41
BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas dua buah model matematika. Model pertama digunakan pada sistem penjernihan air dengan keadaan air tidak mengalir dan
pemberian bakteri hanya dilakukan sekali namun ada pencemar logam yang terus menerus ditambahkan. Model ini yang selanjutnya akan disebut sebagai model
matematika penjernihan air tabung tertutup. Model kedua digunakan pada sistem penjernihan air dengan keadaan air mengalir sungai dan penambahan bakteri
dapat dilakukan sesuai kebutuhan yang dapat disebut sebagai model matematika penjernihan air tabung terbuka.
A. Model Matematika Penjernihan Air Tabung Tertutup dengan Fungsi
Respon Tak Monoton
Untuk mengkonstruksi model predator-prey penjernihan air tabung tertutup dengan fungsi respon tak monoton pada populasi B.subtilis predator dan Logam
berat prey maka diperlukan asumsi-asumsi sebagai berikut: 1.
Di dalam model ini hanya ada dua populasi yakni logam berat sebagai prey dan bakteri Bacillus subtilis sebagai predator.
2. Laju populasi logam berat dengan tidak adanya B.subtilis akan terus bertambah
mendekati eksponensial dan tak terbatas dengan angka pertambahan intrinsik dari logam berat 9 juta Ljam.
3. Persediaan makanan B.subtilis tergantung pada populasi logam berat.
42
4. Populasi logam berat di air akan menurun dan populasi B.subtilis akan
meningkat pada saat terjadinya interaksi antara logam dengan B.subtilis karena logam berat akan diserap oleh B.subtilis untuk kebutuhan pertumbuhannya dan
kemudian diendapkan. 5.
Laju pertumbuhan B.subtilis adalah 1.15 kalijam. 6.
Gerakan dan kontak B.subtilis dan logam berat berlangsung secara acak sehingga setiap logam berat memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.
7. Besar peningkatan populasi B.subtilis dengan adanya interaksi dengan logam
berat berbanding lurus dengan tingkat penurunan populasi logam berat akibat interaksi dengan B.subtilis
8. Pada konsentrasi tertentu logam berat dapat menurunkan tingkat toleransi
B.subtilis terhadap logam berat sehingga mengakibatkan kematian bakteri. Dari asumsi-asumsi di atas akan dibentuk model matematika predator-prey
pada kasus penjernihan air dengan menggunakan bakteri B.subtilis yang berperan sebagai predator pemangsa dan logam berat sebagai prey mangsa.
1. Pemodelan Dasar Predator-Prey Lotka Voltera Kasus B.subtilis-Logam
Berat
Berdasarkan asumsi 1 maka, dimisalkan : populasi B.subtilis pada saat waktu t mgL
: populasi logam berat pada saat waktu t mgL
43
a. Sesuai dengan asumsi ke-2 dimana laju populasi logam berat dengan tidak
adanya B.subtilis akan terus bertambah mendekati eksponensial dan tak terbatas dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
� �
= 3.1
b. Laju populasi B.subtilis dengan tidak adanya mangsa akan menurun
berdasarkan asumsi 3 sehingga dapat ditulis dengan bentuk sebagai berikut:
� �
= 3.2
dengan adalah angka kematian bakteri juta Ljam. c.
Seperti asumsi ke-4, setiap interaksi antara kedua populasi tersebut akan mengurangi populasi logam berat dengan laju sebesar
� dan meningkatkan populasi B.subtilis dengan laju sebesar
. �. Oleh sebab itu pengurangan logam berat sebanyak
� dan penambahan populasi B.subtilis sesuai dengan asumsi ke-5 dan ke-7 yaitu sebanyak
. � . sehingga persamaan 3.1 dan 3.2 berubah menjadi
� �
= − � 3.3
� �
= − + . �
44
2. Pemodelan Logam Berat-B.subtilis dengan Fungsi Respon Tak Monoton
Dari persamaan 3.3, � menyatakan representasi dari banyaknya mangsa
logam berat yang ditangkap pemangsa B.subtilis. Jika merupakan
fungsi respon mangsa, yaitu fungsi yang menyatakan banyaknya mangsa yang ditangkap pemangsa dengan memperhatikan banyaknya populasi mangsa,
maka dapat ditulis sebagai berikut, = �
Dan kemudian jika merupakan fungsi respon predator B.subtilis, yaitu
fungsi yang menyatakan banyaknya logam berat mangsa yang dapat dikonversi untuk pertumbuhan B.subtilis pemangsa dengan memperhatikan
banyaknya populasi , berikut : = . �
= . Diasumsikan bahwa
memenuhi asumsi berikut: a.
