III METODE INTERPOLASI
3.1. Metode Elandt-Johnson
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan
menggunakan metode Elandt-Johnson adalah: 1 Untuk usia 0–74 tahun menggunakan
interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi
Lagrange dirumuskan dalam formula
�
�
= �
∏ �� − �
�
�
�≠�
∏ ��
�
− �
�
�
�≠�
�
�� �
6 �=1
�
3.1 dengan fungsi basis dari persamaan di
atas adalah
�
�
� = ∏ �� − �
�
�
�≠�
∏ ��
�
− �
�
�
�≠�
; � = 1,2, … 6 3.2
2 Untuk usia di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi
survival �� = exp �
� �
1 − �
��
� = �
1−��
; � 0, � 0, � 0, � =
exp �
� �
� dan � = exp� dengan usia � dan parameter
� dan �. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup
pada tabel hayat lengkap yaitu nilai �
�
ditentukan dengan menggunakan rumus: �
�+� �
= �
�
�̂� + � �̂�
3.3
�
dengan � = 1, … ,4; � = 75,80, … , � − 15
� = 1, … , 119 − �; � = � − 10 Elandt Johnson 1980
3.2. Metode Brass Logit
Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode
Brass Logit adalah: 1 Menduga parameter
� dan � yang memenuhi hubungan linear berikut:
logit1 − �
�
= � + �logit�1 − �
� �
� 3.4
dengan logit1
− �
�
= 1
2 ln
� 1
− �
�
�
�
� 3.5 Parameter
� dan � diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear
2 Setelah diperoleh nilai parameter � dan
�, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat
lengkap dengan menggunakan rumus berikut:
�
�
= 1
1 + exp [2 � + �logit1 − �
�
]
�
3.6 Brass 1971
3.3. Model Heligman-Pollard HP
Rumus matematik metode interpolasi dengan model Heligman-Pollard diberikan
sebagai berikut: �
�
�
�
= �
�+��
+ �exp �−� �ln �
� �
��
2
� + ��
�
3.7 Keterangan:
� : representasi dari �
1
0T
. �
2T
: perbedaan antara �
dan �
1
0T
. � : penurunan laju kematian anak-anak.
� : intensitas kematian pada dewasa muda. � : sebaran usia terjadinya kecelakaan.
� : usia muda dengan kematian terbanyak. � : tingkat kematian usia tua.
� : laju peningkatan kematian usia tua. �, �, �, �, �, �, �, � ≥ 0
Tahapan yang dilakukan adalah menduga nilai parameter-parameter dari model
Heligman-Pollard dengan meminimumkan:
���� = � � ��
� �
�
� �
− 1�
2
3.8
� �=1
dengan
��
� �
= 1 − � 1 − �� + �; � 3.9
�−1 �=0
Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat
lengkap dapat dihitung menggunakan rumus berikut:
�
�
= ��; �
1 + ��; �
= ��; � 3.10
dengan ��; � = �
�+��
+ �exp �−� �ln �
� ���
2
� +
��
�
Heligman Pollard 1980 3.4. Metode Kostaki
Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki,
tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:
1 Menentukan konstanta �
� �
untuk setiap interval
usia [
�, � + � dengan
menggunakan rumus: �
� �
= ln1
− �
� �
∑ ln 1
− �
�+� �
�−1 �=0
3.11 dengan:
�
1 4
untuk
� � [1,4] �
5 5
untuk
� � [5,9] �
10 5
untuk
� � [10,14]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
�
105 5
untuk
� � [105,109]
2 Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:
�
�
= 1 − 1 − �
� �
�� �
3.12 Keterangan:
�
� �
: peluang seseorang tepat berusia �
meninggal sebelum mencapai usia � + 1
pada tabel hayat standar. Kostaki 2000
3.5. Modifikasi Kostaki
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap menggunakan
metode modifikasi Kostaki adalah: 1 Menentukan konstanta
�
� �
untuk setiap interval
usia [
�, � + � dengan
menggunakan rumus: �
� �
= ln1
− �
� �
∑ ln 1
− �
�+� I
� �−1
�=0
3.13 dengan:
�
1 4
untuk
� � [1,4] �
5 5
untuk
� � [5,9] �
10 5
untuk
� � [10,14]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
�
105 5
untuk
� � [105,109]
2 Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:
�
�
= 1 − �1 − �
� I
�
�
�� �
3.14 Nilai
�
� I
�
di atas berasal dari data hasil interpolasi
�
�
pada tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange
enam titik dan model Heligman-Pollard alternatif.
