6
penjernihan air yang terkontaminasi logam berat dapat dipandang sebagai kasus predator-prey dengan bakteri Bacillus subtilis sebagai predator dan
logam pencemar sebagai prey. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai pemanfaatan bakteri Bacillus subtilis dalam penjernihan air dengan
menggunakan pemodelan matematika dan menganalisis kestabilan model matematika yang telah dibentuk.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang diperoleh rumusan masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana
model matematika
pada penjernihan
air yang
terkontaminasi logam berat dengan menggunakan bakteri Bacillus subtilis?
2. Bagaimanakah analisis kestabilan dari model matematika pada
penjernihan air yang terkontaminasi logam berat dengan menggunakan bakteri Bacillus subtilis?
C. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Membentuk model matematika pada penjernihan air yang
terkontaminasi logam berat dengan menggunakan bakteri Bacillus subtilis.
2. Menganalisis kestabilan dari model matematika pada penjernihan air
yang terkontaminasi logam berat dengan menggunakan bakteri Bacillus subtilis.
7
D. Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:
1. Manfaat Teoritis
Bagi penulis, peneliti, dan masyarakat pada umumnya penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan dan pengetahuan, serta dapat
menjadi referensi mengenai model predator-prey pada penjernihan air dengan mikroorganisme khususnya bakteri Bacillus subtilis.
2. Manfaat Praktis
Penelitian ini diharapkan dapat menjadi solusi dalam rangka mendukung proses penjernihan air yang tercemar logam berat dengan memanfaatkan
bakteri Bacillus subtilis.
8
BAB II KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang
mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi dan teorema. Adapaun materi-materi yang
digunakan yaitu sistem persamaan differensial, model predator-prey Lotka- Voltera, fungsi respon, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan nonlinear,
nilai eigen, vektor eigen, analisis kestabilan dan orbit periodik.
A. Persamaan Differensial
Definisi 2.1 Ross, 1989:1
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang menyertakan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Berdasarkan banyaknya variabel bebas yang disertakan dalam persamaan, persamaan differensial diklasifikasikan menjadi dua jenis yaitu persamaan
differensial biasa dan persamaan differensial parsial.
Definisi 2.2 Ross, 1989:2
Persamaan differensial biasa adalah suatu persamaan differensial yang menyertakan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel
bebas.
9
Contoh 2.1
Contoh dari persamaan differensial biasa.
+ −
= .
+ +
= sin .
Persamaan 2.1 merupakan persamaan differensial orde dua dan persamaan 2.2 merupakan persamaan differensial orde tiga. Variabel y pada Persamaan 2.1
merupakan variabel tak bebas sedangkan variabel x merupakan variabel bebas tunggal sedangkan pada persamaan 2.2 variabel y merupakan variabel tak bebas
dan variabel t merupakan variabel bebas.
Definisi 2.3 Ross, 1989:2
Persamaan differensial parsial adalah persamaan differensial yang menyertakan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel
bebas.
Contoh 2.2
Contoh dari persamaan differensial parsial, �
� + �
� = .
� � +
� � +
� � = .
10
Persamaan 2.3 merupakan persamaan differensial orde satu dan persamaan 2.4 merupakan persamaan differensial orde dua. Pada persamaan 2.3 dan 2.4
variabel v merupakan variabel tak bebas sedangkan variabel x dan y pada persamaan 2.3 variabel x,y dan z pada persamaan 2.4 merupakan variabel bebas.
B. Sistem Persamaan Differensial
Kumpulan dari beberapa persamaan differensial disebut sistem persamaan differensial. Diberikan suatu sistem persamaan differensial sebagai berikut:
̇ = , , , … ,
�
, ̇ =
, , , … ,
�
, ̇ =
, , , … ,
�
, .
̇
�
=
�
, , , … ,
�
Sistem 2.5 dapat ditulis menjadi ̇ =
. dengan,
vektor =
, , , … ,
� �
∈ , ⊆ ℝ
�
. : → ℝ
�
dengan =
, , , … ,
� �
dan ∈
′
. Sistem persamaan differensial pada dasarnya terbagi menjadi sistem persamaan differensial linear dan sistem persamaan
differensial nonlinear.
1. Sistem persamaan differensial linear
11
Secara umum bentuk sistem persamaan differensial orde satu dengan variabel tak bebas
, , , … ,
�
serta variabel bebas t dapat dinyatakan sebagai berikut, ̇ =
+ + +
� �
+ ̇ =
+ + +
� �
+ ̇ =
+ + +
� �
+
̇
�
=
�
+
�
+ +
�� �
+
�
. Jika
dengan = , , , … bernilai nol maka sistem 2.7 merupakan
sistem persamaan differensial linear homogen, sedangkan jika ≠ maka
sistem 2.7 merupakan sistem persamaan differensial linear nonhomogen Ross, 1989:285. Sitem 2.7 dapat ditulis dalam bentuk
̇ = +
.
dengan = [
�
], = [ …
�
� �
… ⋱
…
� ��
] dan = [
�
].
Jika = , maka didapatkan sistem persamaan linear homogen
̇ = .
dengan vektor =
, , , … ,
� �
dan A adalah matriks ukuran × yang
entri-entrinya adalah bilangan real.
Contoh 2.3
Contoh dari sistem persamaan diferensial linear homogeny, =
+ −
12
= −
+ .
= −
+ 2.
Sistem persamaan differensial nonlinear Sistem persamaan differensial dikatakan nonlinear jika ada persamaan
penyusunnya yang merupakan persamaan differensial nonlinear. Persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika persamaan diferensial tersebut
memenuhi paling sedikit satu dari kriteria berikut ini Ross, 1984: 6: a.
Memuat variabel tak bebas danatau turunan-turunannya berpangkat selain
satu. Contoh:
�� ��
= −
b. Terdapat perkalian pada variabel tak bebas danatau turunan-turunannya.
Contoh :
�� ��
= +
− c.
Terdapat fungsi yang memuat vaiabel tak bebas dan tidak dapat diperoleh melalui behingga operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian dan
perkalian fungsi transedental dari variabel tak bebas dan turunan- turunannya. Contoh:
�� ��
= + sin
Contoh 2.4
Contoh sistem persamaan differensial nonlinear, =
−
= − +
.
13
C. Model Matematika Predator-Prey Lotka-Voltera dan Fungsi Respon