Ketika jumlah populasi mangsa logam berat sama dengan nol, maka banyak mangsa yang ditangkap pemangsapun B.subtilis nol.
b. Ketika jumlah mangsa lebih dari nol, maka selalu ada mangsa yang dapat
ditangkap oleh pemangsa. = , =
,∀ Berdasarkan asumsi ke-8 yaitu pada konsentrasi tertentu logam berat dapat
menurunkan tingkat toleransi B.subtilis terhadap logam berat sehingga
45
mengakibatkan kematian bakteri, maka diasumsikan ada M 0, dengan M merupakan batas pertahanan logam berat sehingga daya serap B.subtilis
menurun. Sehingga a.
Ketika banyak populasi logam berat kurang dari M maka banyak logam berat yang dapat diserap oleh B.subtilis terus meningkat.
b. Ketika banyak populasi logam berat lebih besar dari M maka banyak
logam berat yang dapat diserap oleh B.subtilis terus menurun. secara matematis dapat ditulis:
′
,
′
, Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, dapat dilihat bahwa fungsi respon yang
lebih cocok digunakan adalah jenis fungsi respon tak monoton yaitu fungsi respon tipe IV, sehingga
=
+
3.4 dan
= . =
. +
3.5
dengan menyatakan tingkat pertumbuhan maksimal mangsa logam berat
dan menyatakan konstanta half-saturation. Sehingga dari persamaan 3.4 dan 3.5 diperoleh sistem persamaan predator-
prey dengan fungsi respon tak monoton
46
� �
= − +
3.6
� �
= − + .
+ Untuk mengurangi banyaknya parameter maka dengan menskalakan nilai
, yaitu
= ̃, =
̃
, =
̃, ̇ = ̃̇ dan ̇ = ̃̇ diperoleh
� �
= ̃ − .
̃. ̃ ̃ +
̃
= ̃ −
. ̃̃
̃ + ̃
= ̃ −
̃̃ ̃ + ̃̃
= ̃ − ̃̃
̃ + ̃
� �
= − ̃ + , . ̃. ̃
̃ + ̃
= − ̃ + ,
. ̃̃
̃ + ̃
= − ̃ + ,
̃̃ ̃ + ̃
= − ̃ + , ̃̃
̃ + ̃
47
Dari perhitungan di atas, didapatkan
� �
= ̃ − ̃̃
̃ + ̃ 3.7
� �
= − ̃ + , ̃̃
̃ + ̃ Dengan menghilangkan tanda bar pada masing-masing variabel dan Karena
tingkat pertumbuhan maksimal mangsa logam berat adalah 16 juta Ljam maka konstanta half-saturation pada kasus ini adalah
= . juta Ljam maka diperoleh sistem persamaan predator-prey baru yaitu
� �
= − . +
3.8
� �
= − + .
. +
3. Titik Ekuilibrium
Berdasarkan definisi 2.5, titik ekuilibrium sistem 3.8 adalah nilai dan yang memenuhi
� �
= dan
� �
= 3.9
Sehingga didapatkan persamaan = − . +
3.10
= − + .
. + 3.11
48
Dari persamaan 3.11 diperoleh =
3.12 atau
− + .
. + = . 3.13
Selanjutnya, substitusi persamaan 3.12 ke persamaan 3.10, sehingga diperoleh
− . + =
− = = .
Karena ≠ maka
= , 3.14
dengan demikian diperoleh titik ekuilibrium � yaitu
� = ,
�
. Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan 3.13 maka diperoleh
− + .
. + = .
. + = . =
. +
49
− . + . = , sehingga diperoleh
=
. +√ . − .
