Kurva bertahan hidup Metode Elandt-Johnson Metode Brass Logit

tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan tak linear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan tak linear adalah metode Levenberg Marquardt. Draper Smith 1992

2.6. Metode Levenberg Marquardt

Metode Levenberg Marquardt adalah salah satu metode yang digunakan untuk menduga nilai parameter koefisien model- model tak linier. Secara umum metode Levenberg Marquardt dinyatakan sebagai berikut: �� �+1 = �� � − ����� � � � ���� � � + � � � �×� � −1 � ����� ��� � � = 1,2, … , � 2.17 Marquardt 1963 Algoritma Metode Levenberg Marquardt adalah sebagai berikut: 1 Untuk � = 0 iterasi ke-n, perlu menentukan nilai awal penaksir parameter � , nilai � adalah 0 � 1 atau yang biasanya faktor dari 10. 2 Memperbarui vektor parameter �� �+1 , secara iteratif sesuai dengan persamaan 2.17. 3 Menghitung ������ �+1 �. 4 Jika ������ �+1 � ������ � � maka � dikalikan 10, kemudian kembali ke langkah 1. 5 Jika ������ �+1 � ������ � � maka � dibagi dengan 10, kemudian kembali ke langkah 1. 6 Iterasi berhenti jika � �������+1�− �������� �������� � × 100 ��� Keterangan: �� � : vektor parameter pada iterasi ke-n. ���� � � : matriks Jacobi. � � : nilai skalar pada iterasi ke-n. � �×� : matriks Identitas � ����� ��� � : persamaan normal. Ranganathan 2004

2.7. Uji kesuaian data

Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan di antaranya adalah: 1 Galat mutlak Absolute error, AE Misalkan � � adalah data ke-i yang sebenarnya dan �� � adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk � � . Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut: �� = |� � − �� � | ; � = 1,2, … , � 2.18 Mathews 1992 2 Rataan galat mutlak Mean absolute error, MAE Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut: ��� = 1 � �|� � − �� � | � �=1 � = 1,2, … � 2.19 Mathews 1992 3 Koefisien determinasi � 2 � 2 = 1 − ∑ � � − �� � 2 � �=1 ∑ � � − �� 2 � �=1 � = 1,2, … , � 2.20 dengan � � = nilai sebenarnya, �� � = nilai dugaan, dan �� = nilai rata-rata. Agresti Barbara 1986

2.8. Kurva bertahan hidup

Kurva bertahan hidup adalah kurva yang menunjukkan jumlah atau proporsi dari individu yang bertahan hidup di setiap tahunnya. Kurva ini menyajikan hubungan antara � � pada sumbu- � dan usia � pada sumbu- �. Ada tiga tipe kurva bertahan hidup: 1 Tipe I pada populasi, tidak banyak mengalami kematian di awal dan pertengahan usia, namun menurun secara tajam ketika angka kematian meningkat pada kelompok usia tua. 2 Tipe II adalah perantara antara tipe I dan tipe III, angka kematian populasi relatif tetap pada setiap kelas usia atau dengan kata lain angka kematian konstan dialami tanpa memandang kelompok usia. Kurva ketahanan hidup untuk tipe ini berbentuk garis diagonal. 3 Tipe III pada populasi tingkat kematian tinggi di awal usia dan pertengahan usia sehingga kurva menurun sampai periode tertentu, kemudian relatif stabil ketika memasuki periode usia tua. I II � � III � Gambar 2.1 Kurva bertahan hidup Feldhamer 2007 III METODE INTERPOLASI

3.1. Metode Elandt-Johnson

Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson adalah: 1 Untuk usia 0–74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula � � = � ∏ �� − � � � �≠� ∏ �� � − � � � �≠� � �� � 6 �=1 � 3.1 dengan fungsi basis dari persamaan di atas adalah � � � = ∏ �� − � � � �≠� ∏ �� � − � � � �≠� ; � = 1,2, … 6 3.2 2 Untuk usia di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival �� = exp � � � 1 − � �� � = � 1−�� ; � 0, � 0, � 0, � = exp � � � � dan � = exp� dengan usia � dan parameter � dan �. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai � � ditentukan dengan menggunakan rumus: � �+� � = � � �̂� + � �̂� 3.3 � dengan � = 1, … ,4; � = 75,80, … , � − 15 � = 1, … , 119 − �; � = � − 10 Elandt Johnson 1980

3.2. Metode Brass Logit

Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah: 1 Menduga parameter � dan � yang memenuhi hubungan linear berikut: logit1 − � � = � + �logit�1 − � � � � 3.4 dengan logit1 − � � = 1 2 ln � 1 − � � � � � 3.5 Parameter � dan � diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear 2 Setelah diperoleh nilai parameter � dan �, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut: � � = 1 1 + exp [2 � + �logit1 − � � ] � 3.6 Brass 1971

3.3. Model Heligman-Pollard HP