tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya
lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari
persamaan tak linear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang dapat
digunakan untuk menduga parameter pada persamaan tak linear adalah metode
Levenberg Marquardt. Draper Smith 1992
2.6. Metode Levenberg Marquardt
Metode Levenberg Marquardt adalah salah satu metode yang digunakan untuk
menduga nilai parameter koefisien model- model tak linier. Secara umum metode
Levenberg Marquardt dinyatakan sebagai berikut:
��
�+1
= ��
�
− �����
�
�
�
����
�
� + �
�
�
��
�
−1
�
����� ���
� � = 1,2, … , � 2.17
Marquardt 1963 Algoritma Metode Levenberg Marquardt
adalah sebagai berikut: 1 Untuk
� = 0 iterasi ke-n, perlu menentukan nilai awal penaksir
parameter �
, nilai � adalah 0 � 1
atau yang biasanya faktor dari 10. 2 Memperbarui vektor parameter
��
�+1
, secara iteratif sesuai dengan persamaan
2.17. 3 Menghitung
������
�+1
�. 4 Jika
������
�+1
� ������
�
� maka � dikalikan 10, kemudian kembali ke
langkah 1. 5 Jika
������
�+1
� ������
�
� maka � dibagi dengan 10, kemudian kembali ke
langkah 1. 6 Iterasi berhenti jika
�
�������+1�− �������� ��������
� × 100 ���
Keterangan: ��
�
: vektor parameter pada iterasi ke-n. ����
�
� : matriks Jacobi. �
�
: nilai skalar pada iterasi ke-n. �
��
: matriks Identitas �
����� ���
� : persamaan normal. Ranganathan 2004
2.7. Uji kesuaian data
Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu
terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang
dapat dijadikan sebagai acuan di antaranya adalah:
1 Galat mutlak Absolute error, AE
Misalkan �
�
adalah data ke-i yang sebenarnya dan
��
�
adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode
tertentu sebagai nilai pendekatan untuk �
�
. Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut:
�� = |�
�
− ��
�
| ; � = 1,2, … , � 2.18
Mathews 1992 2 Rataan galat mutlak Mean absolute
error, MAE Rataan galat mutlak untuk data ke-i
didefinisikan sebagai berikut:
��� = 1
� �|�
�
− ��
�
|
� �=1
� = 1,2, … � 2.19 Mathews 1992
3 Koefisien determinasi �
2
�
2
= 1 −
∑ �
�
− ��
� 2
� �=1
∑ �
�
− ��
2 �
�=1
� = 1,2, … , � 2.20 dengan
�
�
= nilai sebenarnya, ��
�
= nilai dugaan, dan
�� = nilai rata-rata. Agresti Barbara 1986
2.8. Kurva bertahan hidup
Kurva bertahan hidup adalah kurva yang menunjukkan jumlah atau proporsi dari
individu yang bertahan hidup di setiap tahunnya. Kurva ini menyajikan hubungan
antara �
�
pada sumbu- � dan usia � pada
sumbu- �.
Ada tiga tipe kurva bertahan hidup: 1 Tipe I pada populasi, tidak banyak
mengalami kematian di awal dan pertengahan usia, namun menurun secara
tajam ketika angka kematian meningkat pada kelompok usia tua.
2 Tipe II adalah perantara antara tipe I dan tipe III, angka kematian populasi relatif
tetap pada setiap kelas usia atau dengan kata lain angka kematian konstan dialami
tanpa memandang kelompok usia. Kurva ketahanan hidup untuk tipe ini berbentuk
garis diagonal. 3 Tipe III pada populasi tingkat kematian
tinggi di awal usia dan pertengahan usia sehingga kurva menurun sampai periode
tertentu, kemudian relatif stabil ketika memasuki periode usia tua.
I
II �
�
III
� Gambar 2.1 Kurva bertahan hidup
Feldhamer 2007
III METODE INTERPOLASI
3.1. Metode Elandt-Johnson
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan
menggunakan metode Elandt-Johnson adalah: 1 Untuk usia 0–74 tahun menggunakan
interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi
Lagrange dirumuskan dalam formula
�
�
= �
∏ �� − �
�
�
�≠�
∏ ��
�
− �
�
�
�≠�
�
�� �
6 �=1
�
3.1 dengan fungsi basis dari persamaan di
atas adalah
�
�
� = ∏ �� − �
�
�
�≠�
∏ ��
�
− �
�
�
�≠�
; � = 1,2, … 6 3.2
2 Untuk usia di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi
survival �� = exp �
� �
1 − �
��
� = �
1−��
; � 0, � 0, � 0, � =
exp �
� �
� dan � = exp� dengan usia � dan parameter
� dan �. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup
pada tabel hayat lengkap yaitu nilai �
�
ditentukan dengan menggunakan rumus: �
�+� �
= �
�
�̂� + � �̂�
3.3
�
dengan � = 1, … ,4; � = 75,80, … , � − 15
� = 1, … , 119 − �; � = � − 10 Elandt Johnson 1980
3.2. Metode Brass Logit
Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode
Brass Logit adalah: 1 Menduga parameter
� dan � yang memenuhi hubungan linear berikut:
logit1 − �
�
= � + �logit�1 − �
� �
� 3.4
dengan logit1
− �
�
= 1
2 ln
� 1
− �
�
�
�
� 3.5 Parameter
� dan � diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear
2 Setelah diperoleh nilai parameter � dan
�, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat
lengkap dengan menggunakan rumus berikut:
�
�
= 1
1 + exp [2 � + �logit1 − �
�
]
�
3.6 Brass 1971
3.3. Model Heligman-Pollard HP