3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik
Interpolasi lagrange 6 titik adalah metode yang digunakan untuk menginterpolasi
�
�
pada tabel hayat ringkas, dan diberikan dengan menggunakan persamaan:
�
� I
= �
∏ �� − �
�
�
�≠�
∏ ��
�
− �
�
�
�≠�
�
�� �
6 �=1
�
3.15
3.5.2 Model Heligman-Pollard alternatif
Pada model Heligman-Pollard diberikan 2 alternatif model, yakni alternatif pertama
berdasarkan persamaan 3.10 dan alternatif yang kedua berdasarkan persamaaan 3.7.
Pada alternatif yang pertama dan kedua akan dicoba mengelompokkan model-model
tersebut berdasarkan kelompok usia, yang nantinya akan dijadikan sebagai model-model
untuk menginterpolasi
�
�
pada tabel hayat ringkas. Model-model alternatif Heligman-
Pollard diberikan sebagai berikut:
1 HP 1 Usia anak-anak 1-9 tahun
�
� I
=
� ��+�
� 1+��+��+�exp�−��ln�����
2 �+���
3.16 Usia muda 10-29 tahun
�
� I
=
� �exp�−��ln�����
2 �
1+��+��+�exp�−��ln����� 2
�+���
3.17 Usia tua 30 tahun ke atas
�
� I
=
� ���
1+��+��+�exp�−��ln����� 2
�+���
3.18 2 HP 2
Usia anak-anak 1-9 tahun �
� I
=
� ��+�
� 1+��+��
3.19 Usia muda 10-29 tahun
�
� I
=
�exp�−��ln����� 2
� 1+�exp�−��ln�����
2 �
�
3.20 Usia tua 30 tahun ke atas
�
� I
=
� ���
1+���
3.21
IV PEMBAHASAN
Dalam penyusunannya, tabel hayat
diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan
tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat
menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam
penyajiannya menyajikan usia dalam interval 5 atau 10 tahun. Berdasarkan tabel hayat
ringkas Amerika Serikat tahun 2007, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang
bertahan hidup menurut usia tertentu pada interval usia 5 tahunan, peluang penduduk
usia tertentu akan meninggal dunia, dan angka harapan hidup penduduk usia tertentu. Tabel
hayat ringkas 5 tahunan lebih sering digunakan dengan alasan lebih praktis dalam
penggunaannya. Namun, tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seseorang
yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel
hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan
jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun. Perbandingan kurva antara
�
�
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 dan
�
�
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Plot �
�
tabel hayat lengkap dan �
�
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat bahwa
kurva �
�
pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 cenderung monoton turun, artinya
bahwa jumlah penduduk pada populasi tersebut berkurang seiring bertambahnya usia
dari suatu individu populasi akibat adanya kematian. Misalkan pada Gambar 4.1 dapat
dilihat bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berusia 80 tahun ada
sekitar 40 dari jumlah keseluruhan populasi.
Data pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 akan digunakan sebagai
perbandingan dari metode-metode interpolasi yang digunakan dalam tulisan ini, yakni di
antaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, Kostaki,
modifikasi Kostaki
dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan
modifikasi Kostaki dengan HP 2.
4.1. Metode Elandt-Johnson
Elandt-Johnson 1980 menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun
berdasakan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing dari tiga
skema interpolasi menurut usia tertentu, yakni usia 0-10 tahun, usia 10-74 tahun, serta usia di
atas 74 tahun. Untuk interval usia 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan metode
interpolasi Lagrange enam titik seperti pada persamaan 3.1. Berdasarkan persamaan
3.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung
�
� �
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat diperoleh dengan
menggunakan persamaan 3.2. Nilai koefisien yang diperoleh
berdasarkan persamaan 3.2 diberikan pada Tabel 4.1 2
≤ � ≤ 9 dan Tabel 4.2 11 ≤ � ≤ 74.
20 40
60 80
100 20000
40000 60000
80000 100000
Data Ringkas
Data Lengkap
Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung �
� �
dengan 2 ≤ � ≤ 9.
�
1 �
�
5 �
�
10 �
�
15 �
�
20 �
�
25 �
�
2 �
0.5620 0.7176 -0.4784 0.2839 -0.1007 0.0156 �
3 �
0.2734 1.0472 -0.5319 0.2992 -0.1037 0.0159 �
4 �
0.0965 1.1088 -0.3285 0.1728 -0.0584 0.0088 �
6 �
-0.0417 0.7980 0.3547 -0.1520 0.0480 -0.0070 �
7 �
-0.0489 0.5616 0.6656 -0.2407 0.0728 -0.0104 �
8 �
-0.0373 0.3332 0.8885 -0.2448 0.0701 -0.0098 �
9 �
-0.0184 0.1408 1.0012 -0.1609 0.0431 -0.0059
Keterangan: �
� �
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia � yang tersedia pada tabel hayat ringkas.
