Model Heligman-Pollard HP Metode Elandt-Johnson

III METODE INTERPOLASI

3.1. Metode Elandt-Johnson

Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson adalah: 1 Untuk usia 0–74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula � � = � ∏ �� − � � � �≠� ∏ �� � − � � � �≠� � �� � 6 �=1 � 3.1 dengan fungsi basis dari persamaan di atas adalah � � � = ∏ �� − � � � �≠� ∏ �� � − � � � �≠� ; � = 1,2, … 6 3.2 2 Untuk usia di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival �� = exp � � � 1 − � �� � = � 1−�� ; � 0, � 0, � 0, � = exp � � � � dan � = exp� dengan usia � dan parameter � dan �. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai � � ditentukan dengan menggunakan rumus: � �+� � = � � �̂� + � �̂� 3.3 � dengan � = 1, … ,4; � = 75,80, … , � − 15 � = 1, … , 119 − �; � = � − 10 Elandt Johnson 1980

3.2. Metode Brass Logit

Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah: 1 Menduga parameter � dan � yang memenuhi hubungan linear berikut: logit1 − � � = � + �logit�1 − � � � � 3.4 dengan logit1 − � � = 1 2 ln � 1 − � � � � � 3.5 Parameter � dan � diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear 2 Setelah diperoleh nilai parameter � dan �, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut: � � = 1 1 + exp [2 � + �logit1 − � � ] � 3.6 Brass 1971

3.3. Model Heligman-Pollard HP

Rumus matematik metode interpolasi dengan model Heligman-Pollard diberikan sebagai berikut: � � � � = � �+�� + �exp �−� �ln � � � �� 2 � + �� � 3.7 Keterangan: � : representasi dari � 1 0T . � 2T : perbedaan antara � dan � 1 0T . � : penurunan laju kematian anak-anak. � : intensitas kematian pada dewasa muda. � : sebaran usia terjadinya kecelakaan. � : usia muda dengan kematian terbanyak. � : tingkat kematian usia tua. � : laju peningkatan kematian usia tua. �, �, �, �, �, �, �, � ≥ 0 Tahapan yang dilakukan adalah menduga nilai parameter-parameter dari model Heligman-Pollard dengan meminimumkan: ���� = � � �� � � � � � − 1� 2 3.8 � �=1 dengan �� � � = 1 − � 1 − �� + �; � 3.9 �−1 �=0 Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan rumus berikut: � � = ��; � 1 + ��; � = ��; � 3.10 dengan ��; � = � �+�� + �exp �−� �ln � � ��� 2 � + �� � Heligman Pollard 1980 3.4. Metode Kostaki Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah: 1 Menentukan konstanta � � � untuk setiap interval usia [ �, � + � dengan menggunakan rumus: � � � = ln1 − � � � ∑ ln 1 − � �+� � �−1 �=0 3.11 dengan: � 1 4 untuk � � [1,4] � 5 5 untuk � � [5,9] � 10 5 untuk � � [10,14] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ � 105 5 untuk � � [105,109] 2 Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus: � � = 1 − 1 − � � � �� � 3.12 Keterangan: � � � : peluang seseorang tepat berusia � meninggal sebelum mencapai usia � + 1 pada tabel hayat standar. Kostaki 2000

3.5. Modifikasi Kostaki

Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode modifikasi Kostaki adalah: 1 Menentukan konstanta � � � untuk setiap interval usia [ �, � + � dengan menggunakan rumus: � � � = ln1 − � � � ∑ ln 1 − � �+� I � �−1 �=0 3.13 dengan: � 1 4 untuk � � [1,4] � 5 5 untuk � � [5,9] � 10 5 untuk � � [10,14] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ � 105 5 untuk � � [105,109] 2 Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus: � � = 1 − �1 − � � I � � �� � 3.14 Nilai � � I � di atas berasal dari data hasil interpolasi � � pada tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik dan model Heligman-Pollard alternatif.

