Analisis Teori Graf Pada Persoalan Knight’s Tour

(1)

ANALISIS TEORI GRAF PADA PERSOALAN KNIGHT’S

TOUR

SKRIPSI

ERWIN

060803018

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(2)

ANALISIS TEORI GRAF PADA PERSOALAN KNIGHT’S TOUR

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ERWIN 060803018

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2010

(3)

PERNYATAAN

ANALISIS TEORI GRAF PADA PERSOALAN KNIGHT’S TOUR

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 04 Agustus 2010

ERWIN 060803018

(4)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Penyayang, atas kemurahan dan berkat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul ”Analisis Teori Graf Pada Persoalan Knight’s Tour” guna melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih yang sedalam – dalamnya kepada :

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku Ketua dan sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Phd selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku Dosen Pembimbing II yang telah membimbing, mengarahkan dan meluangkan waktunya untuk penulis dalam menyelesaikan skripsi.

4. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. 5. Kedua orang tua serta kedua abang penulis yang telah memberikan doa,

bimbingan dan dorongan serta bantuan baik material maupun nonmaterial kepada penulis sehingga selesainya skripsi ini.

6. Senior matematika Hindra, Ivy, Darwin, Alice, Josephine dan teman – teman ’06 terutama Meidiana, yang senantiasa memberikan doa dan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

(5)

ABSTRAK

Skripsi ini membahas tentang aplikasi dari teori graf pada permainan catur. Permasalahan menarik yang dibahas disini adalah membuat siklus hamilton dengan menggunakan kuda pada permainan catur (Knight’s Tour). Suatu Knight’s Tour pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda catur pada papan catur sehingga seluruh kotak terlewati oleh kuda catur tepat satu kali. Setelah mempelajari tulisan ini akan mendapatkan cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan Knight’s Tour.

(6)

ANALYSIS GRAPH TEORI ON KNIGHT’S TOUR PROBLEM

ABSTRACT

On this paper is talking about aplication from graph teori on the chess board. The interesting problem is making hamiltonian cyclus with the knight at chess board (Knight’s Tour). A Knight’s Tour at chess board is a travelling of the knights at chess board with every box just once travell. After you learn this paper, you can more easier to solve the Knight’s Tour problem.

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Gambar viii

Bab 1 Pendahuluan 2

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 5

1.3 Pembatasan Masalah 5

1.4 Tinjauan Pustaka 5

1.5 Tujuan Penulisan 6

1.6 Manfaat Penelitian 6

1.7 Metodologi Penelitian 7

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Sejarah Graf 8

2.2 Konsep Dasar Graf 9

2.3 Jenis – Jenis Graf 12

2.4 Lintasan (Walk) 13

2.5 Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit) 14

2.6 Terhubung (Connected) 14

2.7 Upagraf (SubGraf) dan Komplemen Upagraf 15

2.8 Deletion 17

2.9 Contraction 17

2.10 Cut Set 17

2.11 Beberapa Operasi Dalam Graf 18

2.12 Beberapa Graf Sederhana Khusus 18

2.13 Lintasan Dan Sirkuit Euler 20

2.14 Lintasan Dan Sirkuit Hamilton 22

2.15 Knight’s Tour 24

Bab 3 Pembahasan 26

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 32

4.2 Saran 33

Lampiran Daftar Pustaka

(8)

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR

2.1 Jembatan Konigzberg 8

2.2 Representasi Graf Dari Jembatan Konigzberg 9

2.3 Graf Sederhana 9

2.4 Graf dengan isolated verteks dan loop 10

2.5 Digraf dengan din dan dout 11

2.6 Digraf 13

2.7 Disconnected Graf 14

2.8 Graf Berarah Terhubung lemah dan kuat 15

2.9 Upagraf dan komplemen 16

2.10 Strongly Connected Component 16

2.11 Cut Set 17

2.12 Graf Lengkap 18

2.13 Graf Lingkaran 19

2.14 Graf Teratur 19

2.15 Graf Bipartite 20

2.16 Graf Bipartite dengan verteks 20

2.17 Euler Digraf 22

2.18 Hamiltonian Graf 23

(9)

ABSTRAK

(10)

ANALYSIS GRAPH TEORI ON KNIGHT’S TOUR PROBLEM

ABSTRACT

(11)

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf di gunakan untuk merepresentasikan objek – objek diskrit dan hubungan antara objek – objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, verteks, bulatan, atau verteks, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.

Konsep graf Eulerian yang diawali oleh karya Euler pada problem Jembatan Konigsberg pada tahun 1735 merupakan awal dari lahirnya teori graf. Meskipun umurnya relatif muda, teori graf sebagai cabang dari matematik diskrit telah berkembang sangat pesat akhir akhir ini, baik dalam bidang pengembangan teori maupun aplikasi di berbagai bidang. Di sadari atau tidak, banyak aplikasi teori graf dalam kehidupan kita. Banyak sekali struktur yang bisa di representasikan dengan graf banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf, bahkan dalam permainan catur pun ternyata ada aplikasi teori graf.