=
. +√ . − .
3.15
=
. −√ . − .
=
. −√ . − .
. 3.16
Untuk mendapatkan nilai untuk titik ekuilibrium selanjutnya, substitusi persamaan 3.15 ke persamaan 3.10.
= +
= . +
. + √ . − .
Substistusi persamaan 3.16 ke persamaan 3.10 =
+
= . +
. − √ . − .
.
Diperoleh 2 titik ekuilibrium yaitu
� =
. +√ . − .
, . +
. +√ . − .
�
� =
. −√ . − .
, . +
. −√ . − .
�
.
50
Sehingga sistem persamaan 3.8 memiliki 3 titik ekulibrium yaitu � = ,
�
� =
. +√ . − .
, . +
. +√ . − .
�
� =
. −√ . − .
, . +
. −√ . − .
�
.
Karena nilai populasi bakteri dan logam berat tidak mungkin negatif maupun imajiner, sehingga dan haruslah positif, maka
. − .
⟺ . .
sehingga nilai dan ada jika √
. .
= . . Dengan demikian,
pada titik ekuilibrium � dan � dimungkinkan terjadi bifurkasi saat =
. , yaitu jika
. hanya ada satu titik ekuilibrium
� = , , saat = .
terdapat dua titik ekuilibrium � = ,
�
dan � =
. ,
. dan saat . terdapat tiga titik ekuilibrium
� =
, , � =
. +√ . − .
, . +
. +√ . − .
�
dan
� =
. −√ . − .
, . +
. −√ . − .
�
.
51
4. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Sebelum menganalisis kestabilan titik ekuilibrium pada model matematika penjernihan air yang terkontaminasi logam berat perlu dilakukan beberarapa hal
yaitu: linearisasi dengan matriks Jacobian, mencari persamaan karakteristik hingga didapatkan nilai eigen untuk setiap titik ekuilibrium dan terakhir analisis kestabilan
sistem dari nilai eigen pada tiap titik ekuilibrium. a.
Linearisasi Sistem 3.8 Misal
� =
� �
dan � =
� �
maka ��
� = − . +
− . +
= − . −
. + . a
�� � = − . + . b
�� � =
. . +
− .
. + =
. . −
. + . c
�� � = − +
. . + . d
Berdasarkan 3.17a, 3.17b, 3.17c dan 3.17d diperoleh matriks Jacobian
�|
∗
,
∗
= [ ��
� ��
� ��
� ��
� ]
52
[ ̇̇] = [
− . −
. + − . +
. . −
. + − +
. . + ]
[ ]
Sehingga sistem hasil linearisasi adalah ̇ =
− . −
. + − . +
̇ = . . −
. + + − +
. . + }
… … … … … … … … … … … .
b. Persamaan Karakteristik dan Nilai Eigen
Dari sistem persamaan 3.8 dicari sistem persamaan karakteristiknya. Misalkan,
= [
−
∗
. −
∗
. +
∗
−
∗
. +
∗
.
∗
. −
∗
. +
∗
− + .
∗
. +
∗
]
− � = [
−
∗
. −
∗
. +
∗
− λ −
∗
. +
∗
.
∗
. −
∗
. +
∗
− + .
∗
. +
∗
− λ ] .
Untuk model penjernihan air pipa tertutup, persamaan karakteristik dicari pada setiap titik ekuilibrium.
1 Pada
� = ,
�
53
�
− � = [
− . −
. + − λ
− . + .
. − . +
− + .
. + − λ ]
= [ − � − − �] det
�
− � = ⇔
− � − − � − = ⇔ � + � − + − =
Didapatkan nilai � = atau � = − .
2 Pada
� =
. +√ . − .
, . +
. +√ . − .
�
Untuk memudahkan
perhitungan, dimisalkan
= . + √ .
− . sehingga titik ekulibrium menjadi � =
, . +
dan matriks A untuk � menjadi
�
= .
+ [
− .
. −
− .
+ − .
]. Persamaan karakteristik
�
− � =
. +
[ −
. .
− −
. +
− . ]
− [� �] memiliki nilai eigen
�
,
= − ± √ −
. +
54
dengan =
− − .
