Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 88
BAB IV PROSES POISSON
Kompetensi Dasar : Mahasiswa
mampu menguraikan tentang Proses Poisson
Tujuan Pembelajaran :
1. Memahami tentang Proses Poison 2. Menguasai distribusi-distribusi yang berhubungan dengan Proses Poisson
3. Menguasai aplikasi Proses Poisson dan Kehidupan Real
Pada pembahasan terdahulu kita telah membicarakan suatu Proses Stokastik dengan ruang state S yang diskrit dan parameter diskrit. Pada
pembahasan berikut, kita akan membicarakan Proses Stokastik dengan ruang state S yang diskrit dan parameter kontinu. Salah satu contoh proses stokastik
ini adalah Proses Poisson Model proses stokastik semacam ini sangat penting, dari sudut pandang
teori juga mempunyai banyak aplikasi yang mengikuti model tersebut, misalnya :
i Banyaknya pengunjung pada sebuah swalayan
ii Banyaknya kecelakaan lalu lintas pada suatu jalan, di sebuah kota
iii Banyak telpon berdering pada suatu interval waktu tertentu, dll
Proses Poisson merupakan suatu model stokastik yang pembentukannya didasarkan pada distribusi Poisson dan sifat-sifat keindependenannya. Pertama-
tama akan diuraikan distribusi Poisson dan beberapa sifat pentingnya.
4.1. Distribusi Poisson
Suatu variable random X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter µ , jika X mempunyai fungsi probabilitas fx sebagai berikut :
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 89
x e
x f
x
µ
µ
−
=
; x = 0,1,2, … EX = µ dan VarX = µ
Bukti : EX =
x e
x x
e x
x f
x
x 1
x x
x x
µ µ
µ µ
− ∞
= −
∞ =
∞ =
∑ ∑
∑
= =
= µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
= =
− =
− ∞
= −
− −
∞ =
∑ ∑
e e
1 x
e x
e x
1 x
1 x
x 1
x
EXX-1 = x
e 1
x x
x f
1 x
x
x 2
x 2
x
µ
µ −
∞ =
∞ =
− =
−
∑ ∑
=
2 2
2 x
2 x
2
e e
2 x
e µ
µ µ
µ
µ µ
µ
= =
−
− ∞
= −
−
∑
VarX = EX
2
– [EX]
2
= EXX-1 + EX - [EX]
2
= µ
2
+ µ - µ
2
= µ
Sifat-sifat distribusi Poisson
Berikut diberikan dua sifat penting yang berkaitan dengan distribusi probabilitas Poisson. Kedua sifat tersebut disajikan dalam teorema berikut :
Teorema 4.1
Jika X dan Y variable random independent masing-masing berdistribusi Poisson dengan parameter µ dan ν, maka jumlah Z = X+Y berdistribusi
Poisson dengan parameter µ
z
= µ + ν.
Bukti : PX+Y=n =
∑
=
− =
=
n k
k n
Y ,
k X
P
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 90
=
∑
=
− =
=
n k
k n
Y P
k X
P
; X, Y saling independent
= k
n e
k e
k n
n k
k
−
− −
= −
∑
ν µ
ν µ
=
∑
= −
+ −
−
n k
k n
k
k n
k n
n e
ν µ
ν µ
=
k n
k n
k
k n
n e
− =
+ −
∑
ν µ
ν µ
= n
e
n
ν µ
ν µ
+
+ −
≈ Poisson dengan parameter µ + ν Terbukti bahwa Z = X+Y berdistribusi Poisson dengan parameter µ + ν.
Teorema 4.2
Jika N variable random berdistribusi Poisson dengan parameter µ, distribusi bersyarat M diberikan N=n berdistribusi Binomial dengan
parameter n dan p, maka distribusi tidak bersyarat M adalah Poisson dengan parameter µp.
Bukti : PM=k =
∑
=
= =
k n
n N
, k
M P
=
∑
=
= =
=
k n
n N
P n
N |
k M
P
=
− −
− =
−
∑
n e
p 1
p k
n k
n
n k
n k
n k
µ
µ
=
∑
∞ =
− −
− −
k n
k n
k
k n
p 1
k e
p
µ µ
µ
=
p 1
k
e k
e p
− −
µ µ
µ
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 91
=
k e
p
p k
µ
µ
−
≈ Poisson dengan parameter µp
Jadi M berdistribusi Poisson dengan parameter µp. Selanjutnya berdasarkan distribusi Poisson dan sifat-sifat keindependenan, kita akan mendefinisikan
suatu proses Poisson.
