Himpunan Denumerabel

10.2 Himpunan Denumerabel

Telah cukup dikenal himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, …}. Definisi 10.3: Jika sebuah himpunan D ekuivalen dengan N, yakni himpunan bilangan asli, maka D dinamakan denumerabel dan dikatakan mempunyai kardinalitas ά. Definisi 10.4: Sebuah himpunan dinamakan kontabel jika himpunan tersebut berhingga atau denumerabel dan sebuah himpunan dinamakan non kontabel jika himpunan tersebut tak berhingga dan jika himpunan tersebut tidak ekuivalen dengan N, yakni jika himpunan tersebut non denumerabel.

Contoh :

1) setiap urutan tak berhingga (infinite sequence) a 1 ,a 2 ,a 3 ,…

dari elemen-elemen yang berlainan adalah himpunan yang denumerabel, karena sebuah urutan pada pokoknya adalah sebuah fungsi ƒ(n) = a n yang ranahnya N. Jadi jika a n tersebut berlainan, maka fungsi tersebut bijektif. Maka setiap himpunan yang berikut adalah himpunan yang denumerabel: {1, ½, 1/3, …, 1/n, …}

{1, -2, 3, -4, …, (-1) n–1 n, …)

2 ((1, 1), (4, 8), (9, 27), …, (n 3 ,n ), …}

Kardinalitas

2) Tinjauan himpunan hasil kali N x N seperti yang dipertunjukkan dalam gambar 10-1 (1,1)

himpunan N x N dapat ditulis dalam sebuah urutan tak berhingga dari elemen-elemen yang berlainan sebagai berikut: {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), …} (Perhatikan bahwa urutan tersebut ditentukan dengan “mengikuti panah” dalam gambar 10-1. Jadi karena alasan-alasan yang dinyatakan dalam contoh 1), maka N x N denumerabel.

3) Misalkan M = {0, 1, 2, …} = N ∪ {0}. Nah setiap bilangan asli a ε N dapat dituliskan secara unik dalam bentuk a = 2’ (2s + 1) dengan r dan s adalah seperti yang di atas. Maka adalah sebuah fungsi bijektif. Jadi M x M denumerabel. Perhatikan bahwa N x N adalah sebuah subset dari M x M.

Teorema-teorema berikut akan membicarakan mengenai himpunan denumerabel. Teorema 10.2: Tiap-tiap himpunan tak berhingga mengandung sebuah subset yang denumerabel.

Bukti:

Misalkan ƒ: 2 A

A adalah fungsi pilihan. Tinjaulah urutan yang berikut:

ƒ(A)

ƒ(A – {a 1 })

ƒ(A – {a 1 ,a 2 })

Pengantar Dasar Matematika 125

ƒ(A – {a 1 , …, a n-1 })

karena A tak berhingga, maka A - {a 1 , …, a n-1 } tidak kosong untuk sebarang n ∈ N. Lagi pula, karena ƒ adalah sebuah fungsi pilihan, maka a n ≠ a 1 di mana i < n Jadi semua a n berlainan, sehingga D = {a 1 ,a 2 , …} adalah himpunan yang denumerabel. Pada pokoknya, fungsi pilihan ƒ “memilih” sebuah elemen a 1 ∈ A, kemudian memilih sebuah elemen a 2 dari elemen-elemen yang “tetap berada” dalam A, dan lain sebagainya. Karena A tak berhingga, maka himpunan elemen yang “tetap berada” dalam A tidak merupakan himpunan kosong.

Teorema 10.3: Sebuah subset dari sebuah himpunan yang denumerabel adalah subset yang berhingga atau subset yang denumerabel. Bukti :

Misalkan A = {a 1 ,a 2 , …} (10.2.1) Adalah sebarang himpunan denumerabel dan misalkan B adalah sebuah subset dari A. jika

B = Ø, maka B berhingga. Jika B ≠ Ø, maka misalkan a n1 adalah elemen pertama dalam urutan dalam (10.2.1) sehingga a n1 ∈ B; misalkan a n2 adalah elemen pertama yang mengikuti a n1 dalam urutan dalam (10.2.1) sehingga a n2 ∈ B; dan seterusnya. Maka B = {a n1 ,a n2 , …}

Jika himpunan bilangan bulat {n 1 ,n 2 , …} terbatas, maka B berhingga.

Jika tidak maka B denumerabel. Teorema Akibat 10.4: sebuah subset dari sebuah himpunan yang kontabel adalah subset yang kontabel.

Teorema 10.5: Misalkan A 1 ,A 2 ,A 3 , … adalah keluarga yang denumerabel dari himpunan yang terputus secara sepasang-sepasang (pairwise disjoint), dan setiap himpunan adalah himpunan yang denumerabel. Maka gabungan himpunan U i ε N A I adalah himpunan yang denumerabel. Teorema Akibat 10.6: Misalkan {A i } i ε I adalah sebuah keluarga yang kountabel dari

himpunan-himpunan yang kontabel. Maka U i εN A i adalah himpunan yang kontabel. Selanjutnya diikuti sebuah contoh yang sangat penting, dari sebuah himpunan yang denumerabel.

Kardinalitas

Contoh : 1)

Misalkan Q - adalah himpunan bilangan rasional yang positif dan misalkan Q adalah himpunan bilangan rasional yang negatif. Maka Q = Q - ∪ {0} ∪ Q + adalah himpunan

bilangan rasional. Misalkan fungsi ƒ : Q + N x N didefinisikan oleh

ƒ(p/q) = (p, q)

dengan p/q adalah sebarang anggota dari Q + yang dinyatakan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat positif yang relatif prima. Perhatikan bahwa ƒ injektif, sehingga

Q + ekuivalen dengan sebuah subset dari N x N. Menurut Teorema 10.5 dan contoh 2),

maka Q - denumerabel. Demikian juga Q adalah himpunan yang denumerabel. Maka

himpunan bilangan rasional, yang merupakan gabungan dari Q - , {0} dan Q , adalah himpunan yang denumerabel.