Suatu graf adalah himpunan benda – benda yang disebut verteks (atau node) yang terhubung oleh sisi (atau edge atau arc). Biasanya graf digambarkan

(12)

sebagai kumpulan verteks (melambangkan verteks) yang dihubungkan oleh garis – garis (melambangkan sisi atau edge).

Dalam bahasa matematika di sebutkan: Graf G = (V,E), yang dalam hal ini :

V = Himpunan tidak kosong dan berhingga dari verteks – verteks (vertices atau

node)

={v1, v2, v3, ... , vn}

E = Himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang verteks

={e1, e2, e3, ... , en}

Order dari graf G, ditulis dengan notasi , menyatakan banyaknya verteks (verteks) pada graf G.Pada graf G, jalan J dari verteks v0 ke verteks vn adalah suatu barisan selang seling dari verteks dan sisi v0, e0, v1, ... , vn-1, en-1, vn

yang dimulai dan diakhiri dengan verteks, dengan sisi e1 = vivi+1 untuk i = 0, 1, 2,

3, ..., n sedemikian sehingga vivi+1 E(G). Panjang dari jalan v0, e0, v1, ... , vn-1, e n-1, vn adalah banyaknya sisi pada barisan tersebut. Verteks vo dan vn disebut ujung

dari jalan jalan tersebut. Jika pada jalan J berlaku vo = vn maka J disebut jalan

tertutup dan dikatakan jalan terbuka jika vo≠ vn.

Jalan J disebut lintasan (path) bila semua verteksnya berbeda. Sedangkan jika setiap sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan jejak (trail). Jejak tertutup disebut sirkuit. Sirkuit yang semua verteksnya berlainan disebut siklus (cycle).

Dalam graf penulis dapat membagi menjadi dua jenis lintasan, yaitu lintasan Euler dan Hamilton. Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing – masing edge didalam graf tepat satu kali. Bila lintasan tersebut kembali ke verteks asal, membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup itu dinamakan sirkuit Euler. Jadi sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing – masing edge tepat satu kali.

(13)

Dan lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap verteks di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali ke verteks asal membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup itu dinamakan sirkuit Hamilton. Dengan kata lain, sirkuit Hamilton adalah sirkuit yang melalui tiap verteks didalam graf tepat satu kali, kecuali verteks asal (sekaligus verteks akhir) yang dilalui dua kali.

Di tahun 1859, Matematikawan dari Irish, Sir William Rowan Hamilton mengembangkan permainan yang di beli dari perusahaan mainan di Dublin. Permainan itu dinamakan Prominent Cities. Tujuan dari permainan iu adalah mencari sirkuit sepanjang jalan yang terbentuk sehingga di dalam itu terdapat 20 kota dan dapat dilewati tepat satu kali.

Penulis dapat menggambarkan alat itu dengan sebuah graf : Verteks dari graf melambangakan verteks dari alat tersebut dan panjangnya edges disamakan dengan alat tersebut :

Untuk menentukan sebuah graf itu adalah Siklus Hamilton atau tidak, pastinya lebih sulit daripada menentukan itu Eulerian. Dan tidak ada cara pasti yang diketahui untuk menentukan itu.

Siklus dalam graf akan terbagi menjadi dua yaitu Euler dan Hamilton. Eulerian adalah sebuah siklus dalam graf yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua edges yang ada dalam graf tersebut. Dan tidak menjadi suatu masalah jika sebuah verteks dilewati sebanyak apapun. Tetapi pada Hamilton

(14)

adalah sebuah siklus dalam graf yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua verteks dalam graf tersebut dan hanya tepat satu kali, kecuali verteks awal didatangi dua kali. Jika sebuah verteks itu telah dilewati dua atau lebih dalam suatu siklus maka siklus tesebut tidak dapat dikatakan sebagai siklus Hamiltonian.

Diberikan contoh dalam suatu graf ada terdapat lima buah verteks. Di misalkan A, B, C, D, dan E. Dari siklus yang terjadi penulis dapat menentukan siklus itu Hamilton atau tidak.

Siklus 1 : A – B – C – D – E Siklus 2 : A – B – C – B – D – E Siklus 3 : A – C – B – E – D Siklus 4 : A – B – E – C – B – D

Dari empat siklus penulis dapat lihat siklus 1 dan 3 adalah Hamilton karena dari lima buah verteks yang ada, muncul nama dari semua verteks dan hanya tepat satu kali. Tetapi pada siklus 2 dan 4 adalah bukan Hamilton karena dari lima buah verteks yang ada, muncul nama dari semua verteks dan ada yang melebihi satu kali. Pada siklus 2 dan 4 muncul verteks B sebanyak dua kali. Dan itu melanggar sifat dari sebuah siklus Hamilton. Siklus Hamilton dapat ditemukan di banyak hal.

