4
4
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jika
n
bilangan rasional dan
n
z
1, maka
n
x dx
³
1
1 1
n
x n
c
di mana
c
adalah konstanta.
Jika
f
fung si y ang terinteg ralkan d an
k
suatu ko nstanta, maka
kf x dx
³
k f x dx
³
Teorema 1
Teorema 2
B. Integral Tak Tentu
d.
g
4
x
2 1
1 1
1 1
4 2
2 1
1 1 1
1
x x
c x
3 2
1
1 4
1 3
2 2
x x
x c
3 2
1 1
2 3
2 x
x x
c
Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahw a integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi
F x
yang dapat didiferensialkan pada interval
, a b
sedemikian hingga d F x
dx
f x
, maka antiturunan dari
f x
adalah
F x
c
. Secara matematis, ditulis
f x dx
³
F x
c
di mana
³
dx
Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan
f x
Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
c
Konstanta Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan
3 2
3
x x dx
c
³
karena
3 2
3 d
x c
x dx
§ ·
¨ ¸
© ¹
Sehing g a kalian d ap at m em and ang integ ral tak tentu sebag ai w akil keseluruhan keluarga fungsi satu antiturunan untuk setiap nilai
konstanta
c
. Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan
teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.
Bab 1 Integral
5
Jika
f
dan
g
fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
f x g x
dx
³
f x dx g x dx
³ ³
Jika
f
dan
g
fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
f x g x
dx f x dx
g x dx
³ ³
³
A turan integral substitusi Jika
u
suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan
r
suatu bilangan rasional tak nol, maka
c
³
1
1 1
r r
u x u x dx
u x r
c
, di mana
c
adalah konstanta dan
r
z 1.
A turan integral parsial Jika
u
dan
v
fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
u dv uv
v du
³ ³
Teorema 3
Teorema 4
Teorema 5
Teorema 6
A turan integral trigonometri •
cos sin
x dx x
c
³
•
sin cos
x dx x
c
³
•
2
1 tan
cos dx
x c
x
³
di mana
c
adalah konstanta
Teorema 7
6
6
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan
x
n
1
c
yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
1 n
d x
c dx
n
1
x
n 1
1 1
n
d x
c n
dx ª
º
¬ ¼
1 1
1
n
n x
n
1
1
n
d x
c dx n
ª º
« »
¬ ¼
x
n
Sehingga
1
1 1
n n
x dx x
c n
³
Pembuktian Teorema 1
1
Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan
r
³ ³
f x dx g x dx
yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
ª º
ª º
ª º
r r
r ¬
¼ ¬
¼ ¬
¼
³ ³
³ ³
d d
d f x dx
g x dx f x dx
g x dx f x
g x dx
dx dx
ª º
r r
¬ ¼
³ ³
d f x dx
g x dx f x
g x dx
Sehingga didapat:
r r
³ ³
³
f x g x
dx f x dx
g x dx
. . . kalikan kedua ruas dengan 1
1 n
Hitunglah integral dari
³
2
3 3
7
x x
dx
Jawab:
2 2
3 3
7 3
3 7
x x
dx x dx
x dx dx
³ ³
³ ³
Teorema 2, 3, dan 4
2 1
3 3
7 2
1 1
1 x
x x
c Teorema 1
3 2
3 7
2 x
x x
c
³
2 3
2
3 Jadi, 3
3 7
7 .
2
x x
dx x
x x
c
C
ontoh
Pembuktian Teorema 3 dan 4
Bab 1 Integral
7
Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi
fx ux
vx
adalah
d u x v x
u x v x
v x u x
dx
c c
A kan d ibuktikan aturan integral parsial d engan rumus tersebut. Caranya ad alah d engan mengintegralkan ked ua ruas persamaan
seperti berikut.
c
c ª
º ¬
¼
³ ³
³
d u x
v x u x
v x dx
v x u x dx
dx
u x v x
u x v x dx
v x u x dx
c
c
³ ³
c
c
³ ³
u x v x dx
u x v x
v x u x dx
Karena
v
c
x dx
dv
dan
u’ x
dx du
Maka persamaan dapat ditulis
u dv uv
v du
³ ³
Pembuktian Teorema 6
B. 1. Aturan Integral Substitusi
