Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 14
vi
∑∑ ∑
∑
= =
= =
=
n i
j i
m j
j i
n i
m j
j j
i i
Y X
b a
Y a
X a
ov
1 1
1 1
, Cov
, C
1.3. Fungsi Pembangkit Momen Moment Generating Function – MGF
Suatu nilai khusus dari ekspektasi yang sangat berguna dalam pengembangan teori dan aplikasi statistika adalah MGF.
Definisi :
Jika X variabel random, maka nilai harapan :
M
x
t = E e
tx
=
∫ ∑
∞ ∞
− =
kontinu X
; diskret
X ;
1
dx x
f e
e
tx n
i tx
i
dinamakan MGF dari X, jika nilai harapan ini ada untuk –h t h, h 0. Perhatikan bahwa jika kita mengekspansi fungsi e
tx
ke dalam Deret Maclaurin, akan diperoleh M
x
t =
∑
∞ =
+
1 r
r
r Ex
t 1
r
Selanjutnya juga diperoleh hubungan : i
dx x
f e
x t
M
tx x
1
∫
∞ ∞
−
=
dan
EX
1
= =
∫
∞ ∞
−
dx x
f x
M
x
ii
dx x
f e
x t
M
tx x
2 2
∫
∞ ∞
−
=
dan
EX
2 2
2
= =
∫
∞ ∞
−
dx x
f x
M
x
r
dx x
f e
x t
M
tx r
r x
∫
∞ ∞
−
=
dan
EX
r
= =
∫
∞ ∞
−
dx x
f x
M
r r
x
Apabila sekarang diberikan kuantitas : Rt = ln M
x
t
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 15
Diperoleh :
1 1
t M
t M
t R
x x
= dan
µ =
= =
=
1 1
1
X E
M M
M R
x x
x
; M
x
0 = Ee = 1
[ ]
[ ]
2 2
1 2
2
t M
t M
t M
t M
t R
x x
x x
− =
dan
[ ]
[ ]
2 2
1 2
2 x
x x
x
M M
M M
R −
=
=
[ ]
2 2
1 2
1 .
1
x x
M M
−
= EX
2
– [EX]
2
= σ
2
Sifat-sifat MGF : Jika X variabel random , a suatu konstanta, Y
1
= aX, dan Y
2
= aX + b, maka :
1
at M
t M
t M
X aX
Y
= =
2
at M
e t
M t
M
X bt
b aX
Y
= =
+
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 16
Momen Faktorial dan Factorial Moment Generating Function FMGF
Definisi :
Jika X variabel random maka Momen Faktorial ke-r dari X didefinisikan sebagai : E[XX-1X-2 ...X-r+1]
sedangkan FMGF dari X didefinisikan sebagai : G
x
t = Et
x
FMGF juga sering diberi nama Probability Generating Function PGF. Perhatikan bahwa :
G
x
t = Et
X
= Ee
X ln t
= M
x
ln t.
Apabila G
x
t diturunkan terhadap t, didapat :
1 1
−
=
X x
t X
E t
G
dan
1
1 1
X E
t X
E G
X x
= =
−
1 -
X
2 2
−
=
X x
t X
E t
G
dan
1 -
X 1
2
X E
G
x
=
1 r
- ..X
. 1
- X
1 +
= X
E G
r x
Tabel 3. Ringkasan MGF Beberapa Fungsi Distribusi Probabilitas Diskret dan Kontinu
Distribusi Fungsi Probabilitas
fx MGF
Mean dan Variansi
Bernoulli
x x
p p
x f
−
− =
1
1
; x = 0,1
q pe
t
+
p, pq Binomial
x n
x
p p
x n
x f
−
−
=
1
; x = 0, 1, ..., n
[ ]
n t
q pe
+
np, npq
Binomial Negatif
r x
r
p p
r x
x f
−
−
−
− =
1 1
1
;x = r, r+1, ...
r t
qe p
− 1
p r
,
2
p rq
Geometrik
1 −
=
x
pq x
f
; x = 1, 2, ...
t
qe p
− 1
p 1
,
2
p q
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 17
Hypergeometrik
− −
= n
N x
n M
N x
M x
f
-
N nM
,
− −
−
1 1
N n
N N
M N
nM
Poisson
x e
x f
x
λ
λ −
=
; x = 0, 1, 2, ...
1 −
t
e
e
λ
λ , λ Diskret uniform
N x
f 1
=
; x = 1,2, ...,N
t N
t t
e e
e N
− −
−
1 .
1
1
2 1
+ N
,
12 1
2
− N
Uniform kontinu
a b
x f
− =
1
; a x b
t a
b e
e
at bt
− −
2 b
a +
,
12
2
a b
−
Normal
2
2 1
2 1
−
−
=
σ µ
σ π
x
e x
f
;- ∞x∞
2 2
2 1
t t
e
σ µ
+
µ , σ
2
Gamma
θ α
α
α θ
x
e x
x f
− −
Γ =
1
1
; 0x ∞
α
θ
− t 1
1
αθ , αθ
2
Eksponensial
θ
θ
x
e x
f
−
= 1
; x 0
t 1
1
θ
−
θ , θ
2
1.4. Distribusi Bersyarat Conditional Distribution