Pembahasan dalam makalah ini difokuskan pada aplikasi teori graf pada permaianan catur. Permasalahan yang diangkatpun dikhususkan pada siklus Hamiltondan langkah kuda (Knight’s Tour) pada permainan catur.

Permasalahan menarik yang terkait dengan Siklus Hamilton adalah langkah kuda (Knight’s Tour). Suatu Knight’s Tour pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda catur pada papan catur sehingga seluruh kotak (kotak terkecil) terlewati kuda tepat satu kali.

Aturan langkah kuda pada permainan catur adalah sebagai berikut :

B E

(15)

• Melangkah dua kotak ke arah horisontal kemudian satu persegi ke arah vertikal, atau

• Melangkah dua kotak ke arah vertikal kemudian satu persegi ke arah horisontal.

Jika dalam Knight’s Tour setiap persegi dari papan catur dapat dilewati tepat satu kali dan kuda kembali pada persegi semula maka disebut langkah kuda tertutup (Closed Knight’s Tour). Namun, jika semua persegi telah dilewati dan kuda tidak dapat kembali ke posisi semula maka disebut langkah kuda yang terbuka (Open Knight’s Tour).

1.2Perumusan Masalah

Masalah yang akan diangkat penulis adalah bagaimana penerapan teori graf khususnya siklus Hamilton pada saat menyelesaikan persoalan Knight’s Tour.

1.3Pembatasan Masalah

Dalam Skripsi ini masalah yang dibahas penulis adalah penyelesaian knight’s tour dalam papan catur berukuran 8x8. Setelah itu, Knight’s Tour ini hanya dilakukan oleh sebuah kuda dalam catur dengan langkahnya yang berbentuk “L”.

1.4Tinjauan Pustaka

Sam ganzfried[3], sebuah bentuk dari Knight’s Tour dalam papan catur adalah semua pasangan berurutan yang berhubungan dan tidak ada kotak di dalam barisan itu lebih dari sekali. Penulis dapat memisalkan langkah kuda tersebut dengan menamai setiap kotak dan dipakai dalam barisan. Dan tidak akan muncul kembali di dalam barisan itu. Di semua verteks yang telah muncul dalam barisan itu ditetapkan dan tidak di kunjungi lagi. Maka didapat jumlah langkah yang terjadi adalah lebih kecil atau sama dengan jumlah kotak yang ada pada papan catur yaitu 64 langkah.

(16)

Brandon D. McKay[5] Langkah kuda harus mencari alternatif dari kotak genap dan ganjil dari semua kotak di papan catur tersebut. Di papan dengan jumlah kotaknya ganjil maka perjalanan langkah kuda harus dimulai dari kotak yang genap dan akan berakhir di kotak yang genap juga. Di papan dengan jumlah kotaknya genap maka perjalanan akan dimulai dari satu kotak dan berakhir di kotak yang berbeda warnanya. Dan di dapati bahwa tidak adanya sirkuit yang terjadi jika papan n x m dan hasil kali m dan n adalah ganjil.

Joe De Maio[4] Tidak akan ada closed Knight’s Tour jika bagian dari sisinya adalah n dimana n adalah ganjil. Dan menjadi penjelasan yang jelas tidak ada hasil jika n x m dimana n dan m adalah bilangan ganjil. Itu tidak dapat dihasilkan untuk sebuah persegi. Khususnya untuk kebebasan lebih memilih persegi dengan 8 sampai 24 langkah. Untuk papan catur dengan jumlah ganjil dan dimulai dari sudut kiri atas dengan warna hitam.

1.5Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai penulis adalah mengetahui analisis teori graf siklus Hamilton untuk Knight’s Tour sehingga permasalahan Knight’s Tour dapat diselesaikan.

1.6Manfaat Penelitian

Penelitian ini dapat dimanfaatkan untuk menjadi bahan permasalahan dalam aplikasi teori graf khususnya dalam sirkuit Hamilton dan dapat diterapkan didalam pemasangan ubin sebagai perwujudan dalam pengaplikasian teori graf.

1.7Metodologi Penelitian

(17)

1. Memaparkan bagaimana sebuah siklus hamilton akan berada dalam sebuah permainan catur dengan langkah dari sebuah Knight’s Tour.

2. Mencari beberapa langkah yang mungkin dan merupakan hasil dari sebuah Knight’s Tour

a. Menentukan apakah sebuah knight tour’s itu adalah sebuah open Knight’s Tour.

b. Menentukan apakah sebuah knight tour’s itu adalah sebuah open Knight’s Tour.

(18)

Bab 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori – teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya.

2.1 SEJARAH GRAF

Teori graf merupakan suatu model matematika yang sangat pesat perkembangannya, guna menyelesaikan masalah – masalah di berbagai bidang, khususnya bidang yang mengimplementasikan dengan komputerisasi. Contohnya dibidang elektro, telekomunikasi, teknik sipil, transportasi, ekonomi dan lain – lain.

