Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 17
Hypergeometrik
− −
= n
N x
n M
N x
M x
f
-
N nM
,
− −
−
1 1
N n
N N
M N
nM
Poisson
x e
x f
x
λ
λ −
=
; x = 0, 1, 2, ...
1 −
t
e
e
λ
λ , λ Diskret uniform
N x
f 1
=
; x = 1,2, ...,N
t N
t t
e e
e N
− −
−
1 .
1
1
2 1
+ N
,
12 1
2
− N
Uniform kontinu
a b
x f
− =
1
; a x b
t a
b e
e
at bt
− −
2 b
a +
,
12
2
a b
−
Normal
2
2 1
2 1
−
−
=
σ µ
σ π
x
e x
f
;- ∞x∞
2 2
2 1
t t
e
σ µ
+
µ , σ
2
Gamma
θ α
α
α θ
x
e x
x f
− −
Γ =
1
1
; 0x ∞
α
θ
− t 1
1
αθ , αθ
2
Eksponensial
θ
θ
x
e x
f
−
= 1
; x 0
t 1
1
θ
−
θ , θ
2
1.4. Distribusi Bersyarat Conditional Distribution
Dalam mempelajari suatu proses stokastik, kita sering menjumpai distribusi probabilitas bersyarat suatu variabel random termasuk pula ekspektasi bersyarat variabel
random tersebut
Definisi :
Distribusi probabilitas bersyarat variabel random X
1
dan X
2
dengan fungsi probabilitas bersama fx
1
, x
2
didefinisikan sebagai : ,
|
1 2
1 1
2
x f
x x
f x
x f
= ; fx
1
fx
2
|x
1
sering disebut sebagai distribusi probabilitas dari X
2
apabila diberikan X
1
= x
1
. Dengan definisi yang serupa diperoleh distribusi probabilitas bersyarat X
1
apabila diberikan X
2
= x
2
sebagai :
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 18
2 ,
|
2 1
2 1
x f
x x
f x
x f
=
; fx
2
Pada kasus kontinu, probabilitas bersyarat kejadian berbentuk [a ≤ x
2
≤ b] apabila diberikan X
1
= x
1
adalah : P[a
≤ x
2
≤ b | X
1
= x
1
] =
∫
b a
dx x
x f
2 1
2
|
=
∫
b a
dx x
f x
x f
2 1
2 1
,
=
∫ ∫
∞ ∞
− 1
2 1
2 2
1
, ,
dx x
x f
dx x
x f
b a
Perhatikan bahwa distribusi probabilitas bersyarat fx
2
|x
1
memenuhi suatu fungsi distribusi probabilitas meliputi :
i ,
|
1 2
1 1
2
≥ =
x f
x x
f x
x f
ii
∫ ∫
∞ ∞
− ∞
∞ −
=
2 1
2 1
2 1
2
, |
dx x
f x
x f
dx x
x f
=
∫
∞ ∞
− 2
2 1
1
, 1
dx x
x f
x f
=
1 1
1 1
= x
f x
f
Contoh : Distribusi probabilitas bersama antara X dan Y diberikan oleh tabel berikut.
x y
1 PY=y
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 19
25 4
25 6
25 10
1
25 6
25 9
25 15
PX=x
25 10
25 15
1
Probabilitas bersyarat diberikan oleh :
PX=x|Y=0 =
, =
= =
Y P
Y x
X P
=
= =
= =
= =
= =
1 ;
, 1
; ,
x Y
P Y
X P
x Y
P Y
X P
=
= =
= =
= =
1 ;
5 3
10 6
25 10
25 6
; 5
2 10
4 25
10 25
4
x x
PX=x|Y=1 =
1 1
, =
= =
Y P
Y x
X P
=
= =
= =
= =
= =
1 ;
1 1
, 1
; 1
1 ,
x Y
P Y
X P
x Y
P Y
X P
=
= =
= =
= =
1 ;
5 3
15 9
25 15
25 9
; 5
2 15
6 25
15 25
6
x x
Dengan cara serupa coba tentukan : 1. PY=y|X=0
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 20
2. PY=y|X=1
Definisi :
Misalkan X dan Y variabel random yang didefinisikan pada suatu ruang probabilitas Ω,F,P dan h suatu fungsi yang terukur Borel. Asumsikan bahwa Ehx ada.
