Elemen Maksimal Dan Elemen Minimal

11.6 Elemen Maksimal Dan Elemen Minimal

Misalkan A adalah sebuah himpunan terurut. Sebuah elemen a ∈A dinamakan elemen maksimal jika

a ≤ x menyatakan a = x dengan kata lain a adalah elemen maksimal jika tidak ada elemen dalam A yang secara seksama mendominasi a.

Demikian juga, sebuah elemen b ∈A dinamakan elemen minimal jika x ≤ b menyatakan b = x yakni, jika tidak ada elemen dalam A yang secara seksama mendahului b.

1) Misalkan W = {a, b, c, d, e} diurut menurut diagram 11.6 dengan cara biasa:kedua- duanya d dan e adalah elemen minimal karena tidak ada elemen dalam W yang secara seksama mendahului yang mana pun dari kedua elemen tersebut. Elemen a adalah elemen maksimal.

Diagram 11.6

Himpunan Terurut Parsial

2) Misalkan W = {a, b, c, d, e} diurut menurut diagram berikut:

d e Maka a dan b adalah elemen-elemen maksimal, dan c dan d adalah elemen-elemen minimal. Perhatikan bahwa W tidak mempunyai elemen pertama dan tidak mempunyai elemen terakhir.

3) Misalkan V = { x ⏐ 0 < x < 1}. Maka V tidak mempunyai elemen maskimal dan tidak mempunyai elemen minimal. Teorema berikut memperlihatkan hubungan-hubungan di antara konsep-konsep kita terdahulu. Di sini A adalah sebuah himpunan terurut parsial.

Teorema 11.6.1: Jika a adalah sebuah elemen pertama dalam A, maka a adalah sebuah elemen minimal dalam A dan a adalah satu-satunya elemen minimal.

Teorema 11.6.2 Jika a adalah sebuah elemen terakhir dalam A maka a sebuah elemen maksimal dan satu-satunya elemen maksimal dalam A.

Teorema 11.6.3:Jika A terurut total, maka A dapat engandung paling banyak satu elemen minimal yang akan merupakan elemen pertama.

Teorema 11.6.4: Jika A terurut total, maka A dapat mengandung paling banyak satu elemen maksimal yang akan merupakan elemen terakhir.

Teorema 11.6.5: Tiap-tiap himpunan terurut parsial yang berhingga mempunyai paling sedikit satu elemen maksimal dan paling sedikit satu elemen minimal. Teorema 11.6.6: Sebuah himpunan terurut tak berhingga, tidak perlu mempunyai suatu

elemen maksimal maupun suatu elemen minimal, walaupun himpunan tersebut terurut total.

Contoh:

1) Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, …} diurut oleh “x membagi y”. (a) Carilah semua elemen minimal. (b) Carilah semua elemen maksimal. Penyelesaian :

a. Jika p adalah sebuah bilangan prima, maka hanya p membagi p (karena 1 ∉ A); maka semua bilangan prima adalah elemen minimal. Selanjutnya, jika a ∈ A bukan

Pengantar Dasar Matematika 139

prima, maka ada sebuah bilangan b ∈ A sehingga b membagi a, yakni b ≤ a, dan b ≠ a. Maka hanya bilangan primalah yang merupakan elemen minimal.

b. Tidak ada elemen maksimal karena, untuk tiap-tiap a ∈ A, maka a membagi, khususnya, 2a

2) Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5} diurutkan sebagai berikut

(a) Carilah semua elemen minimal, (b) Carilah semua elemen maksimal, (c) Apakah b mempunyai elemen pertama? (d) Apakah B mempunyai elemen terakhir? Penyelesaian:

a. Tidak ada elemen yang secara seksama mendahului 4 atau 5; maka 4 dan 5 adalah elemen minimal.

b. Satu-satunya elemen maksimal adalah 1

c. Tidak ada elemen pertama. Perhatikan bahwa 5 bukanlah sebuah elemen pertama karena 5 tidak mendahului 4.

d. Bilangan 1 adalah sebuah elemen terakhir karena bilangan tersebut mendominasi tiap-tiap elemen dalam B.

3) Buktikan: misalkan a dan b adalah elemen minimal dalam sebuah himpunan A yang terurut total; maka a = b. Penyelesaian: Elemen a dan elemen b terbandingkan karena A terurut total; maka a ≤ b atau b ≥ a. Karena b adalah sebuah elemen minimal, maka a ≤ b menyatakan a = b; dan karena a sebuah elemen minimal, maka b ≤ a menyatakan a = b. Dalam kasus manapun, a =

b.

4) Misalkan B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10} diurut oleh “x adalah sebuah kelipatan dari y”. (1) Carilah semua elemen maksimal dari B. (2) Carilah semua elemen minimal dari B. (3) Apakah B mempunyai elemen pertama atau elemen terakhir? Penyelesaian:

Himpunan Terurut Parsial

Pertama-tama bentuklah sebuah diagram dari B sebagai berikut: (1) Elemen-elemen maksimal adalah 3, 2 dan 5. (2) Elemen-elemen minimal adalah 9, 6, 8 dan 10. (3) Tidak ada elemen pertama dan tidak ada elemen terakhir.