Pada tahun 1736 seorang matematikawan yang berkebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler berhasil mengungkapkan misteri jembatan Konigzberg yang terdapat dikota Konigzberg. Di Rusia mengalir sebuah sungai yang bernama sungai Pregel ditengah – tengah sungai tersebut tedapat dua buah pulau kemudian antara kedua pulau dan kedua tepian sungai tedapat jembatan. Adapun gambarnya sebagai berikut.

(19)

Selanjutnya Euler berpikir untuk menyajikan jembatan Konigzberg

kedalam bentuk graf dimana pulau disimbolkan titik dan jembatan disimbolkan sebagai garis.

Gambar 2.2. representasi graf dari jembatan Konigzberg

2.2. Konsep dasar Graf

Suatu Graf G adalah pasangan berurut dari himpunan verteks dan edge, di tulis

G(V,E). Himpunan V = {v1 , v2 , v3 , ... , vn} adalah himpunan berhingga yang

elemennya disebut dengan verteks ( node atau point atau titik atau verteks), dan E adalah himpunan bagian dari kumpulan pasangan verteks V yang tidak berurut.

Elemen dari E disebut edges (line atau arc atau garis), E = {v1v2 , v1v3 , ... , v1vj , ... , vivj} , i = 1,...,n-1; j = i+1,...,n atau E= {ei ,e2 , ... , en}. Dua buah verteks vi

dan vj dikatakan adjacent jika kedua verteks dihubungkan dengan sebuah edge.

Sementara verteks itu disebut incident terhadap edge yang menghubungkan verteks tersebut.

Gambar 2.3 Graf Sederhana C

(20)

Pada gambar 2.3. adalah suatu representasi dari Graf sederhana, verteks pada Graf tersebut adalah {v1 , v2 , v3 , v4 , v5}. Edgesnya adalah {e12 , e23 , e35 , e45 , e15 , e13 , e14 , e25}. Verteks v1 dan v2 disebut adjacent karena kedua verteks

tersebut dihubungkan oleh edge e12, sedangkan v1 disebut incident terhadap e12.

Verteks yang dihubungkan oleh edge ke dirinya sendiri disebut loop (gelang). Dalam suatu graf setiap pasangan yang berbeda dapat terdiri dari 2 atau lebih edge disebut dengan edge paralel (edge ganda).

Banyaknya edge yang incident terhadap suatu verteks didalam graf G di mana loop dihitung dua kali disebut dengan degree / valensi / derajat dari verteks tersebut dinotasikan d(v).

Suatu verteks yang berderajat satu dalam graf hamilton akan menjadi verteks awal atau akhir. Sedangkan suatu verteks yang bervalensi nol disebut isolated verteks.

G1 G2 G3

Gambar 2.4. Graf dengan isolated verteks dan loop

Tinjau graf G1:

d(1) = d(4) = 2

d(2) = d(3) = 3

Tinjau graf G3: d(5) = 0  verteks terpencil (isolated verteks)

d(4) = 1  verteks anting-anting (pendant verteks) 1 3 2 4 1 2 3 4 5 1 2 e₁ e₂ e₃

(21)

Tinjau graf G2: d(1) = 3  beredgean dengan edge ganda

d(2) = 4  beredgean dengan edge gelang (loop)

Pada graf berarah,

din(v) = derajat-masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke verteks v dout(v) = derajat-keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari verteks v

d(v) = din(v) + dout(v)

D4 D5

Gambar 2.5. Digraf dengan din dan dout

Tinjau graf D4:

din(1) = 2; dout(1) = 1

din(2) = 1; dout(2) = 3

din(3) = 2; dout(3) = 1

din(4) = 1; dout(4) = 2

2.3. Jenis – jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau edge ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:

1 1

2 3

(22)

1. Graf sederhana (simple Graf).

Graf yang tidak mengandung gelang maupun edge-ganda dinamakan graf sederhana.

2. Graf tak-sederhana (unsimple-Graf).

Graf yang mengandung edge ganda dan atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple Graf).

Berdasarkan orientasi arah pada edge, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:

1. Graftak-berarah (undirected Graf)

Graf yang edgenya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.

2. Graf berarah (directed Graf atau diGraf)

Graf yang setiap edgenya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Dua buah graf pada Gambar 2.6 adalah graf berarah.

(a) D4 (b) D5

Gambar 2.6. Digraph

(a) graf berarah, (b) graf-ganda berarah

2.4. Lintasan (Walk)

1 1

2 3

(23)

Lintasan yang panjangnya n dari verteks awal v0 ke verteks tujuan vn di dalam

graf G ialah barisan berselang-seling verteks-verteks dan edge-edge yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah edge-edge dari graf G. Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan edge (1,2), (2,4), (4,3).

Panjang lintasan adalah jumlah edge dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G1 memiliki panjang 3. Verteks awal dan verteks akhir dalam suatu walk mungkin saja merupakan verteks yang sama maka walk yang demikian disebut dengan closed walk

Trail dari suatu graf adalah suatu walk yang setiap edgenya berbeda. Path

dari suatu graf adalah walk yang mana setiap verteksnya berbeda.