Definisi 4.1 Suatu proses stokastik {Xt, t ≥0} dikatakan Proses Poisson dengan rate
intensitas λ 0 merupakan proses yang memenuhi sifat-sifat : i
X0 = 0 ii
Untuk titik-titik waktu t =0 t
1
t
2
…t
n
, increment process : Xt
1
- Xt ,
Xt
2
- Xt
1
, Xt
3
- Xt
2
, …, Xt
n
- Xt
n-1
merupakan variable random independent
iii Untuk s≥0, t0, variable random Xs+t – xs berdistribusi Poisson
dengan fungsi probabilitas : PXs+t-Xs = k =
k e
t
t k
λ
λ
−
; k=0,1,2, …
Jadi jika Xt suatu proses Poisson rate λ0 maka EXt=λt dan VarXt = σ
2
Xt = λt
Teorema 4.3
Jika Nt Proses Poisson dengan rate λ maka t
t N
P
lmit
t
=
≥
−
∞ →
ε λ
untuk setiap bilangan ε 0.
Bukti : Karena Nt Proses Poisson dengan rate λ, maka E[Nt] =λt dan Var[Nt]= λt
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 92
⇔
2
c t
c t
t N
P λ
λ ≤
≥ −
⇔
2
c t
t c
t t
N P
λ λ
≤
≥
−
⇔
2
t t
t N
P ε
λ ε
λ ≤
≥ −
, dengan ε=
t c
t t
t N
P
2 t
t
lmit lmit
= =
≥ −
∞ →
∞ →
ε λ
ε λ
, untuk ε 0
Teorema di atas menyatakan bahwa rate λ dari proses Poisson Nt dapat dihampiri dengan
t t
N
Bukti : Dengan ketidaksamaan Chebyshev :
P{| X–EX| ≥ k} ≤
2
k X
Var , k 0
Pada proses Poisson ini, variabel acak Nt dengan mean λt dan variansi λt, maka
{ }
2
k t
k t
t N
P λ
λ ≤
≥ −
2
k t
t k
t t
N P
λ λ
≤
≥
−
2
t t
t N
P ε
λ ε
λ ≤
≥ −
t t
t N
P
2 t
t
lmit lmit
= =
≥ −
∞ →
∞ →
ε λ
ε λ
, untuk ε 0 terbukti
Berikut diberikan distribusi Binomial dalam konteks Proses Poisson
Teorema 4.4
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 93
Jika {Xt} merupakan suatu Proses Poisson dengan rate λ0, maka untuk 0ut dan 0 ≤ k ≤ n berlaku :
PXu=k|Xt=n=
k n
k
t u
1 t
u k
n k
n
−
−
−
Bukti : PXu=k|Xt=n =
n t
X P
n t
X ,
k u
X P
= =
=
= n
t X
P k
n u
X -
Xt dan
k u
X P
= −
= =
= n
t X
P k
n u
X -
Xt P
k u
X P
= −
= =
= n
t e
k n
u t
e k
u e
n t
k n
u t
k u
λ λ
λ
λ λ
λ −
− −
− −
− −
=
n k
n k
t u
t u
k n
k n
−
− −
=
k n
k k
n k
k n
k
t u
1 t
u k
n k
n t
. t
u t
u k
n k
n
− −
−
−
− =
− −
terbukti
Selanjutnya misalkan N[a,b] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval [a,b]. Misalkan pada t
1
t
2
t
3
... maka N{a,b] menyatakan banyaknya nilai-nilai t
i
pada a t
i
b.
Berdasarkan definisi ini, kita memiliki sifat-sifat berikut : i
Independent Banyak kejadian yang terjadi dalam interval-interval yang saling asing
disjoint adalah independent, yaitu untuk sembarang bilangan bulat
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 94
positif m=2, 3, 4,... dan titik-titik t = 0 t
1
t
2
t
3
...t
n
, variabel random :
N[t ,t
1
], N[t
1
,t
2
],..., N[t
n-1
,t
n
] : adalah independent
Nt
1
,t
2
= Nt
2
-t
1
tidak tergantung pada Nt
1
ii Untuk sembarang t dan bilangan positif h, probabilitas dari Nt,t+h
hanya tergantung pada panjang interval h dan tidak pada t, Homogenitas dalam waktu.
