2.13 Lintasan dan Sirkuit Euler
Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing edge di dalam graf
tepat satu kali.
Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing edge tepat satu
kali.
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler Eulerian Graf. Graf yang hanya mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler semi-Eulerian
Graf.
Teorema 2.1:
Suatu connected graf G adalah Eulerian graf jika dan hanya jika setiap verteks mempunyai valensi genap.
Bukti:
Jika sebuah graf G mempunyai verteks dengan valensi derajat genap semuanya maka dapat dipastikan memiliki Eulerian graf karena dalam setiap Eulerian graf
memiliki satu jalur masuk dan satu jalur keluar yang berbeda.
Akibat 2.1:
Suatu connected graf adalah semi Eulerian jika dan hanya jika tidak ada atau ada dua verteks yang berderajat ganjil.
Bukti:
Universitas Sumatera Utara
Jika sebuah graf G mempunyai verteks dengan valensi derajat genap sebagian atau tidak ada, maka graf tersebut akan mempunyai kemungkinan untuk memiliki
Eulerian graf.
Gambar 2.17 Euler Digraf a Graf berarah Euler a, g, c, b, g, e, d, f, a
b Graf berarah semi-Euler d, a, b, d, c, b c Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler
2.14 Lintasan dan Sirkuit Hamilton
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap verteks di dalam graf tepat
satu kali.
Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap verteks di dalam graf tepat
satu kali, kecuali verteks asal sekaligus verteks akhir yang dilalui dua kali.Graf
yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.
a b
c d
e f
g
a b
c d
a b
c d
a b
c
Universitas Sumatera Utara
1
2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
a b
c
Gambar 2.18 Hamiltonian Graf a graf yang memiliki lintasan Hamilton misal: 3, 2, 1, 4
b graf yang memiliki sirkuit Hamilton 1, 2, 3, 4, 1 c graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
Gambar 2.19 Prominent Cities Dalam Graf a Dodecahedron Hamilton, dan b graf yang mengandung sirkuit Hamilton
1 2
3 4
1
3 2
4 1
2
3 4
Universitas Sumatera Utara
Teorema 2.2:
Syarat cukup jadi bukan syarat perlu supaya graf sederhana G dengan n ≥ 3
buah verteks adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap verteks paling sedikit n2 yaitu, dv
≥ n2 untuk setiap verteks v di G.
Bukti:
Telah dibuktikan dan menjadi rumusan yang general oleh Dirac. Dan dikenal dengan teorema Dirac.
Teorema 2.3:
Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.
Bukti:
Misalkan setiap verteks diberi penomoran, v
1
,v
2
,v
3
,...,v
n
. Untuk setiap graf lengkap pasti selalu memiliki edge yang akan menghubungkan setiap titik dalam
graf tersebut. Maka kita bisa memulai menyelesaikan graf hamilton dimulai dengan v
1
lalu ke v
2
lalu ke v
3
sampat v
n
. Maka ini didapatkan sebuah graf hamilton.
Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton,
mengandung sirkuit Euler dan lintasan Hamilton, mengandung lintsan Euler
Universitas Sumatera Utara
maupun lintasan Hamilton, tidak mengandung lintasan Euler namun mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya.
2.15 Knight’s Tour
Kategori