2.5. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)

Lintasan yang berawal dan berakhir pada verteks yang sama disebut sirkuit atau

siklus.

Tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.

Panjang sirkuit adalah jumlah edge dalam sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3.

(24)

Graf disebut connected apabila setiap verteks yang berbeda dihubungkan dengan sebuah edge, dan disebut disconnected jika terdapat 2 atau lebih connected Graf. Setiap connected Graf disebut komponen. Dua buah verteks v1 dan verteks v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2.

G disebut graf terhubung (connected Graf) jika untuk setiap pasang verteks vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj. Jika tidak,

maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected Graf).

Contoh graf tak-terhubung:

Gambar 2.7. Disconnected Graf

Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya).

Dua verteks, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung kuat

(strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan

berarah dari v ke u.

Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubunglemah (weakly coonected). Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected Graf) apabila untuk setiap pasang verteks sembarang u dan v di G, terhubung kuat. Kalau tidak, G

disebut graf terhubung lemah. 1 2 3 4 5 6 7 8

(25)

Graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat

Gambar 2.8. Graf Bearah terhubung lemah dan kuat

2.7. Upagraf (SubGraf) dan Komplemen Upagraf

Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subGraf) dari

G jika V1 ⊆V dan E1⊆E.

Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan verteks yang anggota-anggota E2 beredgean dengannya.

Gambar 2.9. Upagraf dan Komplemen

(a) Graf G1 (b) Sebuah upagraf (c) komplemen dari

upagraf

Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected

component) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat.

1 2 3 4 1 2 ₃ 1 2 3 4 5 6 1 6 5 3 1 2 3 5 2

(26)

Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:

Gambar 2.10. Strongly Connected component

2.8 Deletion

Jika ej∈ Graf G maka G – ej merupakan suatu subgraf dari graf G yang diperoleh dengan menghapus edge ej.

2.9 Contraction

Jika vi ∈ verteks di graf G maka G – vi adalah subgraf yang diperoleh dengan menghapus verteks vi serta edge yang inciden dengan verteks tersebut.

2.10 Cut-Set

Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan edge yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen.

2 ₃

5 1

(27)

Pada graf di bawah, {(4,5), (4,6) } adalah cut-set. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung.

Gambar 2.11. Cut Set

2.11 Beberapa Operasi Dalam Graf

2.11.1 Intersection

Dua buah graf G1 (v1,e1) dan G2 (v2, e2) adalah membentuk suatu graf baru yaitu G3(v3, e3) dimana G3 = G1∩ G2, v3 = v1 ∩ v2, dan e3 = e1∩ e2

2.11.2 Union

Dua buah graf G1 (v1,e1) dan G2 (v2, e2) adalah membentuk suatu graf baru yaitu G3(v3, e3) dimana G3 = G1∪ G2, v3 = v1 ∪ v2, dan e3 = e1∪ e2

2.12 Beberapa Graf Sederhana Khusus

3 4

(28)

2.12.1 Graf Lengkap (Complete Graf)

Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap verteksnya mempunyai edge ke semua verteks lainnya. Graf lengkap dengan n buah verteks dilambangkan dengan Kn. Jumlah edge pada graf lengkap yang terdiri dari n buah verteks adalah n(n – 1)/2.

K1K2 K3 K4 K5 K6

Gambar 2.12. Graf Lengkap

2.12.2 Graf Lingkaran

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap verteksnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n verteks dilambangkan dengan Cn.

Gambar 2.13. Graf Lingkaran

2.12.3 Graf Teratur (Regular Grafs)

Graf yang setiap verteksnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap verteks adalah r, maka graf tersebut

(29)

disebut sebagai graf teratur derajat r. Jumlah edge pada graf teratur adalah nr/2.

Gambar 2.14. Graf Teratur

2.12.4. Graf Bipartite (Bipartite Graf)

Graf G yang himpunan verteksnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap edge pada G menghubungkan sebuah verteks di V1 ke sebuah verteks di V2 disebut graf

Bipartite dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).

V1 V2

Gambar 2.15. Graf Bipartite

Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena verteks-verteksnya dapat dibagi menjadi V1 = {a, b, d} dan V2 = {c, e, f, g}

Gambar 2.16. Graf Bipartite dengan verteks

a _b

d e

f g

(30)

2.13 Lintasan dan Sirkuit Euler

Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing edge di dalam graf tepat satu kali.

Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing edge tepat satu kali.

Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian Graf). Graf yang hanya mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian Graf).

Teorema 2.1:

Suatu connected graf G adalah Eulerian graf jika dan hanya jika setiap verteks mempunyai valensi genap.

Bukti:

Jika sebuah graf G mempunyai verteks dengan valensi (derajat) genap semuanya maka dapat dipastikan memiliki Eulerian graf karena dalam setiap Eulerian graf memiliki satu jalur masuk dan satu jalur keluar yang berbeda.

