Aksioma Zermelo-Fraenkel

12.6 Aksioma Zermelo-Fraenkel

Aksioma ini menganggap himpunan dan anggota sebagai konsep primitif. Jika dalam bab sebelumnya x dan {x} dianggap tidak sama maka dalam bab ini x dan {x} dipandang sebagai himpunan.

Aksioma 1 (aksioma ekstensi) Dua himpunan adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki elemen yang

sama. Aksioma 2 (aksioma himpunan kosong) Terdapat himpunan yang tidak memiliki anggota, dan dinyatakan dengan ∅. Aksioma 3 (Aksioma pasangan) Diberikan sebarang himpunan x, dan y, terdapat himpunan yang anggotanya

adalah x dan y.

Aksioma dan Paradoks dalam Teori Himpunan

Aksioma 4 (aksioma gabungan) Diberikan sebarang himpunan x, gabungan dari semua anggota x adalah suatu

himpunan. Aksioma 5 (aksioma himpunan kuasa) Diberikan sebarang himpunan x, terdapat himpunan yang memuat semua subset

dari x. Kelima aksioma di atas telah dikenal sebagai sifat-sifat pada himpunan. Dengan

menggunakan aksioma 3 dari bentuk {x,y} jika diambil x=y dapat berbentuk {x} yang merupakan himpunan sigleton. Pasangan {x,y} tidak terurut tetapi (x,y) merupakan pasangan terurut. Seperti yang telah digunakan pada definisi 9.1.

Aksioma 6 (aksioma pemisahan) Diberikan sebarang himpunan x dan sebarang kalimat p(y) adalah pernyataan

untuk semua y ∈x, maka ada himpunan {y∈x/ p(y) adalah benar}. Seperti telah ditunjukkan bahwa aksioma 6 ini dikonter oleh paradoks Russel. Bukan

dalam kasus ini, karena himpunan dikontruksi dari subset x. Lihat apa yang terjadi misalkan, b= { y ∈x/ y∉y} Maka dalam kasus ini untuk w ∈b, haruslah w∉w. Misalkan anggaplah b∈b berarti b∈x

dan b ∉b ini kontradiksi. Sekarang anggap b∉b. Jika b∈x maka memenuhi definisi di atas, dan untuk anggota b dan b ∈b kontradiksi. Tetapi mungkin b∉x masih berlaku. Jadi akan sampai pada dilema paradoks Russel, disederhanakan dengan mengkonklusikan bahwa b ∉x tidak masalah.

Kelebihan aksioma 6 ini memungkinkan dibentuknya irisan dua himpunan. Jika z adalah himpunan dan misalkan p(y) fungsi pernyataan “y ∈z” maka {y∈x/ y∈z} adalah x ∩z.

Pengantar Dasar Matematika 155

Aksioma 7 (aksioma pengganti) Diberikan sebarang himpunan x dan sebarang funsi f yang didefinisikan pada x,

bayangan f(x) adalah himpunan. Aksioma 7 ini mengimplikasikan aksioma 6, karena aksioma 7 ini merupakan metode

untuk mendefinisikan himpunan atau menuliskan himpunan dengan cara mendeskripsikan sifat-sifat yang dimiliki anggotanya. Aksioma 6 asli disampaikan oleh Zermelo dan aksioma 7 ini perbaikan dari Fraenkel.

Aksioma 8 (aksioma ketakhinggaan) terdapat himpuna x sedemikian hingga ∅∈x, dan bila y ∈x berlakulah bahwa y∪{y}∈x.

Aksioma ini kelihatan agak aneh, tetapi menjamin eksistensi himpunan takhinnga. Sesungguhnya, aksioma ini secara khusus menunjukkan himpunan yang memuat,

∅, ∅∪{∅}, ∅∪{∅} ∪{∅∪{∅}}, … dan seterusnya semua elemen adalah berbeda satu sama lain, sehingga telah terbentuk

himpunan takhingga. Aksioma 9 (aksioma keteraturan) Diberikan sebarang himpunan tak kosong x, terdapat himpunan y sedemikian

hingga y ∩x=∅. Aksioma 9 ini memberikan efek menghindarkan kemungkinan suatu himpunan

beranggota himpunan itu sendiri. Pandanglah x ∈x, sekarang himpunan {x} tidak kosong karena memuat x. Dengan aksioma keteraturan ini terdapat y ∈{x} sedemikian hingga y ∩{x}=∅. Karena y∈{x} haruslah y=x. tetapi y∈y dan y∈{x}, juga y∈y∩{x}, kontradiksi.

Aksioma 10 (aksioma pilihan) Diberikan sebarang himpunan x yang anggotanya himpunan yang tidak kosong

dan saling lepas, terdapat himpunan y yang memuat tepat satu elemen dari setiap himpunan anggota x.

156

Aksioma dan Paradoks dalam Teori Himpunan

Demikian telah diberikan beberapa contoh pengembangan teori himpunan secara aksiomatik dan beberapa paradoks yang mengkonter keberadaan aksioma tersebut