Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh 2x + 4y = 15.
9. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh 2x + 4y = 15.
1) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut.
2) Carilah ranah dari R,
3) Carilah jangkau R,
4) -1 tentukan R .
10 Misalkan W = {1, 2, 3, 4}/ pandang relasi-relasi berikut dalam W: R 1 = {(1,1), (1,2)}
R 4 = {(1,1), (2,2), (3,3)} R 2 = {(1,1), (2,3), (4,1)} R 5 =WxW
Relasi dan Fungsi
R 3 = {(1,3), (2,4)} Nyatakan apakah masing-masing relasi ini (1) simetris, (2) anti-simetri, (3) transitif, (4) refleksif, ataukah tidak.
11 Nyatakan apakah masing-masing pernyataan berikut benar- atau salah. Anggap R dan R 1 adalah relasi-relasi dalam sebuah himpunan A.
1) -1 Jika R simetris maka R simetris
2) -1 Jika R anti-simetris, maka R anti-simetris
3) -1 Jika R refleksif, maka R ∩ R ≠ Ø.
4) -1 Jika R simetris , makaR ∩ R ≠ Ø.
5) Jika R transitif dan R-1 transitif, maka R ∪ R-1 transitif. 6)
Jika R transitif dan R -1 transitif, maka R ∩R -1 transitif.
7) -1 Jika R anti-simetris dan R anti-simetris, maka R ∪R anti-simetris.
8) -1 Jika R anti-simetris dan R anti-simetris, maka R ∩R anti-simetris.
9) -1 Jika R refeleksif dan R reflektif, maka R ∪R refleksif. 10)
Jika R refeleksif dan R -1 reflektif, maka R ∩R -1 refleksif.
12 Misalkan L himpunan dari garis-garis dalam bidang Euklid dan R adalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh “x sejajar y”. Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak. (Anggap sebuah garis sejajar dirinya sendiri).
13 Misalkan L himpunan dari garis-garis dalam bidang Euklid dan R adalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh “x tegaklurus y”. Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif.
14 Misalkan A keluarga himpunan-himpunan dan R adlah relasi dalam A yang didefinisikan oleh “x terpisah dari y”. Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak.
15 -1 Jenis relasi apakah R jika (1) R ∩ R = Ø , (2) R = R ?
16 Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi dalam bilangan- bilangan asli N.
1) “ x lebih besar daripada y”
2) “x kali y adalah kuadrat dari sebuah bilangan”
3) “ x adalah kelipatan y”
Pengantar Dasar Matematika 117
4) “x + 3y = 12” Nyatakan apakah masing-masing relasi ini (a) refleksif, (b) simetris, (c) anti-simetris, (d) transitif, ataukah tidak.
17 Misalkan T = {a, b, c, d}. Pandang relasi-relasi berikut dalam T:
1) R 1 = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)}
2) R 2 = {(b,a), (c,d), (b,a), (a,b), (d,b)}
3) R 3 = {(d,c), (c,b), (a,b), (d,d)}
4) R 4 = {(a,a), (b,a), (c,a), (d,d)}
5) R 5 = {(b,a), (a,c), (d,d)} Nyatakan apakah relasi ini suatu fungsi ataukah tidak.
18 Misalkan A = [-4, 4], B = [0, 4], C = [-4, 0], dan kalimat terbuka P (x,y) berbunyi “x 2 + 4y 2 = 16”. Pandang relasi-relasi berikut:
(1) R 1 = (A, B, P(x,y))
(3) R 3 = (B, A, P(x,y))
(2) R 2 = (A, C, P(x,y))
(4) R 4 = (B, C, P(x,y))
Buatlah sketsa masing-masing relasi pada bidang Kartesis seperti dalam soaldan kemudian nyatakan apakah relasi-relasi ini suatu fungsi ataukah tidak.
19 Misalkan A = [0, ∞), B = (-∞, 0], C = [2, ∞), D = (-∞, -2), dan kalimat terbuka P(x, y)
2 berbunyi “x 2 -y = 4”. Pandang relasi
R = (X, Y, P(x, y))
Dimana X dan Y adalah himpunan yang tak diketahui. Jika X dan Y masing-masingnya adalah empat himpunan di atas, maka yang manakah dari enambelas relasi ini adalah fungsi? (petunjuk; pertama gambarkan P(x,y) pada bidang Kartesis).
20 Misalkan A sebarang himpunan.
1) Apakah terdapat lebih daripada satu relasi refleksif dalam A yang mana adalah suatu fungsi?
2) Apakah terdapat sebarang relasi refleksif dalam A yang mana adalah suatu fungsi?
21 Buktikan: Misalnya A tak kosong dan R relasi transitif dalam A yang tidak mengandung “elemen-elemen diagonal” (x,x) ∈ A x A; maka R bukan suatu fungsi dalam A.
118
Relasi dan Fungsi
Pengantar Dasar Matematika 119
B ab 10 K ARDINALITAS