Akibat 2.1:

Suatu connected graf adalah semi Eulerian jika dan hanya jika tidak ada atau ada dua verteks yang berderajat ganjil.

(31)

Jika sebuah graf G mempunyai verteks dengan valensi (derajat) genap sebagian atau tidak ada, maka graf tersebut akan mempunyai kemungkinan untuk memiliki Eulerian graf.

Gambar 2.17 Euler Digraf

(a) Graf berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a)

(b) Graf berarah semi-Euler (d, a, b, d, c, b)

(c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler

2.14 Lintasan dan Sirkuit Hamilton

Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap verteks di dalam graf tepat satu kali.

Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap verteks di dalam graf tepat satu kali, kecuali verteks asal (sekaligus verteks akhir) yang dilalui dua kali.Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

a b c d e f g a b c d a b c d

(32)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(a) (b) (c)

Gambar 2.18 Hamiltonian Graf

(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4)

(b) graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)

(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

Gambar 2.19 Prominent Cities Dalam Graf

(a) Dodecahedron Hamilton, dan (b) graf yang mengandung sirkuit Hamilton

1 ₂ 3 4 1 3 2 4 1 2 3 4

(33)

Teorema 2.2:

Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu) supaya graf sederhana G dengan n (≥ 3)

buah verteks adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap verteks paling sedikit

n/2 (yaitu, d(v) ≥ n/2 untuk setiap verteks v di G).

Bukti:

Telah dibuktikan dan menjadi rumusan yang general oleh Dirac. Dan dikenal dengan teorema Dirac.

Teorema 2.3:

Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

Bukti:

Misalkan setiap verteks diberi penomoran, v1,v2,v3,...,vn. Untuk setiap graf lengkap pasti selalu memiliki edge yang akan menghubungkan setiap titik dalam graf tersebut. Maka kita bisa memulai menyelesaikan graf hamilton dimulai dengan v1 lalu ke v2 lalu ke v3 sampat vn. Maka ini didapatkan sebuah graf hamilton.

Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, mengandung sirkuit Euler dan lintasan Hamilton, mengandung lintsan Euler

(34)

maupun lintasan Hamilton, tidak mengandung lintasan Euler namun mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya.

2.15 Knight’s Tour

Permasalahan menarik yang terkait dengan Siklus Hamilton adalah perjalanan kuda (Knight’s Tour). Suatu Knight’s Tour pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda catur pada papan catur sehingga seluruh kotak terlewati kuda tepat satu kali.

Aturan langkah kuda pada permainan catur adalah sebagai berikut : • Melangkah dua kotak ke arah horisontal kemudian satu persegi ke arah vertikal,

• Melangkah dua kotak ke arah vertikal kemudian satu persegi ke arah horizontal.

Teorema 2.4:

Sebuah Graf G tidak memiliki Hamiltonian Path jika jumlah verteks yang berdegree satu lebih dari satu, tanpa melihat degree dari verteks awal.

Bukti:

Jika dalam graf G ada 1 buah verteks yang berdegree satu maka verteks tersebut akan menjadi verteks akhir dari Knight’s tour. Jika dalam graf G ada 2 buah atau lebih verteks yang berdegree satu maka tidak akan terjadi knight’s tour.

(35)

Bab 3

PEMBAHASAN

Adapun yang menjadi pembahasan adalah mencari bagaimana persoalan Knight’s Tour di selesaikan dengan metode literature.

Langkah – langkahnya sebagai berikut:

1. Pemilihan secara acak satu kotak / verteks sebagai awal dari Knight’s Tour.

Dengan menggangap semua kotak dalam papan catur tersebut adalah verteks dan setiap jalur yang ada sebagai edges dalam graf. Kita memilih satu dari 64 verteks yang terdapat dalam papan catur 8 X 8. [Maka dari hal tersebut sebuah Knight Tour mempunyai kemungkinan 64 verteks awal. Kita menetapkan salah satu dari 64 verteks tersebut menjadi sebuah awal sebuah penyelesaian Knight’s Tour.]

K={Vi} G={G-Vi}

VA8 VB8 VC8 VD8 VE8 VF8 VG8 VH8 VA7 VB7 VC7 VD7 VE7 VF7 VG7 VH7 VA6 VB6 VC6 VD6 VE6 VF6 VG6 VH6 VA5 VB5 VC5 VD5 VE5 VF5 VG5 VH5 VA4 VB4 VC4 VD4 VE4 VF4 VG4 VH4 VA3 VB3 VC3 VD3 VE3 VF3 VG3 VH3 VA2 VB2 VC2 VD2 VE2 VF2 VG2 VH2

(36)

VA1 VB1 VC1 VD1 VE1 VF1 VG1 VH1

2. Pemilihan secara acak verteks yang adjacent terhadap verteks sebelumnya.

Dengan menganggap verteks Vi sebagai verteks sebelumnya, kita memilih verteks Vj yang adjacent terhadap verteks Vi.

