1,2, … , � 2.14 dengan � � = � 1� , � 2� , … , � �� ′. Galat persamaan tak linear � � = ε 1 , ε 2 , … , ε � ′ yang diasumsikan bebas dan berdistribusi normal ε ~ ��, �� 2 dengan � vektor nol dan � matriks identitas, keduanya berukuran sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model tak linear didefinisikan sebagai berikut: ���� = �{� � − �� � , �} 2 2.15 � �=1 Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari �. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi � dilambangkan dengan �� merupakan nilai � yang meminimumkan ����. Nilai dugaan kuadrat terkecil �� dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.15 relatif terhadap �. Ini akan menghasilkan � persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai ��. Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk : �{� � − ��� � , ��� � �=1 } � ��� � , � �� � � �=�� = 0 2.16 dengan � = 1,2, … , �, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan diferensial dari �� � , � terhadap � � dengan semua � diganti dengan ��. Persamaan-persamaan normal pada persamaan regresi tak linear tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan tak linear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan tak linear adalah metode Levenberg Marquardt. Draper Smith 1992

2.6. Metode Levenberg Marquardt