I PENDAHULUAN
1.1. Latar belakang
Dalam rangka perencanaan pembangunan segala bidang di suatu negara, diperlukan
informasi mengenai keadaan jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan
penduduk menurut usia. Informasi yang harus tersedia tidak hanya menyangkut keadaan
pada saat perencanaan disusun, tetapi juga informasi masa lalu dan untuk masa yang
akan datang.
Proyeksi penduduk adalah perhitungan jumlah penduduk menurut komposisi usia
dan jenis kelamin di masa yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan
fertilitas, mortalitas dan migrasi. Pada proses proyeksi penduduk dibutuhkan tabel hayat
yang digunakan sebagai alat analisis mortalitas. Adapun manfaat dari proyeksi
penduduk adalah untuk perencanaan penyediaan beras, fasilitas kesehatan, fasilitas
perumahan, dan fasilitas kesempatan kerja.
Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai
dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena
kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal. Dalam
penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni
tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika
dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas
jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval lima atau sepuluh tahun.
Adapun manfaat dari tabel hayat antara lain adalah sebagai berikut: i untuk keperluan
analisis mortalitas, ii sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi
penduduk, iii sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa, iv serta untuk
mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan masyarakat.
1.2. Permasalahan
Pada kenyataannya kita sering
menghadapi masalah mengenai pendataan. Misalkan, pada tabel hayat ringkas lima
tahunan kita tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan
meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat
memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia
satu tahun.
1.3. Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: Melakukan interpolasi terhadap data tabel
hayat ringkas. Membandingkan dan menentukan metode
terbaik dalam menduga tabel hayat lengkap.
II LANDASAN TEORI
2.1. Tabel hayat
Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai
dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena
kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal.
Tabel hayat berdasarkan penyusunannya diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan
interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi
data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat
ringkas berisi data kematian penduduk yang dikelompokkan dalam interval usia 5 tahun
atau 10 tahun. Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data
kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat
praktis digunakan. Siegel Swanson 2004
Asumsi – asumsi dalam tabel hayat: Kohort adalah sekelompok orang yang
mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu dalam
hal ini lahir pada tahun yang sama. Kohort hanya berkurang berangsur-
angsur karena kematian.
Migrasi dianggap tidak ada, perubahan jumlah kelompok kohort hanya
dipengaruhi oleh kematian. Kematian penduduk mengikuti pola
tertentu yang tetap menurut usia. Besaran kohort adalah jumlah tetap dari
jumlah kelahiran menurut jenis kelamin seperti 1.000; 10.000; atau 100.000 yang
disebut dengan “radix tabel hayat” sehingga
menyediakan perbandingan antara tabel-tabel yang berbeda.
Wirosuhardjo et al. 1985 2.2. Fungsi dasar tabel hayat
Fungsi dasar tabel hayat adalah menerangkan riwayat suatu kelompok
kohort penduduk yang biasanya disebut radix. Pada kasus ini diberikan fungsi dasar
tabel hayat dalam bentuk diskret yakni sebagai berikut:
1
� : berarti usia �, dalam tabel hayat lengkap, kolom ini berisi
� = 0,1,2, … �, dengan
� adalah usia tertua. 2
�
�
: jumlah orang-orang yang hidup pada usia
� dimulai pada interval � sampai � + � dari jumlah total kelahiran
menurut “radix tabel hayat”. Kolom ini dimulai dengan
� yang biasanya bernilai
100.000. 3
�
�
: tingkat kematian penduduk usia �
�
�
= �
�
�
�
2.1 4
�
� �
: peluang seorang akan meninggal sebelum mencapai usia
� + �, untuk penduduk yang berusia
�. �
�
=
�
�
� �
�
�
= �
�
− �
�+�
�
�
2.2 5
�
� �
: jumlah kematian dari orang-orang �
�
selama periode tahun �
R
. �
� �
= �
�
− �
�+�
2.3 6
�
� �
: lamanya waktu yang dijalani oleh sejumlah orang
�
�,
dalam interval usia �
sampai � + �.
�
� �
= �
�
− �
2 �
� �
= �
2 �
�
+ �
�+�
2.4 7
�
�
: lamanya waktu hidup yang dijalani setelah mencapai usia
�. �
�
= � �
� �
�
2.5 8
�
�
R
: tingkat harapan hidup pada usia �.
Ini adalah rata-rata tahun hidup yang masih akan dijalani oleh seseorang.