Ekspektasi bersyarat hx apabila diberikan Y=y ditulis dengan simbol Ehx|y didefinisikan sebagai :
Ehx|y =
=
= =
∫ ∑
∞ ∞
−
fy dan
kontinu y
x, jika
; dx
| y
PY dan
diskret y
x, jika
; |
y x
f x
h y
Y x
X P
x h
x
Sifat-sifat Ekspektasi Bersyarat :
i Ec|y = c ; c konstanta
ii Eax + b|y = aEx|y + b ; a, b konstanta
iii Jika x ≥ 0 maka Ex|y ≥ 0
iv Jika x
1
≥ x
2
maka Ex
1
|y ≥ Ex
2
|y v
Jika g
1
, g
2
fungsi-fungsi Borel dan Eg
1
x dan Eg
2
x ada, maka : E[a
1
g
1
x + a
2
g
2
x|y] = a
1
Eg
1
x|y + a
2
Eg
2
x Contoh :
Misalkan X,Y mempunyai distribusi probabilitas bersama fx,y = 2, 0 x y 1. Tentukan :
1. fx|y 2. fy|x
3. Ex|y 4. Ey|x
Penyelesaian :
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 21
1. fx|y = y
y dx
dx y
x f
y f
y x
f
y y
1 2
2 2
2 ,
2 ,
= =
= =
∫ ∫
; untuk 0 x y
2. fy|x = x
x dy
dy y
x f
x f
y x
f
x x
− =
− =
= =
∫ ∫
1 1
2 2
2 2
2 ,
2 ,
1 1
; untuk x y 1
3. Ex|y = 2
2 1
2 1
1 1
|
2 2
y y
y y
x y
dx y
x dx
y x
f x
y y
= −
=
=
=
∫ ∫
; 0 y 1
4. Ey|x = 2
1 1
1 2
1 1
2 1
1 1
1 1
|
2 2
1 1
x x
x x
y x
dy x
y dy
x y
f y
x x
+ =
− −
=
−
= −
=
∫ ∫
; 0 x1
Juga dapat dihitung Ex
2
|y dan Varx|y sebagai berikut : Ex
2
|y = 3
3 1
3 1
1 1
|
2 3
3 2
2
y y
y y
x y
dx y
x dx
y x
f x
y y
= −
=
=
=
∫ ∫
Varx|y = Ex
2
|y – [Ex|y]
2
= 12
4 3
2 2
2
y y
y =
− ; 0 y 1
Sifat-sifat lain Ekspektasi Bersyarat
a. Jika Ehx ada, maka
Ehx = E[Ehx|y], khusus untuk hx = x diperoleh Ex = E[Ex|y] b.
Jika Ex
2
∞ maka Varx = Var[Ex|y] + E[Varx|y] c.
Jika Ex
2
∞ maka Varx ≥Var[Ex|y]
Perhatikan bahwa jika X
1
dan X
2
variabel random dengan fungsi probabilitas bersama fx
1
,x
2
dan fungsi marginal masing-masing fx
1
dan fx
2
, maka :
fx
1
,x
2
= fx
1
. fx
2
|x
1
= fx
2
. fx
1
|x
2
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 22
Jika x
1
dan x
2
independen, maka fx
2
|x
1
= ,
2 1
2 1
1 2
1
x f
x f
x f
x f
x f
x x
f =
=
fx
1
|x
2
= ,
1 2
2 1
2 2
1
x f
x f
x f
x f
x f
x x
f =
=
Contoh : Diberikan fungsi probabilitas bersama X dan Y, dengan :
fx,y = x + y ; 0 x 1, 0 y 1 fy|x =
2 1
1 2
1 y
x ,
,
2 1
1
+ +
= +
+ =
+ +
= +
=
∫ ∫
x y
x y
xy y
x dy
y x
dy y
x f
y x
x f
y x
f ; 0 y 1
Bila diinginkan menghitung P[0 y ½ |x = ¼ ] maka : P[0 y ½ |x = ¼ ] =
∫
=
5 ,
25 ,
| dy
x y
f
=
+
= +
+
∫
5 ,
5 ,
25 ,
3 4
5 ,
25 ,
25 ,
2 5
,
y y
dy y
=
3 1
4 1
3 4
125 ,
125 ,
3 4
= =
+
Beberapa Hal Penting Lain
Misalkan X variabel random vektor berdimensi k dan g fungsi terukur bernilai real, didefinisikan pada R
k
sedemikian sehingga gx merupakan suatu variabel random. Jika c 0, maka :
P[gx ≥ c] ≤
2 2
] [
c x
g E
Kasus Khuus
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 23
1. Misalkan X variabel random dan dengan mengambil gx = x - µ
r
; µ=EX, r 0;
maka : P[
x - µ≥ c] = P[x - µ
r
≥ c
r
] ≤
r r
c x
E µ
−
2. Misalkan X variabel random dan dengan memasangkan gx = x - µ
2
, µ = EX
maka :
[ ]
[ ]
2 2
2 2
c x
E c
x P
c x
P µ
µ µ
− ≤
≥ −
= ≥
−
[ ]
2
c x
Var c
x P
≤ ≥
−
µ
[ ]
2 2
c c
x P
σ µ
≤ ≥
− Bila c = k
σ, ketaksamaan Chebyshev dalam penentuan selang kepercayaan Confidence Interval CI akan diperoleh sebagai berikut :
[ ]
2
1 k
k x
P ≤
≥ −
σ µ
Laws of The Large Number LLN
Konsep penting dalam LLN Hukum Bilangan Besar adalah Strong Laws of The Large Number SLLN dan Weak Laws of The Large Number WLLN.
