Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh 2x + 4y = 15.

9. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh 2x + 4y = 15.

1) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut.

2) Carilah ranah dari R,

3) Carilah jangkau R,

4) -1 tentukan R .

10 Misalkan W = {1, 2, 3, 4}/ pandang relasi-relasi berikut dalam W: R 1 = {(1,1), (1,2)}

R 4 = {(1,1), (2,2), (3,3)} R 2 = {(1,1), (2,3), (4,1)} R 5 =WxW

Relasi dan Fungsi

R 3 = {(1,3), (2,4)} Nyatakan apakah masing-masing relasi ini (1) simetris, (2) anti-simetri, (3) transitif, (4) refleksif, ataukah tidak.

11 Nyatakan apakah masing-masing pernyataan berikut benar- atau salah. Anggap R dan R 1 adalah relasi-relasi dalam sebuah himpunan A.

1) -1 Jika R simetris maka R simetris

2) -1 Jika R anti-simetris, maka R anti-simetris

3) -1 Jika R refleksif, maka R ∩ R ≠ Ø.

4) -1 Jika R simetris , makaR ∩ R ≠ Ø.

5) Jika R transitif dan R-1 transitif, maka R ∪ R-1 transitif. 6)

Jika R transitif dan R -1 transitif, maka R ∩R -1 transitif.

7) -1 Jika R anti-simetris dan R anti-simetris, maka R ∪R anti-simetris.

8) -1 Jika R anti-simetris dan R anti-simetris, maka R ∩R anti-simetris.

9) -1 Jika R refeleksif dan R reflektif, maka R ∪R refleksif. 10)

Jika R refeleksif dan R -1 reflektif, maka R ∩R -1 refleksif.

12 Misalkan L himpunan dari garis-garis dalam bidang Euklid dan R adalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh “x sejajar y”. Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak. (Anggap sebuah garis sejajar dirinya sendiri).

13 Misalkan L himpunan dari garis-garis dalam bidang Euklid dan R adalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh “x tegaklurus y”. Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif.

14 Misalkan A keluarga himpunan-himpunan dan R adlah relasi dalam A yang didefinisikan oleh “x terpisah dari y”. Nyatakan apakah R (1) refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak.

15 -1 Jenis relasi apakah R jika (1) R ∩ R = Ø , (2) R = R ?

16 Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi dalam bilangan- bilangan asli N.

1) “ x lebih besar daripada y”

2) “x kali y adalah kuadrat dari sebuah bilangan”

3) “ x adalah kelipatan y”

Pengantar Dasar Matematika 117

4) “x + 3y = 12” Nyatakan apakah masing-masing relasi ini (a) refleksif, (b) simetris, (c) anti-simetris, (d) transitif, ataukah tidak.

17 Misalkan T = {a, b, c, d}. Pandang relasi-relasi berikut dalam T:

1) R 1 = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)}

2) R 2 = {(b,a), (c,d), (b,a), (a,b), (d,b)}

3) R 3 = {(d,c), (c,b), (a,b), (d,d)}

4) R 4 = {(a,a), (b,a), (c,a), (d,d)}

5) R 5 = {(b,a), (a,c), (d,d)} Nyatakan apakah relasi ini suatu fungsi ataukah tidak.

18 Misalkan A = [-4, 4], B = [0, 4], C = [-4, 0], dan kalimat terbuka P (x,y) berbunyi “x 2 + 4y 2 = 16”. Pandang relasi-relasi berikut:

(1) R 1 = (A, B, P(x,y))

(3) R 3 = (B, A, P(x,y))

(2) R 2 = (A, C, P(x,y))

(4) R 4 = (B, C, P(x,y))

Buatlah sketsa masing-masing relasi pada bidang Kartesis seperti dalam soaldan kemudian nyatakan apakah relasi-relasi ini suatu fungsi ataukah tidak.

19 Misalkan A = [0, ∞), B = (-∞, 0], C = [2, ∞), D = (-∞, -2), dan kalimat terbuka P(x, y)

2 berbunyi “x 2 -y = 4”. Pandang relasi

R = (X, Y, P(x, y))

Dimana X dan Y adalah himpunan yang tak diketahui. Jika X dan Y masing-masingnya adalah empat himpunan di atas, maka yang manakah dari enambelas relasi ini adalah fungsi? (petunjuk; pertama gambarkan P(x,y) pada bidang Kartesis).

20 Misalkan A sebarang himpunan.

1) Apakah terdapat lebih daripada satu relasi refleksif dalam A yang mana adalah suatu fungsi?

2) Apakah terdapat sebarang relasi refleksif dalam A yang mana adalah suatu fungsi?

21 Buktikan: Misalnya A tak kosong dan R relasi transitif dalam A yang tidak mengandung “elemen-elemen diagonal” (x,x) ∈ A x A; maka R bukan suatu fungsi dalam A.

118

Relasi dan Fungsi

Pengantar Dasar Matematika 119

B ab 10 K ARDINALITAS