3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik

Interpolasi lagrange 6 titik adalah metode yang digunakan untuk menginterpolasi � � pada tabel hayat ringkas, dan diberikan dengan menggunakan persamaan: � � I = � ∏ �� − � � � �≠� ∏ �� � − � � � �≠� � �� � 6 �=1 � 3.15

3.5.2 Model Heligman-Pollard alternatif

Pada model Heligman-Pollard diberikan 2 alternatif model, yakni alternatif pertama berdasarkan persamaan 3.10 dan alternatif yang kedua berdasarkan persamaaan 3.7. Pada alternatif yang pertama dan kedua akan dicoba mengelompokkan model-model tersebut berdasarkan kelompok usia, yang nantinya akan dijadikan sebagai model-model untuk menginterpolasi � � pada tabel hayat ringkas. Model-model alternatif Heligman- Pollard diberikan sebagai berikut: 1 HP 1 Usia anak-anak 1-9 tahun � � I = � ��+� � 1+��+��+�exp�−��ln����� 2 �+��� 3.16 Usia muda 10-29 tahun � � I = � �exp�−��ln����� 2 � 1+��+��+�exp�−��ln����� 2 �+��� 3.17 Usia tua 30 tahun ke atas � � I = � ��� 1+��+��+�exp�−��ln����� 2 �+��� 3.18 2 HP 2 Usia anak-anak 1-9 tahun � � I = � ��+� � 1+��+�� 3.19 Usia muda 10-29 tahun � � I = �exp�−��ln����� 2 � 1+�exp�−��ln����� 2 � � 3.20 Usia tua 30 tahun ke atas � � I = � ��� 1+��� 3.21 IV PEMBAHASAN Dalam penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval 5 atau 10 tahun. Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2007, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut usia tertentu pada interval usia 5 tahunan, peluang penduduk usia tertentu akan meninggal dunia, dan angka harapan hidup penduduk usia tertentu. Tabel hayat ringkas 5 tahunan lebih sering digunakan dengan alasan lebih praktis dalam penggunaannya. Namun, tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun. Perbandingan kurva antara � � pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 dan � � pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 Plot � � tabel hayat lengkap dan � � tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva � � pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada populasi tersebut berkurang seiring bertambahnya usia dari suatu individu populasi akibat adanya kematian. Misalkan pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berusia 80 tahun ada sekitar 40 dari jumlah keseluruhan populasi. Data pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 akan digunakan sebagai perbandingan dari metode-metode interpolasi yang digunakan dalam tulisan ini, yakni di antaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, Kostaki, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan modifikasi Kostaki dengan HP 2.

