Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 53
3.5 MATRIKS TRANSISI
Misalkan sekarang, ruang state S berhingga. S={0,1,...,d}. Matriks transisi P dengan ukuran d+1xd+1 diberikan oleh :
0 1 d
P =
, 1
, ,
, 1
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
, 1
d d
P d
P d
P d
P P
P d
P P
P
d
Sedang matriks transisi 2 langkah diberikan oleh :
P
2
x,y =
∑
∈S z
y ,
z P
z ,
x P
; S={x , x
1
, x
2
, ..., x
n
}
P
2
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
z n
n z
1 n
z n
z n
1 z
1 1
z 1
z n
z 1
z
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
x ,
z P
z ,
x P
n 1
= P. P
Matriks transisi m langkah dalam matriks dinyatakan sebagai :
=
dd d
d d
d d
d
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
d d
2 1
2 22
21 20
1 12
11 10
02 01
00
2 1
P 2
1
=
m
33 32
31 30
23 22
21 20
13 12
11 10
03 02
01 00
3 2
1 P
3 2
1
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 54
Perhatikan bahwa dari persamaan i PX
n
=y=
∑
x n
x y
π x,
P
Jika distribusi awal π merupakan vektor baris dengan dimensi d+1, yaitu :
π = π
0, π 1,..., π
d
Maka diperoleh : π
n
= π P
n
Dengan π
n
= PX =0, PX
=1, ... , PX =d adalah vektor baris berukuran d+1.
Dari persamaan ii PX
n+1
,y =
∑
=
x n
x yPX
Px,
, memberikan : π
n+1
= π
n
P Contoh :
Diberikan rantai Markov dua state dengan matriks transisi P =
−
− q
1 q
p p
1 ;
p+q0. Bila π 0 =1 dan π
1 =0 PXn=0=
+ −
− −
+ +
q p
q q
p q
p q
n
1 π
= q
p p
q p
1 q
p q
n
+ −
− +
+ PXn=1=
+ −
− −
+ +
q p
p 1
q p
1 q
p p
n
π =
q p
p q
p 1
q p
p
n
+ −
− −
+ Maka diperoleh :
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 55
P
n
0,0 = P X
n
=0 = q
p p
q p
1 q
p q
n
+ −
− +
+
P
n
0,1 = P X
n
=1 = q
p p
q p
1 q
p p
n
+ −
− −
+ P
n
1,0 = P
1
X
n
=0 = q
p q
q p
1 q
p q
n
+ −
− −
+ P
n
1,1 = P
1
X
n
=1 = q
p q
q p
1 q
p p
n
+ −
− +
+ Akhirnya diperoleh :
P
n
=
− −
+ −
− +
+ q
q p
p q
p q
p 1
p q
p q
q p
1
n
Contoh 1 : Diberikan rantai Ehrenfest dengan S={0,1,2,3} dan distribusi awal π
= ¼, ¼,¼,¼ dan matriks transisi P.
Maka :
π
1
= π P = ¼, ¼,¼,¼
1 3
1 3
2 3
2 3
1 1
=
12 1
12 5
12 5
12 1
π
2
= π
1
P =
12 1
12 5
12 5
12 1
1 3
1 3
2 3
2 3
1 1
=
36 5
36 13
36 13
36 5
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 56
π
2
= π
1
P = π P
2
= ¼, ¼,¼,¼
1 3
1 3
2 3
2 3
1 1
1 3
1 3
2 3
2 3
1 1
=
12 1
12 5
12 5
12 1
1 3
1 3
2 3
2 3
1 1
=
36 5
36 13
36 13
36 5
Contoh 2: Diketahui rantai Markov dengan S={0,1,2} dan matriks transisi 1-langkah :
0 1 2
P =
−
1 p
p 1
1 2
1
Buktikan bahwa P
4
= P
2
P
2
= P P =
−
1 p
p 1
1
−
1 p
p 1
1 =
− −
p p
1 1
p p
1
P
4
= P
2
P
2
=
−
− p
p 1
1 p
p 1
− −
p p
1 1
p p
1 =
− −
p p
1 1
p p
1 = P
2
Terbukti P
4
= P
2
P
3
= P P
2
=
−
1 p
p 1
1
−
− p
p 1
1 p
p 1
=
−
1 p
p 1
1 = P
Maka dapat dinyatakan bahwa :
= genap
n untuk
; P
ganjil n
untuk P;
P
2 n
X
1
X
2
X
3
X
4
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana Halaman 57
Contoh 3.
P
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
X X
X X
X atau
X X
X X
X atau
X X
X X
X atau
X X
X X
X
3 1
2 1
4 3
1 2
1 4
3 1
2 1
4 3
1 2
1 4
PX
4
, X
2
P
X2
T
X3
=3 = P
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
X X
X X
X atau
X X
X X
X atau
X X
X X
X atau
X X
X X
X
3 2
2 2
4 3
1 2
2 4
3 1
1 2
4 3
2 1
2 4
Jadi P
X4
T
X3
=4 = PX
4
, X
1
P
X1
T
X3
=3 + PX
4
, X
2
P
X2
T
X3
=3
3.6 SIFAT-SIFAT STATE DARI SUATU RANTAI MARKOV
Kategori