Teorema SLLN
Jika x
j
, j = 1, 2, ..., n identik independen iid dengan mean berhingga
µ maka : ∞
→ →
+
+ +
= n
, ...
2 1
µ
as n
n
n x
x x
x
Teorema WLLN
Jika x
j
, j = 1, 2, ..., n identik independen iid dengan mean berhingga
µ maka :
∞ →
→
+ +
+ =
n ,
...
2 1
µ
P n
n
n x
x x
x Ketaksamaan Markov
Ketaksamaan Chebyshev
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 24
Central Limit Theorem CLT Teorema Limit Pusat
Teorema CLT
Misalkan x
1
, x
2
, ..., x
n
variabel random iid dengan mean
µ ∞ dan variansi σ
2
∞, misalkan pula :
≤ −
= x
x n
P x
G
n n
σ µ
dan dt
e x
x t
∫
∞ −
−
= Φ
2
2
2 1
π Maka :
ℜ ∈
Φ →
x
, x
x G
d n
Teorema Slutsky Jika
x X
d n
→
dan
c Y
d n
→
, n → ∞ , c ≠ 0 maka :
i
∞ →
+ →
+
n ,
c x
Y X
d n
n
ii
∞ →
→
n ,
cx Y
X
d n
n
iii ∞
→ →
n
, c
x Y
X
d n
n
Contoh soal 1.
Pada suatu pesta datang n orang, masing-masing menyerahkan satu sapu tangan diletakkan di keranjang. Setelah semua sudah menyerahkan sapu tangan, masing-
masing dengan mata tertutup mengambil satu sapu tangan dari dalam keranjang itu. Jika X menyatakan banyaknya orang yang mengambil sapu tangannya sendiri,
berapakah EX dan VarX ?
Penyelesaian : Bila X menyatakan banyaknya orang yang mengambil sapu tangannya sendiri, dan
didefinisikan : X
i
=
lain orang
n sapu tanga
mengambil i
- ke
orang ;
sendiri nnya
sapu tanga mengambil
i -
ke orang
; 1
Maka X =
∑
= n
i i
X
1
; PX
i
= 1 =
n 1
dan PX
i
= 0 = 1-
n 1
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 25
EX
i
= 1. PX
i
=1 + 0. PX
i
= 0 =
n 1
VarX
i
= EX
i 2
– [EX
i
]
2
=
n 1
-
2
1 n
=
2
1 n
n −
CovX
i
, X
j
= EX
i
X
j
– [EX
i
EX
j
] dengan X
i
X
j
=
demikian tidak
jika ;
sendiri nnya
sapu tanga mengambil
keduanya ;
1
EX
i
X
j
= 1. PX
i
=1,X
j
=1 + 0. PX
i
=1,X
j
=0 atau X
i
=0,X
j
=1 atau X
i
=0, X
j
=0 = PX
i
= 1. PX
j
=1 | X
i
=1 = 1.
n 1
.
1 1
− n
= 1
1 −
n n
CovX
i
, X
j
= 1
1 −
n n
-
2
1 n
=
1 1
2
− n
n
Maka EX = E
∑
= n
i i
X
1
=
∑
= n
i i
X E
1
=
n n
n
n i
1 .
1
1
=
∑
=
= 1 dan
VarX = Var
∑
= n
i i
X
1
=
∑
= n
i i
X Var
1
+ 2
∑∑
j i
j i
X X
Cov ,
= n .
2
1 n
n −
+ 2
2
n
1 1
2
− n
n
=
n n 1
−
+ nn-1.