+ . = −
+ . −
. +
. = . + √ .
− . .
3 Pada
� =
. −√ . −
, . +
. −√ . −
�
Untuk mempermudah perhitungan misal . − √ .
− = ,
sehingga titik ekulibrium menjadi � =
, . +
. Dari persamaan karakteristik
�
− � =
. +
[ −
. .
− −
. +
− . ]
− [� �], didapatkan nilai eigen
�
,
= − ± √ −
. +
dengan =
− − .
+ . = −
+ . −
. +
. = . − √ .
− . .
Nilai eigen tersebut digunakan untuk menganalisis kestabilan dari sistem persamaan 3.8.
55
c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium
Selanjutkan dilakukan analisis kestabilan untuk sistem persamaan 3.8. Sebelumnya telah dicari nilai s agar titik ekuilibrium bernilai real, yaitu saat
√
. .
= . . Berdasarkan nilai s, jumlah titik ekuilibrium pada
sistem dapat berbeda-beda yakni 1
Untuk .
hanya terdapat satu titik ekuilibrium yakni � = ,
�
. Sebelumnya telah dibahas mengenai persamaan karakteristik dari
� = ,
�
dan didapatkan nilai � = atau � = − . Karena nilai .
maka nilai
� pasti negatif. Dengan nilai � positif dan � negatif menyebabkan sistem bersifat tidak stabil pada titik ekuilibrium
� = ,
�
. 2
Untuk = .
terdapat dua titik ekuilibrium yakni � = ,
�
dan � = .
, .
�
Kestabilan titik ekuilibrium � = ,
�
pada = .
bersifat tidak stabil karena salah satu nilai
� dari persamaan karakteristik akan bernilai positif. Untuk mencari kestabilan titik ekuilibrium
� = . ,
.
�
dengan mensubstitusi nilai s pada persamaan karakteristik didapatkan nilai eigen
� = − . ×
−
dan � = . dan diketahui bahwa sistem
tidak stabil pada titik ekuilibrium � dengan = .
.
56
3 Untuk
terdapat tiga titik ekuilibrium yakni � = ,
�
, � =
, +√ , − .
, . +
, +√ , − .
�
dan
� =
, −√ , − .
, . +
, −√ , − .
�
. a
Titik ekuilibrium � = ,
�
Didapatkan � = , � = − karena terdapat nilai � poristif maka sistem
pada titik ekuilibrium
� = , tidak stabil.
b Titik ekuilibrium
� =
. +√ . − .
, . +
. +√ . − .
�
Dari perhitungan sebelumnya didapatkan nilai eigen
�
,
= − ± √ −
. +
dengan =
− − .
+ . = −
+ . −
. +
. = . + √ .
− . .
Akan dicari kapan nilai eigen bernilai real dengan melihat nilai −
pada grafik −
= untuk � yang dapat dilihat pada gambar 3.1.
57
Gambar 3.1 Grafik
− =
Dapat dilihat dari Gambar 3.1 bahwa nilai −
untuk T
2
selalu positif untuk
. , maka nilai eigen untuk T
2
bernilai real. Selanjutnya dicari nilai eigen untuk T
2
pada setiap nilai dengan
menggunakan grafik.
i. � =
− +√ − .
+
untuk � pada .
Gambar 3.2
� untuk T
2
pada .
58
Dari grafik di atas dapat di lihat bahwa nilai dari � dengan nilai yaitu
. untuk T
2
selalu positif.
ii. � =
− −√ − .
+
untuk � pada .
Gambar 3.3
� untuk T
2
pada .
Dari Gambar 3.3 dapat di lihat bahwa nilai dari � dengan nilai yaitu
. untuk T
2
selalu negatif. Karena
� pada titik ekuilibrium
�
selalu bernilai positif dan � bernilai
negatif saat .
maka
�
bersifat tidak stabil. c
Titik ekuilibrium
� =
. −√ . −
, . +
. −√ . −
�
Dari perhitungan sebelumnya didapatkan nilai eigen �
,
= − ± √ −
. +
dengan =
− − .
