Bab 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf di gunakan untuk merepresentasikan objek – objek diskrit dan hubungan
antara objek – objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, verteks, bulatan, atau verteks,
sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.
Konsep graf Eulerian yang diawali oleh karya Euler pada problem Jembatan Konigsberg pada tahun 1735 merupakan awal dari lahirnya teori graf.
Meskipun umurnya relatif muda, teori graf sebagai cabang dari matematik diskrit telah berkembang sangat pesat akhir akhir ini, baik dalam bidang pengembangan
teori maupun aplikasi di berbagai bidang. Di sadari atau tidak, banyak aplikasi teori graf dalam kehidupan kita. Banyak sekali struktur yang bisa di
representasikan dengan graf banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf, bahkan dalam permainan catur pun ternyata ada aplikasi teori graf.
Suatu graf adalah himpunan benda – benda yang disebut verteks atau node yang terhubung oleh sisi atau edge atau arc. Biasanya graf digambarkan
Universitas Sumatera Utara
sebagai kumpulan verteks melambangkan verteks yang dihubungkan oleh garis – garis melambangkan sisi atau edge.
Dalam bahasa matematika di sebutkan: Graf G = V,E, yang dalam hal ini :
V = Himpunan tidak kosong dan berhingga dari verteks – verteks vertices atau node
={v
1
, v
2
, v
3
, ... , v
n
} E = Himpunan sisi edges atau arcs yang menghubungkan sepasang verteks
={e
1
, e
2
, e
3
, ... , e
n
}
Order dari graf G, ditulis dengan notasi , menyatakan banyaknya
verteks verteks pada graf G.Pada graf G, jalan J dari verteks v ke verteks v
n
adalah suatu barisan selang seling dari verteks dan sisi v , e
, v
1
, ... , v
n-1
, e
n-1
, v
n
yang dimulai dan diakhiri dengan verteks, dengan sisi e
1
= v
i
v
i+1
untuk i = 0, 1, 2, 3, ..., n sedemikian sehingga v
i
v
i+1
EG. Panjang dari jalan v , e
, v
1
, ... , v
n-1
, e
n- 1
, v
n
adalah banyaknya sisi pada barisan tersebut. Verteks v
o
dan v
n
disebut ujung dari jalan jalan tersebut. Jika pada jalan J berlaku v
o
= v
n
maka J disebut jalan tertutup dan dikatakan jalan terbuka jika v
o
≠ v
n
.
Jalan J disebut lintasan path bila semua verteksnya berbeda. Sedangkan jika setiap sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan jejak trail. Jejak
tertutup disebut sirkuit. Sirkuit yang semua verteksnya berlainan disebut siklus cycle.
Dalam graf penulis dapat membagi menjadi dua jenis lintasan, yaitu lintasan Euler dan Hamilton. Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing –
masing edge didalam graf tepat satu kali. Bila lintasan tersebut kembali ke verteks asal, membentuk lintasan tertutup sirkuit, maka lintasan tertutup itu dinamakan
sirkuit Euler. Jadi sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing – masing edge tepat satu kali.
Universitas Sumatera Utara
Dan lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap verteks di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali ke verteks asal membentuk lintasan
tertutup sirkuit, maka lintasan tertutup itu dinamakan sirkuit Hamilton. Dengan kata lain, sirkuit Hamilton adalah sirkuit yang melalui tiap verteks didalam graf
tepat satu kali, kecuali verteks asal sekaligus verteks akhir yang dilalui dua kali.
Di tahun 1859, Matematikawan dari Irish, Sir William Rowan Hamilton mengembangkan permainan yang di beli dari perusahaan mainan di Dublin.
Permainan itu dinamakan Prominent Cities. Tujuan dari permainan iu adalah mencari sirkuit sepanjang jalan yang terbentuk sehingga di dalam itu terdapat 20
kota dan dapat dilewati tepat satu kali.
Penulis dapat menggambarkan alat itu dengan sebuah graf : Verteks dari graf melambangakan verteks dari alat tersebut dan panjangnya edges disamakan
dengan alat tersebut :
Untuk menentukan sebuah graf itu adalah Siklus Hamilton atau tidak, pastinya lebih sulit daripada menentukan itu Eulerian. Dan tidak ada cara pasti
yang diketahui untuk menentukan itu.
Siklus dalam graf akan terbagi menjadi dua yaitu Euler dan Hamilton. Eulerian adalah sebuah siklus dalam graf yang memastikan bahwa dirinya telah
melewati semua edges yang ada dalam graf tersebut. Dan tidak menjadi suatu masalah jika sebuah verteks dilewati sebanyak apapun. Tetapi pada Hamilton
Universitas Sumatera Utara
A
adalah sebuah siklus dalam graf yang memastikan bahwa dirinya telah melewati semua verteks dalam graf tersebut dan hanya tepat satu kali, kecuali verteks awal
didatangi dua kali. Jika sebuah verteks itu telah dilewati dua atau lebih dalam suatu siklus maka siklus tesebut tidak dapat dikatakan sebagai siklus Hamiltonian.
Diberikan contoh dalam suatu graf ada terdapat lima buah verteks. Di misalkan A, B, C, D, dan E. Dari siklus yang terjadi penulis dapat menentukan
siklus itu Hamilton atau tidak. Siklus 1 : A – B – C – D – E
Siklus 2 : A – B – C – B – D – E Siklus 3 : A – C – B – E – D
Siklus 4 : A – B – E – C – B – D
Dari empat siklus penulis dapat lihat siklus 1 dan 3 adalah Hamilton karena dari lima buah verteks yang ada, muncul nama dari semua verteks dan
hanya tepat satu kali. Tetapi pada siklus 2 dan 4 adalah bukan Hamilton karena dari lima buah verteks yang ada, muncul nama dari semua verteks dan ada yang
melebihi satu kali. Pada siklus 2 dan 4 muncul verteks B sebanyak dua kali. Dan itu melanggar sifat dari sebuah siklus Hamilton. Siklus Hamilton dapat
ditemukan di banyak hal.
Pembahasan dalam makalah ini difokuskan pada aplikasi teori graf pada permaianan catur. Permasalahan yang diangkatpun dikhususkan pada siklus
Hamiltondan langkah kuda Knight’s Tour pada permainan catur.
Permasalahan menarik yang terkait dengan Siklus Hamilton adalah langkah kuda Knight’s Tour. Suatu Knight’s Tour pada papan catur adalah
rangkaian perjalanan kuda catur pada papan catur sehingga seluruh kotak kotak terkecil terlewati kuda tepat satu kali.
Aturan langkah kuda pada permainan catur adalah sebagai berikut :
B E
D C
Universitas Sumatera Utara
• Melangkah dua kotak ke arah horisontal kemudian satu persegi ke arah vertikal, atau
• Melangkah dua kotak ke arah vertikal kemudian satu persegi ke arah horisontal.
Jika dalam Knight’s Tour setiap persegi dari papan catur dapat dilewati tepat satu kali dan kuda kembali pada persegi semula maka disebut langkah kuda
tertutup Closed Knight’s Tour. Namun, jika semua persegi telah dilewati dan kuda tidak dapat kembali ke posisi semula maka disebut langkah kuda yang
terbuka Open Knight’s Tour.
1.2 Perumusan Masalah
Kategori