�
� �
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia � dari tabel hayat lengkap yang akan diduga.
Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung �
� �
dengan 11 ≤ � ≤ 74.
�
5�−10 �
�
5�−5 �
�
5� �
�
5�+5 �
�
5�+10 �
�
5�+15 �
�
5�+1 �
0.0081 -0.0739 0.8870 0.2218 -0.0493 0.0063 �
5�+2 �
0.0116 -0.0998 0.6989 0.4659 -0.0874 0.0108 �
5�+3 �
0.0108 -0.0874 0.4659 0.6989 -0.0998 0.0116 �
5�+4 �
0.0063 -0.0493 0.2218 0.8870 -0.0739 0.0081
Keterangan: �
5�+� �
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5
� + � dari tabel hayat ringkas dengan � = −10, −5,0,5,10,15. �
5�+� �
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5
� + � dari tabel hayat lengkap yang akan diduga dengan � = 1, … ,4.
dengan � = 2 untuk
�
11
− �
14 �
�
⋮ ⋮
⋮ � = 14 untuk
�
70
− �
74 �
�
Jika tabel hayat ringkas yang digunakan adalah 5 tahunan, maka nilai koefisien pada
Tabel 4.1 yang digunakan, yakni nilai �
1 �
, �
5 �
, �
10 �
, �
15 �
, �
20 �
, dan �
25 �
. Misalkan, untuk menghitung
�
2 �
diperoleh: �
2
=
�
0.5620 �
1 �
+ 0.7176 �
5 �
− 0.4784 �
10
+ 0.2839 �
15 �
�
−0.1007 �
20 �
+ 0.0156 �
25 �
Perhitungan yang dilakukan pada Tabel 4.2 sama seperti pada Tabel 4.1. Misalkan,
untuk menghitung �
11 �
, diambil nilai � = 2,
sehingga diperoleh: �
11 �
= 0.0081 �
�
− 0.0739 �
5 �
+0.8870 �
10
+ 0.2218 �
15 �
�
− 0.0493 �
20 �
+ 0.0063 �
25 �
Untuk usia di atas 74 tahun, metode ini mengasumsikan berdistribusi Gompertz,
dengan fungsi survival �� = exp
� �
1 −
exp �� = �
1−��
; � 0, � 0, � 0,
� = exp
� �
dan � = exp� dengan usia �, �
dan � adalah parameter. Langkah awal dalam
metode ini adalah menentukan logaritma dan rasio nilai
�
� �
yang berdekatan, yang kemudian akan menghasilkan parameter
�
�
dan �
�
untuk usia �. Nilai penduga untuk �
�
dan �
�
, yakni ��
�̅
dan �̂
�̅
dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan:
⎩ ⎨
⎧ �̂
�̅
= �
�
1
�
2
�
−15
��
�̅
= 10
�1 ������5−1�
dengan
⎩ ⎪
⎨ ⎪
⎧ �
1
= log �
� �
�
�+5 �
�
2
= log �
�+5 �
�
�+10 �
� = 75,80, … , � − 10 4.1
Proses perhitungan akan berhenti pada saat
��
�̅
dan �̂
�̅
untuk �̅ = � −10, dengan �
adalah usia tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Setelah memperoleh
nilai dugaan parameter ��
�̅
dan �̂
�̅
dilanjutkan dengan menghitung fungsi survival
berdasarkan persamaan: �̂� + � = ��
� 1−�̂��+�
dengan � = 1, … ,4
� = 75,80, … , � − 15 � = 1, … , 119 − �
� = � − 10 4.2
Dimulai dari survival �̂� kemudian
menduga jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yakni
�
� �
pada persamaan 3.3. Hasil
perhitungan ��
�̅
dan �̂
�̅
menggunakan persamaan 4.1 dan 4.2 diberikan pada Lampiran 5. Selanjutnya hasil
nilai �
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan menggunakan metode Elandt-
Johnson diberikan pada Lampiran
4. Perbandingan kurva
�
�
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan
berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Plot �
�
asli Amerika Serikat 2007 dan �
�
dengan metode Elandt-Johnson Gambar 4.2 kurva
�
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli memiliki
perbedaan yang sangat kecil dengan metode Elandt-Johnson, sehingga metode Elandt-
Johnson dikatakan sangat baik dalam
menduga �
�
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007.
4.2. Metode Brass Logit