+ . = −
+ . −
. +
.
59
= . − √ . − .
. Akan dicari kapan nilai
− untuk
� bernilai positif sehingga nilai
eigen bernilai real.
Gambar 3.4 Grafik
− untuk
� pada . Karena ada nilai s dimana
. sedemikian hingga
− , yaitu saat .
yang selanjutnya disebut sebagai . Pencarian nilai dengan menggunakan metode bagi dua Sintax
Matlab dapat dilihat pada Lampiran 1. Sehingga nilai eigen pada � akan
bernilai imajiner saat . Selanjutnya cek nilai dengan melihat
grafik pada Gambar 3.5.
60
Gambar 3.5 Grafik untuk
� pada .
Nilai untuk T
3
selalu negatif maka nilai eigen selalu bernilai positif imajiner saat
s , bernilai sama dengan nol saat = dan bernilai positif saat
s . .
Selanjutnya dicari nilai eigen untuk T
3
i. � =
− +√ − .
+
untuk �
61
Gambar 3.6 Grafik
� untuk � pada .
Dari gambar dapat dilihat bahwa nilai dari � untuk � selalu positif.
ii. � =
− −√ − .
+
untuk �
Gambar 3.7 Grafik
� untuk � pada . Dari gambar dapat dilihat bahwa nilai dari
� untuk � selalu positif. Karena nilai dari
� dan � selalu positif maka sistem pada titik ekuilibrium � dengan .
bersifat tidak stabil. Untuk memastikan perubahan tanda
�
�
positif atau negatif seiring dengan perubahan nilai untuk masing-masing titik ekuilibrium dapat dilihat
pada
tabel 3.1 dengan nilai
= . ,
= . dan
= . .
Tabel 3.1 Kestabilan Titik Ekuilibrium
No TE =
= =
� � K � � K � � K � � K � � K � � K � � K 1
� + - TS + - TS + - TS + - TS + - TS + - TS + - TS
62 2
� + - TS + - TS + - TS + - TS + - TS +
- TS Tidak ada
3 � + + TS + + TS + + TS + + TS + + TS
K: kestabilan, S: Stabil, TS: Tidak Stabil Selanjutnya dilakukan simulasi berupa potret fase di sekitar ketiga titik
ekuilibrium dengan nilai = dan memilih beberapa nilai yaitu = . ,
= . ,
= . , = . ,
= . dan = . .
Simulasi potret fase dapat dilihat pada lampiran 2 . Potret-potret fase pada lampiran 2 digambarkan dengan menggunakan program Maple script Maple
dapat dilihat pada lampiran 3. Berdasarkan Tabel 3.1 dan simulasi yang telah dilakukan, dapat diambil
beberapa kesimpulan yaitu: a
Untuk � tidak terjadi perubahan keadaan dinamik, bentuk potret fase yang
didapatkan disekitar � selalu berbentuk saddle untuk setiap sehingga �
bersifat tidak stabil. b
Untuk � tidak terjadi perubahan keadaan dinamik, bentuk potret fase yang
didapatkan disekitar � selalu berbentuk saddle untuk setiap sehingga �
bersifat tidak stabil. c
Untuk � terjadi perubahan keadaan dinamik, yaitu pada
. bentuk potret fase disekitar
� adalah unstable focus dan pada saat .
. berbentuk node. Sehingga pada
� terjadi bifurkasi.
63
5. Interpretasi Model pada Kasus Penjernihan Air
Dari penjelasan sebelumnya didapatkan bahwa sistem tidak pernah stabil pada setiap titik ekuilibrium dengan nilai
= dan .
artinya saat banyak logam yang ditambahkan pada daerah observasi Sungai Porong
sebanyak 9 juta Ljam dan kematian bakteri kurang dari .
juta Ljam dengan asumsi tidak ada bakteri dan logam berat yang terbawa arus sungai
maka tidak dapat dipastikan jumlah akhir dari banyaknya logam dan bakteri pada waktu tertentu sehingga air sungai tidak layak untuk dikonsumsi warga
sekitar.
B. Model Matematika Penjernihan Air Tabung Terbuka dengan Fungsi
