Bab 1 Integral
1
B A
B
Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling
pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar,
kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran
baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat mengetahuinya.
1 1
Sumber: www.wallpaperbase.com
Integral Integral
A. Pengertian Integral
B. Integral Tak Tentu
C. Integral Tertentu
D. Menentukan Luas Daerah
E. Menentukan Volume
Benda Putar
2
2
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang ko nsep turunan ini d apat kalian gunakan untuk memahami
konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. •
f
1
x
3
x
3
3 •
f
2
x
3
x
3
7 •
f
3
x
3
x
3
1 •
f
4
x
3
x
3
10 •
f
5
x
3
x
3
99 Perhatikan bahw a fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum
f x
3
x
3
c
, dengan
c
suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan
f
c
x
9
x
2
. Jadi, turunan fungsi
f x
3
x
3
c
adalah
f
c
x
9
x
2
. Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi
f x
dari
f
c
x
yang diketahui? Menentukan fungsi
f x
dari
f
c
x
, berarti menentukan antiturunan d ari
f
c
x
. Sehing g a, integ ral m erup akan antiturunan antidiferensial atau operasi invers terhadap diferensial.
A. Pengertian Integral
Jika
F x
adalah fungsi umum yang bersifat
F
c
x f
x
, maka
F x
merupakan antiturunan atau integral dari
f x
. Pengintegralan fungsi
f x
terhadap
x
dinotasikan sebagai berikut.
³
f x
dx F
x c
dengan:
³
no tasi integ ral y ang d ip erkenalkan o leh Leibniz , seo rang matematikaw an Jerman
f x
fungsi integran
F x
fungsi integral umum yang bersifat
F
c
x f
x c
konstanta pengintegralan Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
•
g
1
x x
, didapat
g
1
c
x
1. Jadi, jika
g
1
c
x
1 maka
g
1
x
³
g
1
c
x dx
x c
1
. •
g
2
x
2 1
x
2
, didapat
g
2
c
x x
. Jadi, jika
g
2
c
x x
maka
g
2
x
³
g
2
c
x dx
2 1
x
2
c
2
. •
g
3
x 1
3 x
3
, didapat
g
3
c
x x
2
. Jadi, jika
g
3
c
x x
2
maka
g
3
x
³
g
3
c
x dx
1 3
x
3
c
3
. •
g
4
x 1
6 x
6
, didapat
g
4
c
x x
5
. Jadi, jika
g
4
c
x x
5
maka
g
4
x
³
g
4
c
x dx
1 6
x
6
c
4
.
Bab 1 Integral
3
1.
Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut
a.
f x
5
x
2
10 c.
f x
1 2
x
3
2
x
b.
f x
2
x
3
3
x
2
4
x
5 d.
f x
1 4
x
4
1 3
x
3
1 2
x
2
1
Jawab: a.
f
’
x
2
5
x
2 1
10
x
b.
f
’
x
3
2
x
3 1
2
3
x
2 1
1
4
x
1 1
6
x
2
6
x
4
c.
f
’
x
§ ·
¨
¸ ©
¹
1 3
2 x
3 1
1
2
x
1 1
3 2
x
2
2
d.
f
’
x
§ ·
¨
¸ ©
¹
1 4
4 x
4 1
§ ·
¨
¸ ©
¹
1 3
3 x
3 1
§ ·
¨
¸ ©
¹
1 2
2 x
2 1
x
3
x
2
x
2. Tentukanlah antiturunan
x
jika diketahui:
a.
g
1
c
x x
3
c.
g
3
c
x
3
x
4
2
x
b.
g
2
c
x
2
x
6
3
d.
g
4
c
x x
2
4
x 1
2
Jawab: a.
g
1
x
3 1
1 3
1 x
4
1 4
x c
b.
g
2
x
1 6
1
2 3
6 1
1 x
x
7
2 3
7 x
x c
c.
g
3
x
4 1
1 1
3 2
4 1
1 1
x x
c
5 2
3 2
5 2
x x
5 2
3 5
x x
c
C
ontoh
Dari uraian ini, tampak bahwa jika
g
‘
x x
n
,
maka
g x
1
1 1
n
x n
c
atau dapat dituliskan
z
³
1
1 ,
1 1
n n
x dx x
c n n
. Sebagai contoh, turunan fungsi
f x
3
x
3
c
adalah
f
c
x
9
x
2
. Ini berarti, antiturunan dari
f
c
x
9
x
2
adalah
f x
3
x
3
c
atau dituliskan
³
f
‘
x dx
3
x
2
c
. Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.
Jika
f
‘
x x
n
,
maka
f x
1
1 1
n
x n
c, n
z
1 dengan
c
suatu konstanta
4
4
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jika
n
bilangan rasional dan
n
z
1, maka
n
x dx
³
1
1 1
n
x n
c
di mana
c
adalah konstanta.
Jika
f
fung si y ang terinteg ralkan d an
k
suatu ko nstanta, maka
kf x dx
³
k f x dx
³
Teorema 1
Teorema 2
B. Integral Tak Tentu