4.1. Metode Elandt-Johnson

Elandt-Johnson 1980 menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasakan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing dari tiga skema interpolasi menurut usia tertentu, yakni usia 0-10 tahun, usia 10-74 tahun, serta usia di atas 74 tahun. Untuk interval usia 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik seperti pada persamaan 3.1. Berdasarkan persamaan 3.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung � � � pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan 3.2. Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan 3.2 diberikan pada Tabel 4.1 2 ≤ � ≤ 9 dan Tabel 4.2 11 ≤ � ≤ 74.                                                       20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000  Data Ringkas  Data Lengkap Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung � � � dengan 2 ≤ � ≤ 9. � 1 � � 5 � � 10 � � 15 � � 20 � � 25 � � 2 � 0.5620 0.7176 -0.4784 0.2839 -0.1007 0.0156 � 3 � 0.2734 1.0472 -0.5319 0.2992 -0.1037 0.0159 � 4 � 0.0965 1.1088 -0.3285 0.1728 -0.0584 0.0088 � 6 � -0.0417 0.7980 0.3547 -0.1520 0.0480 -0.0070 � 7 � -0.0489 0.5616 0.6656 -0.2407 0.0728 -0.0104 � 8 � -0.0373 0.3332 0.8885 -0.2448 0.0701 -0.0098 � 9 � -0.0184 0.1408 1.0012 -0.1609 0.0431 -0.0059 Keterangan: � � � : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia � yang tersedia pada tabel hayat ringkas. � � � : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia � dari tabel hayat lengkap yang akan diduga. Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung � � � dengan 11 ≤ � ≤ 74. � 5�−10 � � 5�−5 � � 5� � � 5�+5 � � 5�+10 � � 5�+15 � � 5�+1 � 0.0081 -0.0739 0.8870 0.2218 -0.0493 0.0063 � 5�+2 � 0.0116 -0.0998 0.6989 0.4659 -0.0874 0.0108 � 5�+3 � 0.0108 -0.0874 0.4659 0.6989 -0.0998 0.0116 � 5�+4 � 0.0063 -0.0493 0.2218 0.8870 -0.0739 0.0081 Keterangan: � 5�+� � : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5 � + � dari tabel hayat ringkas dengan � = −10, −5,0,5,10,15. � 5�+� � : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5 � + � dari tabel hayat lengkap yang akan diduga dengan � = 1, … ,4. dengan � = 2 untuk � 11 − � 14 � � ⋮ ⋮ ⋮ � = 14 untuk � 70 − � 74 � � Jika tabel hayat ringkas yang digunakan adalah 5 tahunan, maka nilai koefisien pada Tabel 4.1 yang digunakan, yakni nilai � 1 � , � 5 � , � 10 � , � 15 � , � 20 � , dan � 25 � . Misalkan, untuk menghitung � 2 � diperoleh: � 2 = � 0.5620 � 1 � + 0.7176 � 5 � − 0.4784 � 10 + 0.2839 � 15 � � −0.1007 � 20 � + 0.0156 � 25 � Perhitungan yang dilakukan pada Tabel 4.2 sama seperti pada Tabel 4.1. Misalkan, untuk menghitung � 11 � , diambil nilai � = 2, sehingga diperoleh: � 11 � = 0.0081 � � − 0.0739 � 5 � +0.8870 � 10 + 0.2218 � 15 � � − 0.0493 � 20 � + 0.0063 � 25 � Untuk usia di atas 74 tahun, metode ini mengasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival �� = exp � � 1 − exp �� = � 1−�� ; � 0, � 0, � 0, � = exp � � dan � = exp� dengan usia �, � dan � adalah parameter. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dan rasio nilai � � � yang berdekatan, yang kemudian akan menghasilkan parameter � � dan � � untuk usia �. Nilai penduga untuk � � dan � � , yakni �� �̅ dan �̂ �̅ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan: ⎩ ⎨ ⎧ �̂ �̅ = � � 1 � 2 � −15 �� �̅ = 10 �1 ������5−1� dengan ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � 1 = log � � � � �+5 � � 2 = log � �+5 � � �+10 � � = 75,80, … , � − 10 4.1 Proses perhitungan akan berhenti pada saat �� �̅ dan �̂ �̅ untuk �̅ = � −10, dengan � adalah usia tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Setelah memperoleh nilai dugaan parameter �� �̅ dan �̂ �̅ dilanjutkan dengan menghitung fungsi survival berdasarkan persamaan: �̂� + � = �� � 1−�̂��+� dengan � = 1, … ,4 � = 75,80, … , � − 15 � = 1, … , 119 − � � = � − 10 4.2 Dimulai dari survival �̂� kemudian menduga jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yakni � � � pada persamaan 3.3. Hasil perhitungan �� �̅ dan �̂ �̅ menggunakan persamaan 4.1 dan 4.2 diberikan pada Lampiran 5. Selanjutnya hasil nilai � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan menggunakan metode Elandt- Johnson diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva � � pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.2. Gambar 4.2 Plot � � asli Amerika Serikat 2007 dan � � dengan metode Elandt-Johnson Gambar 4.2 kurva � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli memiliki perbedaan yang sangat kecil dengan metode Elandt-Johnson, sehingga metode Elandt- Johnson dikatakan sangat baik dalam menduga � � tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007.

4.2. Metode Brass Logit