1 1
2
− n
n
= 1
Jadi EX = 1 dan VarX = 1
2. Sebuah kotak berisi n bola putih dan m bola hitam. Diambil k bola sekaligus dari
kotak tersebut. Jika X menyatakan banyaknya bola putih yang terambil, tentukan : a.
PX=i, untuk i = 0, 1, ..., k b.
EX
Penyelesaian :
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 26
a. Banyak ruang sampel : n Ω =
+
k m
n
Banyak bola putih dari k bola yang terambil nX=i =
i
n
− i
k m
Maka PX=i =
+
−
= Ω
= k
m n
i k
m i
n n
i X
n
b. EX =
+
−
∑
=
k m
n i
k m
i n
i
k i 0
=
∑ ∑
∑
− =
− −
= −
=
− −
+
−
− −
+ =
− −
+ +
−
−
− =
+
−
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
k i
k i
k i
k m
n i
k m
i n
m n
nk k
m n
k m
n i
k m
i n
i n
i k
m n
i k
m i
n i
=
m n
nk +
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 27
Soal Latihan
1. Diketahui fungsi distribusi sebagai berikut : Fx =
≥
≤
1 x
; 1
1 ;
;
3
x x
x
Tentukan : a.
Grafik plot dari Fx b.
Fungsi densitas fungsi probabilitas fx c.
Nilai P ¼ ≤ X ≤ ¾
2. Suatu varibel random X mempunyai fungsi densitas fx =
≤
≤ −
≤ ≤
lainnya ;
2 1
; 2
1 ;
x x
x x
x
Tentukan fungsi distribusi, mean dan varians dari X tersebut
3. Sebuah uang setimbang dilemparkan sampai muncul sisi sama dua kali berturutan
untuk pertama kalinya. Bila N menyatakan jumlah lemparan yang diperlukan, tentukan :
a. Tentukan fungsi probabilitas untuk N
b. Bila A menyatakan kejadian bahwa N genap dan B menyatakan kejadian
bahwa N ≤ 6, maka tentukan PA, PB dan PAB
4. Variabel random X dan Y saling independent dengan fungsi kepekatan probabilitas
sebagai berikut : P
x
0 = ½ ; P
x
3 = ½ ; P
y
1 =
6 1
; P
y
2 =
3 1
; P
y
3 = ½ Tentukan fungsi kepekatan probabilitas P
z
z, untuk Z = X + Y
5. Bila X adalah variabel random yang berdistribusi eksponensial dengan parameter λ.
Tentukan mean dari X.
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 28
BAB II PROSES STOKASTIK
Kompetensi Dasar : Mahasiswa
membedakan macam-macam spesifikasi Proses Stokastik
Tujuan Pembelajaran :
1. Memahami pengertian proses stokastik. 2. Menguraikan spesifikasi proses stokastik menurut sifat state space dan parameter spacenya
2.1. Pengertian Proses Stokastik
Sejak dahulu pemanfaatan model yang menggunakan probabilitas lebih disenangi dibanding model yang deterministik. Pengamatan dilakukan pada saat-saat yang berbeda,
tidak dilakukan pada suatu periode waktu tertentu, sehingga menyangkut masalah probabilitas. Banyak fenomena fisika, sosial, teknik dan manajemen saat ini diselidiki
merupakan fenomena yang random dengan suatu probabilitas.
Proses Stokastik Stochastic Processes adalah himpunan variabel random yang merupakan fungsi dari “waktu” time. Parameter “waktu” disini diartikan dalam arti
luas. Proses stokastik sering juga disebut Proses Random Random Processes.
Perhatikan contoh berikut : Contoh 1. Sebuah dadu dilempar
i Seandainya variabel random X
n
menyatakan hasil lemparan ke-n, n 1, maka {X
n
, n 1} merupakan himpunan variabel random, untuk n yang berbeda akan didapat variabel random yang berbeda X
n
, ini membentuk proses stokastik. ii
Seandainya Y
n
= banyaknya “enam” yang tampak dalam n lemparan pertama. Tiap nilai n akan menghasilkan variabel random Y
n
yang berbeda yaitu Y
1
= {0, 1}, Y
2
={0,1,2}, Y
3
={0,1,2,3} dan seterusnya, jadi {Y
n
, n 1}merupakan himpunan variabel random, ini juga merupakan proses stokastik.
iii Bila Z
n
menyatakan banyak titik yang tampak maximum selama n lemparan pertama, {Z
n,
n ≥ 1} juga merupakan proses stokastik.