P
k
t = probabilitas banyak kejadianperistiwa yang terjadi selama waktu t atau dalam selang waktu t
1
, t
1
+t untuk setiap nilai t
1.
iii Terdapat suatu konstan λ, sehingga probabilitas paling tidak satu
kejadian dalam interval dengan panjang h adalah :
P[Nt,t+h≥1] = λh + oh, h →0 Nt
1
t
1
t
2
Nt
1
,t
2
= Nt
2
-t
1
t t
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 95
iv Probabilitas dua atau lebih kejadian yang terjadi dalam interval
dengan panjang h adalah Oh atau : P[Nt,t+h≥2] = Oh, h →0
Perhatikan bahwa berdasarkan i dan ii, distribusi dari N[s,t] adalah sama seperti N[0,t-s]. Selanjutnya untuk menggambarkan distribusi probabilitas dari
sistem, cukup ditentukan probabilitas dari N[0,t] untuk sembarang nilai t. Jika P
k
t = P[N0,t]=k], maka berdasarkan i - iv, P
k
t berdistribusi Poisson, yaitu :
P
k
t = k
e t
t k
λ
λ
−
, k = 0, 1,2, ...
Dengan E[Nt] = λ t Var [Nt] = λ t
Contoh 1. Jika kedatangan orang ke suatu Bank mengikuti proses Poisson dengan rata-rata
20 orang tiap menit, maka : i
Probabilitas dalam selang waktu 1 jam 60 menit ada sebanyak 100 orang yang dating adalah :
PN60=100 =
100 e
60 20
60 .
20 100
−
Dengan Nt menyatakan banyaknya suatu peristiwa yang terjadi pada interval waktu 0,t, dengan kata lain Nt menyatakan banyaknya
peristiwa yang terjadi selama waktu t.
ii Probabilitas ada 50 orang datang dalam interval waktu 10.00 – 10.15 jika
diketahui bahwa antara interval waktu 9.00 – 10.00 ada 100 orang yang datang adalah :
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 96
PN15=50 |N60=100 = PN15=50 ; karena sifat independent Akibatnya :
PN15=50 =
50 e
15 20
15 .
20 50
−
Contoh 2. Kedatangan pelanggan {Xt} dalam sebuah swalayan diasumsikan mengikuti
proses Poisson dengan rate λ=4 per jam. Apabila swalayan buka pukul 09.00 maka probabilitas tepat satu pelanggan datang pada 09.30 dan total 5 pelanggan
pada 11.30 adalah …. satuan waktu : jam , 30 menit = ½ jam, 09.00 – 11.30 = 2½ jam , maka :
PX½ =1 dan X2½= 5 = PX½=1 dan X2½-X½=4 = PX½=1 . PX2½-X½=4
=
4 e
2 .
4 1
e 2
1 .
4
2 .
4 4
2 1
. 4
1 −
−
=
0154965 ,
e 3
1024 e
3 8
e 2
10 8
3 2
= =
− −
−
Dekomposisi Proses Poisson
Suatu pilihan acak dari suatu proses Poisson menghasilkan proses Poisson. Seandainya Nt=banyaknya peristiwa E yang terjadi dalam interval t,
adalah proses Poisson dengan parameter λ. Sedangkan terjadinya peristiwa E akan tercatat mempunyai probabilitas p, dan tercatatnya suatu kejadian
adalah independen dengan kejadian yang lain, juga terhadap Nt. Jika Mt banyaknya kejadian yang tercatat dalam selang waktu t, maka Mt
juga merupakan proses Poisson dengan parameter λp. Bukti :
Peristiwa Mt=n dapat terjadi seperti berikut
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 97
A
r
=peristiwa E terjadi n+r sampai dengan waktu t dan tepat n diantara n+r kejadian tercatat, probabilitas setiap kejadian tercatat adalah p, sedang
r =0,1,2,... PA
r
=Pperistiwa E terjadi n+r kali sampai dengan waktu t Pn kejadian tercatat bila diketahui banyaknya kejadian adalah n+r :
=
r n
r n
t
q p
r n
r n
t e
+
+ −
λ
λ
Maka PMt=n=
∑
∞ =0
r r
A P
=
∑
∞ =
+ −
+
+
r r
n r
n t
q p
n r
n r
n t
e
λ
λ
=
∑
∞ =
− r
r n
t
r n
qt pt
e λ
λ
λ
=
∑
∞ =
− r
r n
t
r qt
n pt
e λ
λ
λ
=
qt n
t
e n
pt e
λ λ
λ
−
=
n pt
e
n q
1 t
λ
λ
− −
=
n pt
e
n pt
λ
λ
−
≈ Poisson dengan parameter λp.