K={ ... ,Vi , Vj , ... } G={G-Vj}

Setelah memilih sebuah verteks, kita memulai Knight’s Tour Pilih sebuah edge atau jalan dalam sebuah papan catur. Kita memilih edge harus melihat semua aturan perjalanan Knight di dalam papan catur. Lalu semua edge inciden dengan verteks awal dihilangkan, ini dilakukan untuk menjaga segala kemungkinan kembali ke titik awal atau titik yang sudah dipilih. Karena Knight’s Tour mempunyai syarat Hamiltonian. Maka sebuah titik tidak akan dikunjungi kedua kalinya kecuali titik yang paling awal. Maka dari titik ini akan di mulai perjalanan Knight’s Tour.

3. Pengecekan graph sisa dengan Uji Hamiltonian.

Dengan syarat graf sisa yang Hamiltonian harus mempunyai hubungan ke verteks terakhir dari graf hasil.

Jika sebuah graph G disconnected, maka tidak akan terdapat Knight’s Tour dari graph G tersebut.

Seperti yang dilakukan pada graf hasil. Semua titik (verteks) yang belum terisi akan dicari hubungan setiapnya. Hubungan setiap titik (verteks) pada titik kosong tersebut dapat digambarkan menjadi sebuah graf. Graf yang dihasilkan akan dinamakan Graf Sisa. Semua titik itu akan diuji oleh Teori

(37)

Connected Graf. Kalau tidak dapat digambarkan maka dapat dipastikan tidak akan ada Knight’s Tour dalam perjalanan yang satu ini.

Lalu penulis harus mencari hubungan yang terjadi antara graf hasil dan graf sisa. Karena jika graf hasil dan graf sisa tidak mempunyai hubungan maka yang terjadi adalah tidak ada Knight’s Tour. Jika bisa dihubungkan maka ada kemungkinan bisa terjadi Knight’s Tour. Setelah itu graf sisa harus diuji apakah dalam graf sisa yang dihasilkan mempunyai sirkuit atau lintasan Hamiltonian. Jika mempunyai lintasan atau sirkuit Hamiltonian maka perjalanan Knight’s Tour ini dapat dilanjutkan.

4. Ulangi langkah ke 2 sampai langkah ke 4 hingga semua verteks masuk dalam himpunan graph K.

Jika pemilihan verteks terhenti karena graph G tidak Hamiltonian, maka lakukanlah langkah ke 5.

5. Kembali ke Verteks sebelumnya dan memilih verteks lainnya yang adjacent.

Dengan menganggap verteks Vi adalah verteks sebelumnya dan verteks Vj adalah verteks terpilih yang menyebabkan graph G tidak Hamiltonian. Kita memlilih verteks Vk yang adjacent terhadap verteks Vi dan Vk dijadikan sebagai titik pengganti Vj. Ulangi langkah ke 2 sampai langkah ke 4.

(38)

Contoh:

Setiap papan catur memilliki 64 kotak dimulai dari A1 sampai kotak H8. Dalam kasus ini penulis menganggap pada papan catur dan pada tiap kotak (kotak terkecil) terdapat satu verteks dan dilambangkan dengan namanya. Misalnya kotak A1, maka disebut dengan VA1 dan seterusnya. Graph G adalah himpunan semua jalan kuda untuk setiap verteks.

Dalam karya tulis ini penulis mengambil verteks yang pertama adalah VB8. Maka didapati himpunan path Knight’s Tour K telah terisi yaitu { VB8}, maka verteks VB8 dihilangkan dari graf G. Setelah ini penulis mencari semua verteks yang adjacents dengan verteks VB8, yaitu VA6,VC6, dan VD7. Penulis memilih secara acak satu dari semua verteks yang mungkin. VA6 terpilih sebagai verteks berikutnya. Maka VA6 ditambahkan ke himpunan path Knight’s Tour K menjadi {VB8, VA6}. Sehingga VA6 juga dihilangkan dari graf G. Setelah itu graf G diperiksa menggunakan terorema connected graf. Graf G masih Connected. Maka Graf G juga harus melewati Uji Hamiltonian. Dan didapatkan hasilnya G adalah graf Hamiltonian.

Lalu penulis mengganggap kembali VA6 sebagai verteks awal dan melanjutkan mencari verteks – verteks selanjutnya.Lalu pada penulis menemukan kendala pada langkah ke 43 pada hasil Knight’s Tour. Pada langkah ke 43, VD4 terpilih menjadi hasil, lalu verteks yang adjacent dengan

(39)

verteks VD4 adalah VC6, VE6, dan VF5. Jika penulis memilih VC6 maka VC6 di tambahkan ke K. Setelah itu di lakukan Uji Hamiltonian.