�
�
= �
�
�
�
2.6
Catatan: Dalam tabel hayat lengkap � = 1, sedangkan
dalam tabel hayat ringkas biasanya menggunakan � =
5 atau � = 10.
Brown 1997 2.3. Interpolasi Lagrange
Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum
diketahui nilainya di antara nilai-nilai data
yang diberikan. Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi
polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan.
Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapat fungsi polinomial
�� berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data.
Misalkan sekumpulan titik data �
�
, �
�
dengan � = 1,2, … �. Bentuk umum
polinomial Lagrange berderajat � − 1 yang
melalui � titik berbeda adalah:
�
�−1
� = � �
�
�
�
� 2.7
� � = 1
dengan �
�
� merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut:
�
�
� = ∏
�� − �
�
�
� �=1,�≠�
∏ ��
�
− �
�
�
� �=1,�≠�
2.8 Heath 1996
2.4. Model tak linear
Model-model yang linear dalam parameter secara umum berbentuk:
� = � +
�
1
�
1
+ �
2
�
2
+ ⋯ + �
�
�
�
+ �
2.9 Sembarang model yang tidak berbentuk
seperti persamaan 2.9 disebut model tak linear, maksudnya tak linear dalam
parameternya. Model tak linear dapat dibagi menjadi dua jenis, yakni model linear intrinsik
dan model tak linear intrinsik. Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini
dapat ditransformasi ke bentuk linear, jika suatu model tak linear tidak dapat di ubah ke
bentuk linear, maka model tak linear tersebut adalah model tak linear intrinsik. Contoh
untuk model-model tersebut adalah: � = е
��1+ �2�2 + ��
2.10 Model ini dapat ditransformasi ke dalam
bentuk yang linear, menjadi:
ln � = �
1
+ �
2
�
2
+ � 2.11
Meskipun terdapat pangkat pada persamaan, persamaan tersebut tetap disebut persamaan
yang linear persamaan linear ordo-kedua, yang artinya linear dalam parameternya.
Contoh untuk model tak linear intrinsik: � =
�
1
�е
−�2�
− е
−�1�
� �
1
− �
2
+ � 2.12
Model ini dikatakan model tak linear intrinsik, karena tidak mungkin mengubah bentuknya
ke dalam suatu bentuk yang linear dalam parameternya.
Draper Smith 1992 2.5. Regresi tak linear
Bentuk sederhana dari persamaan regresi tak linear dapat dinyatakan sebagai berikut:
� = ��; � + � 2.13 dengan
� adalah fungsi taklinear dari � = �
1
, �
2
, … , �
�
′ yang merupakan vektor dari
peubah bebas dan � = ��
1
, �
2
, … , �
�
�′ adalah
parameter-parameternya. Apabila ada � data
amatan, maka persamaan 2.13 menjadi: �
�
= ��
�
; � + �
�
� = 1,2, … , � 2.14 dengan
�
�
= �
1�
, �
2�
, … , �
��
′. Galat
persamaan tak linear �
�
= ε
1
, ε
2
, … , ε
�
′ yang diasumsikan bebas dan berdistribusi
normal ε ~ ��, ��
2
dengan � vektor nol
dan
� matriks identitas, keduanya berukuran
sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model tak linear didefinisikan sebagai berikut:
���� = �{�
�
− ��
�
, �}
2
2.15
� �=1
Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari
�. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi �
dilambangkan dengan
�� merupakan nilai �
yang meminimumkan ����. Nilai dugaan
kuadrat terkecil
�� dapat diperoleh dengan
mendiferensialkan persamaan 2.15 relatif terhadap
�. Ini akan menghasilkan � persamaan normal yang harus diselesaikan
untuk memperoleh nilai ��. Persamaan normal
tersebut mempunyai bentuk : �{�
�
− ���
�
, ���
� �=1
} �
���
�
, �
��
�
�
�=��
= 0 2.16
dengan � = 1,2, … , �, sedangkan besaran di
dalam tanda kurung merupakan diferensial dari
��
�
, � terhadap �
�
dengan semua
�
diganti dengan ��. Persamaan-persamaan
normal pada persamaan regresi tak linear
tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya
lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari
persamaan tak linear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang dapat
digunakan untuk menduga parameter pada persamaan tak linear adalah metode
Levenberg Marquardt. Draper Smith 1992
2.6. Metode Levenberg Marquardt