Contoh. Seandainya banyaknya kelahiran di suatu rumah sakit mengikuti distribusi
poisson dengan parameter λ. Bila seorang bayi akan lahir probabilitasnya laki- laki adalah p, maka banyaknya kelahiran laki-laki di rumah sakit itu mengikuti
distribusi poisson dengan parameter λp disini kejadian yang tercatat adalah kelahiran laki-laki. Tentunya banyaknya kelahiran wanita di rumah sakit itu
mengikuti distribusi Poisson dengan parameter λ1-p. Dari contoh ini dapat
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 98
ditarik kesimpulan secara umum jika Nt proses Poisson dengan parameter λ dapat didekomposisi menjadi r macam proses Poisson dan p
1
, p
2
, ..., p
r
probabilitas pendekomposisian menjadi r macam proses Poisson yang independen, maka proses Poisson Nt terdekomposisi menjadi r proses Poisson
yang independen dengan parameter λp
1,
λp
2
, ..., λp
r
, di mana p
1
+p
2
+...+p
r
= 1.
Contoh 3. Suatu sumber radioaktif memancarkan partikel dengan rata-rata 5 partikel
permenit sesuai dengan proses Poisson. Tiap partikel yang dipancarkan mempunyai probabilitas 0,6 untuk dicatat. Variabel acak Nt menyatakan
banyaknya partikel yang tercatat selama selang waktu t. Tentukan probabilitas bahwa ada 10 partikel yang tercatat selam selang waktu 4 menit
Penyelesaian : Diketahui : p=0,6, t=4 menit , λ= 5 .0,6=3
Ditanya : PN4=10 = ...? PN4=10 =
k t
e
k t
λ
λ
−
=
104 ,
10 4
. 3
e
10 4
. 3
=
−
Contoh 4. Karyawan pada penerbit majalah bagian langganan mencatat rata-rata 6
langganan baruhari, dan banyaknya langganan baru yang mendaftarkan diri perhari mengikuti proses Poisson. Setiap langganan baru akan menjadi
langganan selama 1 tahun atau 2 tahun dengan probabilitas
3 2
dan
3 1
. Jika karyawan itu akan mendapatkan bonus a rupiah untuk setiap langganan 1 tahun
dan b rupiah untuk langganan 2 tahun, maka tentukan harapan besarnya bonus yang akan diterima selama selang waktu t hari?
Penyelesaian :
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 99
Nt = banyak langganan yang mendaftar selama selang waktu t Nt berdistribusi poisson dengan E[Nt]=λt = 6t
N
1
t = banyak langganan yang mendaftar untuk 1 tahun dalam selang waktu t tahun
N
2
t = banyak langganan yang mendaftar untuk 2 tahun dalam selang waktu t tahun
Sehingga terdapat hubungan Nt=N
1
t + N
2
t N
1
t mengikuti proses Poisson dengan parameter 6 .
3 2
=4. Jadi N
1
t mempunyai mean = EN
1
t= 4t N
2
t mempunyai mean = EN
2
t= 6 .
3 1
=2t. Bila Xt = besarnya bonus yang diterima selama selang waktu t, ini berarti :
Xt = a N
1
t + b N
2
t EXt = Ea N
1
t + b N
2
t = a E[N
1
t] + b E[N
2
=t] = a 4t + b 2t
4.2. Distribusi-distribusi yang Berhubungan dengan Proses Poisson
Kategori