Himpunan Terurut Parsial (poset)

11.1 Himpunan Terurut Parsial (poset)

Sebuah urutan parsial dalam sebuah himpunan A adalah sebuah hubungan R dalam A yang

(1) refleksif, yakni (a, a) ∈ R untuk tiap-tiap a ∈ A, (2) anti simetris, yakni (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R menyatakan a = b (3) transitif, yakni (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈R menyatakan (a, c) ∈ R.

selanjutnya jika sebuah hubungan R dalam A mendefinisikan sebuah urut parsial dalam A, maka (a, b) ∈R dinyatakan oleh a ≤ b yang dibaca “a mendahului b”. Contoh

1) Misalkan A adalah sebuah keluarga himpunan. Maka hubungan dalam A yang

didefinisikan oleh “x adalah sebuah subset dari y” adalah sebuah urut parsial dalam A

2) Misalkan A adalah sebarang subset dari bilangan-bilangan riil. Maka hubungan dalam A yang didefinisikan oleh “x ≤ y” adalah sebuah urutan parsial dalam A. Hubungan tersebut dinamakan urutan alami dalam A.

3) Misalkan R adalah hubungan dalam bilangan asli N yang didefinisikan oleh “ x adalah sebuah kelipatan y”; maka R adalah sebuah urut parsial, dalam N. Lagi pula, 6 ≤ 2, 15 ≤ 3 dan 17 ≤ 17.

4) Misalkan W = {a, b, c, d, e}. Maka diagram

mendefinisikan sebuah urutan parsial dalam W dengan cara berikut: x ≤ y jika x = y atau jika kita dapat pergi dari x ke y dalam diagram tersebut, yang selalu bergerak dalam arah yang ditunjukkan, yakni ke atas. Perhatikan bahwa b ≤ a, d≤a dan e≤c.

Himpunan Terurut Parsial

5) Misalkan R adalah hubungan dalam V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan oleh “x membagi y”. Maka R adalah sebuah urutan parsial dalam V. Urutan parsial dalam V ini dapat juga dijelaskan oleh diagram berikut yang serupa dengan diagram dalam contoh sebelumnya, dan yang serupa dengan diagram garis yang dibentuk untuk keluarga- keluarga himpunan:

6) Misalkan R adalah hubungan dalam sebuah keluarga himpunan yang didefinisikan oleh “X ekuivalen dengan sebuah subset dari Y” ( yakni X ≤ Y). Menurut Teorema terdahulu, R refleksif dan transitif; dan menurut Teorema Schroder-Bernstein, maka R anti simetris. Maka R adalah sebuha urutan parsial dalam keluarga himpunan tersebut. Walaupun simbol ≤ sebelumnya dugunakan untuk menyatakan sebuah hubungan dalam himpunan, namun hubungan tersebut, seperti terlihat dalam contoh ini, adalah sebuah urutan parsial.

Definisi 11.1.1: Sebuah himpunan A bersama-sama dengan sebuah hubungan urutan parsial R yang spesifik dalam A dinamakan sebuah himpunan terurut parsial (partially order set).

Perhatikan bahwa sebuah himpunan terurut parsial terdiri dari sebuah himpunan A dan sebuah jenis hubungan R yang spesifik dalam A; karena alasan ini, maka sebuah himpunan terurut parsial kadang-kadang dinyatakan oleh pasangan terurut (A, R) atau (A, ≤).

Dalam pembahasan ini dan berikutnya disepakati bahwa setiap himpunan bilangan riil diurutkan oleh urutan alami kecuali jika urutan lainnya dinyatakan secara eksplisit. Notasi tambahan berikut digunakan terhadap himpunan terurut parsial:

Pengantar Dasar Matematika 133

a < b berarti a≤ b dan a ≠ b; dibaca “a secara seksama mendahului b”

b ≥ a berarti a ≤ b; dibaca “b mendominasi a”.

b > a berarti a < b; dibaca “b secara seksama mendominasi a” ≥, ≤, <, dan > mempunyai arti yang sudah jelas. Dua elemen a dan b dalam sebuah himpunan terurut parsial dikatakan tak terbandingkan ( not comparable ) jika

a ≥ b dan b ≤ a

yakni jika tidak satupun dari elemen-elemen tersebut yang mendahului yang lainnya. Dalam contoh 5), bilangan 3 dan bilangan 5 tidak terbandingkan karena tidak satupun dari bilangan-bilangan tersebut yang merupakan kelipatan dari yang lainnya.

Teorema 11.1.1: Jika sebuah hubungan R dalam sebuah himpunan A adalah hubungan yang refleksif, anti-simetris dan transitif, maka hubungan invers R -1 adalah juga

hubungan yang refleksif, anti-simetris dan transitif. Dengan kata lain, jika R mendefinisikan sebuah urutan parsial dalam A maka R -1 juga mendefinisikan sebuah

urutan parsial dalam A yang dinamakan urutan invers.