Maka didapati graf G- VC6 masih Hamiltonian lagi. Maka pemilihan verteks VC6 benar dan dilanjutkan Knight’s Tour dilanjutkan kembali

Masalah yang berikutnya akan muncul di langkah ke 57. Pada kasus ini langkah terakhir adalah berada pada verteks VA5 jadi verteks yang nampak dan adjacent dengan dia hanya tinggal dua buah verteks, yaitu VC4 dan VC6. Penulis memilih VC6 dan di lakukan uji connected graf. Dan hasilnya graf sisa itu masih connected lalu uji Hamiltonian dan hasilnya Hamilton. Maka pemilihan itu telah benar dan dilanjutkan, VC6 dikeluarkan dari graf G dan masuk ke Himpunan K. Pada verteks VC6 hanya ada satu verteks yang adjacent. Jadi penulis harus memilih verteks tersebut. Jadi penulis memilih VE5. Setelah VE5 terpilih maka harus dilakukan uji connected graf dan uji

(40)

Hamiltonian. Penulis mendapati graf G-VE5 masih connected dan Hamiltonian. Jadi Knight’s Tour ini dapat dilanjutkan.

VE5 mempunyai dua titik yang adjacent dengan dirinya yaitu VD7 dan VC4. Penulis dengan melihat dari graf sisa dapat memastikan dua verteks tersebut dapat dijalani dengan baik dan menghasilkan Knight’s Tour. Jadi penulis lebih memilih verteks VC4 dengan alasan apabila VD7 terpilih maka kemungkinan untuk Closed Knight’s Tour telah tertutup. Jika memilih VC4 maka Closed Knight’s Tour dapat tercapai. Maka penulis dapat menggambarkan hasil dari Knight’s tour yang menjadi contoh ini adalah sebagai berikut :

4 1 6 55 10 51 46 49 7 56 3 64 45 48 11 52 2 5 58 9 54 13 50 47 57 8 63 14 59 44 53 12 28 37 60 43 62 15 24 41 31 34 29 38 25 42 21 18 36 27 32 61 16 19 40 23 33 30 35 26 39 22 17 20

(41)

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Penelitian ini telah menemukan cara menyelesaikan persoalan Knight’s Tour dengan mudah. Sehingga penulis memperoleh beberapa kesimpulan untuk para pembaca atau peneliti yang akan meneliti persoalan Knight’s Tour ini. Adalah sebagai berikut:

1. Knight’s Tour (perjalanan kuda) dalam papan catur 8 x 8 adalah perjalanan antik.

2. Titik sudut pada papan catur hanya terdapat dua buah verteks yang adjacent dengan dirinya, oleh karena itu jika salah satu verteks yang adjacent tadi terpilih maka sebaiknya pembaca memasuki verteks pada bagian sudut papan catur.

3. Jika terpilih salah satu verteks yang adjacent tadi, tetapi pembaca tidak memasuki verteks titik sudut tersebut maka Knight’s tour akan berakhir di titik tersebut. Atau tidak akan terdapat Knight’s Tour sama sekali.

4. Jika yang terjadi adalah Closed Knight’s Tour maka pembaca atau peneliti akan mendapat sebuah bentuk graf yang akan sangat bagus, dan cenderung berbentuk simetri yang sangat menarik.

5. Jika dalam suatu graf terdapat verteks berderajat satu sebanyak lebih besar sama dengan tiga maka tidak akan didapati knight’s tour (lintasan atau sirkuit Hamiltonian) didalam graf tersebut.

4.2 SARAN

Penelitian ini telah menunjukkan bagaimana sebuah persoalan Knight’s Tour dapat diselesaikan. Saran dalam penelitian ini adalah menemukan persyaratan yang mendasar untuk menentukan sebuah graf itu hamiltonian atau tidak dengan melalui derajat dari verteks. Setelah itu penulis berharap ada penelitian yang lebih

(42)

lanjut tentang cara menyelesaikan persoalan Knight’s Tour yang lebih praktis dan mudah dimengerti.

(43)

DAFTAR PUSTAKA

[1] 1986. Graph Theory With Application To Engineering And Computer

Science. New Delhi: Prentice Hall New Delhi.

[2] 1990 . Graphs An Introductory Approach. United States Of America: John Wiley And Sons, Inc.

[3] 2004. A Simple Algotithm For Knight’s Tours.

http://ganzfr@fas.harvard.edu/Knight’s Tour.pdf. Diakses tanggal 28 Mei 2010.

[4] 2007.Which Chessboards have a Closed Knight’s Tour within the Cube?

http://jdemaio@kennesaw.edu/Math clasification.pdf. Diakses tanggal 28 Mei 2010.

[5] 1997. Knight’s Tour of an 8 x 8 Chessboard. http://bdm@cd.anu.edu.au/ ktour.pdf. Diakses tanggal 30 Mei 2010.

[6] 2005. Graph Theory (Electronic Edition). New York : Springer-Verlag Heidelberg.

[7] 2000. Knight’s Tour Notes. http://www.ktn.freeuk.com.com/sitemap.htm. Diakses tanggal 30 Mei 2010

(44)

LAMPIRAN

Disini akan dilampirkan penyelesaian melalui gambar yang telah di bahas di bab III pada skripsi ini.