Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 5
Jika {A
n
} suatu barisan kejadian dengan A
n
monoton naik A
n
↑ atau A
n
monoton turun A
n
↓ maka :
n n
A P
A P
limit limit
n n
∞ →
∞ →
=
Suatu barisan A
n
dikatakan monoton naik jika A
1
⊂ A
2
⊂ A
3
⊂ …. Sebaliknya A
n
dikatakan monoton turun jika A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃…. Selanjutnya, jika A
n
↑ maka
∞ =
∞ →
=
1 n
limit
n n
n
A A
dan jika A
n
↓ maka
∞ =
∞ →
=
1 n
limit
n n
n
A A
1.1.2. Probabilitas Bersyarat DEFINISI
Jika A ∈ F sedemikian hingga PA 0, maka probabilitas bersyarat Conditional
Probability B ∈ F diberikan A, ditulis dengan PBA didefinisikan sebagai :
| A
P B
A P
A B
P ∩
= ;
∀
B ∈F
Pada kenyataannya PB|A adalah suatu ukuran probabilitas, karena : i
PB|A ≥ 0; ∀
B ∈F
ii 1
| =
= ∩
Ω =
Ω A
P A
P A
P A
P A
P iii
Jika A
j
∈ F, j = 1, 2, … dengan A
i
∩ A
j
= φ; i ≠ j maka
|
1 1
A P
A A
P A
A P
j j
j j
∩
=
∞ =
∞ =
=
1
A P
A A
P
j j
∩
∞ =
=
∑
∞ =
∩
1
1
j j
A A
P A
P
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 6
=
∑
∞ =
∩
1 j
j
A P
A A
P
=
∑
∞ =1
|
j j
A A
P
Selanjutnya misalkan A
1
, A
2
, … ∈ F sehingga A
i
∩ A
j
= φ; i ≠ j dan
Ω =
∞ =
1 j
j
A , kita
katakana bahwa A
1
, A
2
, … merupakan partisi dari Ω.
Untuk sembarang B ∈F kita peroleh :
∞ =
∩ =
1 j
j
A B
B
Jadi
∑
∞ =
∩ =
1 j
j
A B
P B
P
= .
|
1 j
j j
A P
A B
P
∑
∞ =
; untuk PA
j
0, ∀
j =1,2,…
TEOREMA Probabilitas Total
Jika {Aj, j =1, 2, …} suatu partisi dari Ω dengan PA
j
0, ∀
j
maka untuk B ∈ F didapat :
. |
1 j
j j
A P
A B
P B
P
∑
∞ =
=
Teorema di atas pada dasarnya dapat digunakan untuk menghitung PA
j
|B. Untuk setiap j = 1, 2, … pada kenyataannya :
| B
P B
A P
B A
P
j j
∩ =
= .
| B
P A
P A
B P
j j
=
∑
∞ =1
. |
. |
j j
j j
j
A P
A B
P A
P A
B P
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 7
Berdasarkan uraian di atas, kita mempunyai teorema berikut :
TEOREMA Teorema Bayes
Jika {Aj, j =1, 2, …} suatu partisi dari Ω dengan PA
j
0, dan jika PB 0 maka:
∑
=
=
1
. |
. |
|
j j
j j
j j
A P
A B
P A
P A
B P
B A
P
Contoh : Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi ketua. Probabilitas Ali terpilih 0,3;
probabilitas Badu terpilih 0,5; sedang probabilitas Cokro terpilih 0,2. Jika Ali terpilih, maka peluang kenaikan iuran koperasi 0,8; jika Badu terpilih, peluang kenaikan iuran 0,1
dan jika Cokro terpilih, peluang kenaikan iuran aalah 0,4. Bila seseorang merencanakan masuk menjadi anggota koperasi, tetapi menundanya beberapa minggu dan kemudian
beberapa minggu dan mengetahui bahwa iuran telah nailk. Tentukan peluang bahwa Cokro terpilih jadi ketua?
Berdasarkan persoalan ini, misalkan : A
1
: Ali yang terpilih A
2
: Badu yang terpilih A
3
: Cokro yang terpilih B
: orang yang menaikkan iuran Maka :
|
3 3
B P
B A
P B
A P
∩ =
=
∑
=
∩ ∩
3 1
3 j
j
B A
P B
A P
= .
| .
| .
| .
|
3 3
2 2
1 1
3 3
A P
A B
P A
P A
B P
A P
A B
P A
P A
B P
+ +
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 8
= 2
, 4
, 5
, 1
, 3
, 8
, 2
, 4
, +
+ =
37 8
37 ,
08 ,
08 ,
05 ,
24 ,
08 ,
= =
+ +
1.2. Variabel Random
