24
24
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y f
x
sin
x
,
d
x
d
2
S
, dan sumbu-
x
.
Jawab:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y f
x
sin
x
, 0
d
x
d
2
S
, dan sumbu-
x
adalah:
L L
A
1
L A
2
2
sin sin
x dx x dx
S S
S
³ ³
2
cos cos
x x
S S
S
cos 2
S
cos
S
cos
S
cos 0 1
1 1
1 2
2 4
Jad i, luas d aerah tersebut ad alah 4 satuan luas.
D. 4. M enentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua
Kurva
Luas daerah
U
pada gambar di baw ah adalah
L U
Luas
ABEF
Luas
ABCD
Gambar 1.7
Luas daerah yang terletak di antara dua kurva
A BEF
adalah daerah yang dibatasi oleh kurva
y
1
f x
,
x a
,
x b
, dan
y
0 sehingga Luas
ABEF
³
b a
f x dx
A dapun
A BCD
adalah daerah yang dibatasi oleh kurva
y
2
g x
,
x a
,
x b
, dan
y
0 sehingga Luas
ABEF
³
b a
g x dx
Dengan demikian, luas daerah
U
adalah
L U
³ ³
³
b b
b a
a a
f x dx g x dx
f x g x
dx
C
ontoh
A U
C a
b E
y
2
gx B
F
D y
1
fx y
fx
3 2
S
2
S
x
O
–1 1
1 2
1 2
1 2
A
1
A
2
y
Bab 1 Integral
25
Tentukanlah luas d aerah yang d ibatasi oleh kurva
f x
4
x
2
, garis
x
0, dan di atas garis
y
1.
Jawab:
Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah
U
. Tentukanlah batas-batas pengintegralan,
yaitu absis titik potong antara kurva
y f
x
4
x
2
dan garis
y
1 di kuadran I. Substitusi
y
1 ke persamaan
y
4
x
2
sehingga didapat: 4
x
2
1
x
2
3
x
1
3
atau
x
2
3
O leh karena d aerah
U
ad a d i kuad ran I, m aka batas-batas pengintegralannya adalah
x
0 sampai
x 3
. Dengan demikian, luas daerah
U
adalah sebagai berikut.
L U
3 2
4 1
x dx
³
3 2
3 x
dx
³
3 3
1 3
3 x
x
ª º
« »
¬ ¼
3
1 1
3 3
3 3 3
3 3 3
3
3 3
3 2 3
Jadi, luas daerah
U
adalah 2
3
satuan luas.
W aktu : 60 menit 1.
Gam barlah d aerah y ang d ibatasi o leh kurv a-kurv a berikut. Kemudian, tentukan luas daerah tersebut
a.
f x
3
x
2
x
3
dan sumbu-
x
.
b.
g x
1
x
3
, sumbu-
x
, dan garis
x
2
c.
h x
x
2
3
x
, sumbu-
x
,
x
0, dan sumbu simetri parabola
d.
i x
x
,
g x
2
x
, dan
x
5
e.
j x
x
2
3
x
4 dan sumbu garis
y
4
f.
k x
sin
x
dan
g x
cos
x
, untuk 0
d
x
d
2
S
Bobot soal: 60
contoh
3
A
SAH
K
EMAMPUAN
C
ontoh
U y
4
1 O
2 x
f x
4 x
2
y 1
U
26
26
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
E. Menentukan Volume Benda Putar
E. 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis
V A
.
h
Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahw a penampang- penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu.
Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-
x
dan andaikan luas penampang di
x
adalah
A x
dengan
a
d
x
d
b
. Bagi selang [
a
,
b
] dengan titik-titik bagi
a x
x
1
x
2
...
x
n
b
. Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-
x
, sehingga diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume
suatu lemp engan ini d ap at d ianggap sebagai v o lume tabung, yaitu
i i
V A x
x
| dengan
1 i
i i
x x
x
d d
. Dengan jumlah yang kalian dapatkan
1
n i
i t
V A x
x
|
¦
, kemudian akan menjadi
b a
V A x dx
³
.
A x
ad alah luas alas bend a p utar, o leh karena alas bend a p utar ini berupa lingkaran, maka
A x
S
r
2
jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam
x
i
misalnya
f x
. Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai
S
³
2
b a
V f x
dx
.
Bobot soal: 20
Bobot soal: 20
Titik
a
,
b
dan
a
,
b
dengan
a
dan
b
bilangan real positif merupakan dua titik pada parabola
f x
1
x
2
. Jika kedua titik tersebut dengan titik 1, 0 dan 1, 0 membentuk trapesium,
tentukanlah luas terbesar trapesium tersebut
Sumber : Olimpiade M atematika SM U
, 2000
2.
Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva
f x
x
2
2
x
8 dan sumbu-
x
dibagi menjadi dua bagian oleh sumbu-
y
. Tentukan perbandingan luas bagian masing-masing
3. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah
yang dibatasi kurva
y x
2
dan garis
y
4.
Olimpiade M atematika SM U, 2000
Bab 1 Integral
27
Misalkan
R
daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi
f x
, sumbu-
x
, garis
x a
, garis
x b
, dengan
a b
, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah
R
mengelilingi sumbu-
x
adalah
2
b a
V f x
dx
S
³
E. 2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Misalkan
S
daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi
x f
y
, sumbu-
y
, garis
x a
, garis
x b
, dengan
a b
, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah
S
mengelilingi sumbu-
y
adalah
V. V
S
³
2 b
a
f y dy
b a
R y
fx y
x
y
x a
b y
fx
O
Gambar 1.8
Volume benda putar yang mengelilingi sumbu-x
Tentukanlah v o lume bend a p utar, jika d aerah y ang d ibatasi o leh g rafik
f x
4
x
2
, sumbu-
x
, dan sumbu-
y
diputar 360° terhadap:
a.
sumbu-
x
b. sumbu-
y
Jawab: a.
Volumenya adalah:
V
2 2 2
4
x dx
S
³
2 2
4
16 8
x x
dx
S
³
2 3
5
8 1
16 3
5
x x
x
S
ª º
« »
¬ ¼
S
§ ·
§ ·
¨
¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹
3 5
8 1
16 2
2 2
3 5
64 32
32 3
5
S § ·
¨ ¸
© ¹
256 15
S Jadi, vo lume benda putar yang terjadi jika daerah
R
diputar mengelilingi sumbu-
x
adalah
256 15
S satuan volume.
b.
Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah
R
diputar mengelilingi sumbu-
y
, kalian harus nyatakan persamaan kurva
y f
x
4
x
2
menjadi persamaan
x
2
dalam variabel
y
.
y
4
x
2
x
2
4
y
Volume benda putar tersebut adalah
C
ontoh
O
Gambar 1.9
Volume benda putar yang mengelilingi sumbu-y
x y
f x = 4
x
2
2 O
2 1
R 1
28
28
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam V
4
4
y dy
S
³
S
ª º
« »
¬ ¼
4 2
1 4
2
y y
S
§ ·
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
2
1 4
4 4
2
S
16 8
8
S
Jadi, vo lume benda putar yang terjadi jika daerah
R
diputar mengelilingi sumbu-
y
adalah 8
S
satuan volume.
E. 3. M enentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva
