Model Matematika Penjernihan Air Tabung Terbuka dengan Fungsi

63

5. Interpretasi Model pada Kasus Penjernihan Air

Dari penjelasan sebelumnya didapatkan bahwa sistem tidak pernah stabil pada setiap titik ekuilibrium dengan nilai = dan . artinya saat banyak logam yang ditambahkan pada daerah observasi Sungai Porong sebanyak 9 juta Ljam dan kematian bakteri kurang dari . juta Ljam dengan asumsi tidak ada bakteri dan logam berat yang terbawa arus sungai maka tidak dapat dipastikan jumlah akhir dari banyaknya logam dan bakteri pada waktu tertentu sehingga air sungai tidak layak untuk dikonsumsi warga sekitar.

B. Model Matematika Penjernihan Air Tabung Terbuka dengan Fungsi

Respon Tak Monoton Untuk mengkonstruksi model predator-prey penjernihan air tabung terbuka dengan fungsi respon tak monoton pada populasi B.subtilis predator dan Logam berat prey maka diperlukan delapan asumsi yang sama dengan model sebelumnya namun dengan angka pertambahan intrinsik dari logam berat yaitu r dan tambahan 2 asumsi lain yaitu : 9 Adanya pengurangan jumlah logam berat dan bakteri karena terbawa arus sungai. 10 Penambahan jumlah bakteri dapat dilakukan berkali-kali.

1. Pemodelan Predator-Prey Lotka-Voltera Kasus B.subtilis-Logam Berat

dengan Fungsi Respon Tak Monoton Berdasarkan asumsi 1 maka, dimisalkan bt : populasi B.subtilis pada saat waktu t mgL lt : populasi logam berat pada saat waktu t mgL 64 a. Sesuai dengan asumsi ke-2 maka laju populasi logam berat dengan tidak adanya B.subtilis akan terus bertambah mendekati eksponensial dan tak terbatas serta asumsi ke-9 yang meyatakan bahwa adanya pengurangan jumlah logam berat karena terbawa arus sungai sehingga dapat dinyatakan bahwa: � � = − 3.19 dimana merupakan angka pertambahan intrinsik dari logam berat juta Ljam dan merupakan banyaknya logam berat yang terbawa arus sungai juta Ljam. b. Laju populasi B.subtilis dengan tidak adanya mangsa akan menurun berdasarkan asumsi 3 dan asumsi ke-9 yang menyatakan bahwa adanya pengurangan jumlah logam berat dan bakteri karena terbawa arus sungai serta asumsi ke-10 yang menyakatakan bahwa adanya penambahan jumlah bakteri sehingga dapat ditulis dengan bentuk sebagai berikut: � � = − − + 3.20 dengan merupakan angka kematian bakteri juta Ljam, merupakan banyaknya bakteri yang terbawa arus sungai juta Ljam dan merupakan banyaknya bakteri yang ditambahkan juta Ljam. c. Seperti asumsi ke-4, setiap interaksi antara kedua populasi tersebut akan mengurangi populasi logam berat dengan laju sebesar � dan meningkatkan populasi B.subtilis dengan laju sebesar . �. 65 Oleh sebab itu pengurangan logam berat sebanyak � dan penambahan populasi B.subtilis sesuai dengan asumsi ke-5 dan ke-7 yaitu sebanyak . � . Dengan memisalkan angka pertambahan intrinsik dari logam berat sebagai = − dan angka kematian bakteri sebagai = + − untuk model matematika penjernihan air tabung tertutup, sehingga persamaan 3.19 dan persamaan 3.20 berubah menjadi: � � = − � 3.21 � � = − + . � . Dikarenakan bentuk persamaan 3.21 sama dengan bentuk persamaan 3.3 maka pembentukan model matematika tabung terbuka dengan fungsi respon tak monoton dapat menggunakan analogi dengan pemodelan tabung tertutup. Sehingga didapatkan persamaan akhir � � = − . + 3.22 � � = − + . . + Asumsi awal yang menyatakan bahwa karena adanya arus sungai mengakibatkan pencemar logam berat dan bakteri dapat keluar dari daerah observasi serta adanya penambahan banyak bakteri pada daerah observasi. sehingga dapat ditarik beberapa kesimpulan tentang nilai dan sebagai berikut: i. Saat maka ii. Saat = maka = 66 iii. Saat maka iv. Saat + maka v. Saat = + maka = vi. Saat + maka

2. Titik Ekuilibrium

Berdasarkan definisi 2.5, titik ekuilibrium sistem 3.22 adalah nilai dan yang memenuhi � � = dan � � = 3.23 sehingga didapatkan persamaan = − . + 3.24 = − + . . + . 3.25 Untuk sistem 3.26, pencarian titik ekuilibrium dicari pada beberapa kondisi, yaitu: a. Saat = dan ≠ Persamaan 3.24 menjadi = − . + . 3.26 Dari persamaan 3.25 diperoleh = 3.27 67 atau − + . . + = . 3.28 Selanjutnya substitusi persamaan 3.27 ke persamaan 3.26, sehingga diperoleh − 8. + = ⇔ = . 3.29 Sehingga didapatkan nilai yang memenuhi persamaan 3.29 adalah ∈ ℝ . Dengan demikian diperoleh titik ekuilibrium � = , � dengan ∈ ℝ . Selanjutnya gunakan persamaan 3.28. − + . . + = . . + = . = . + − . + . = , sehingga diperoleh = . +√ . − . 3.30 = . −√ . − . 3.31 68 dengan nilai s adalah − . dan . . Substitusi persamaan 3.30 pada persamaan 3.26, didapatkan − . + = . + √ . − . = nilai b yang memenuhi yaitu = , sehingga didapatkan titik ekuilibrium � = . +√ . − . , . Selanjutnya substitusi persamaan 3.31 pada persamaan 3.26, dan didapatkan − . + = . − √ . − . = nilai b yang memenuhi yaitu = , sehingga didapatkan titik � = . −√ . − . , . Dari perhitungan di atas, didapat 3 titik ekuilibrium yaitu 1 � = , � dengan ∈ ℝ 2 � = . +√ . − . , � 69 3 � = . −√ . − . , � Karena � , � termasuk kedalam � maka untuk sistem 3.22 dengan nilai = dan ≠ didapatkan satu titik ekuilibrium yaitu � = , � dengan ∈ ℝ . b. Saat ≠ dan = Persamaan 3.25 berubah menjadi = . . + . 3.32 Dari persamaan 3.32 diperoleh = 3.33 atau = . 3.34 Gunakan persamaan 3.24 sehingga didapatkan − 8. + = = . + 3.35 . + = . + = . 3.36 Substitusi 3.33 ke persamaan 3.36 sehingga didapatkan 70 . + = . = , dengan demikian diperoleh titik ekuilibrium � = , . � . Selanjutnya substitusi 3.34 ke persamaan 3.35 dan didapatkan = . Karena ≠ maka nilai = . Sehingga didapatkan titik ekuilibrium � = , � . Dari perhitungan di atas, untuk sistem 3.22 dengan nilai ≠ dan = didapatkan dua titik ekuilibrium yaitu � = , . � dan � = , � . c. Saat = dan = Persamaan 3.24 dan 3.25 berubah menjadi = − . + 3.37 = . . + . 3.38 Dari persamaan 3.38 diperoleh = 3.39 atau = . 3.40 Substitusi persamaan 3.39 ke persamaan 3.38, diperoleh 71 = . . + . Sehingga nilai yang memenuhi adalah ∈ ℝ � maka didapatkan titik ekuilibrium � = , � dengan ∈ ℝ � . Selanjutnya sebstitusi persamaan 3.40 ke persamaan 3.38 dan diperoleh = . . + , nilai yang memenuhi adalah ∈ ∀ Ν sehingga didapatkan titik ekuilibrium � = , dengan ∈ ℝ � . Dari perhitungan di atas, untuk sistem 3.22 dengan nilai = dan = didapatkan dua titik ekuilibrium yaitu � = , � dengan ∈ ℝ � dan � = , � dengan ∈ ℝ � . d. Saat ≠ dan ≠ Untuk titik ekuilibrium saat ≠ dan ≠ telah dicari pada model sebelumnya model pipa tertutup dan didapatkan tiga titik ekuilibrium, yaitu � = , � � = . +√ . − . , . + . +√ . − . � � = . −√ . − . , . + . −√ . − . � dengan − . atau . . 72

3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Analisis kestabilan dari sistem 3.22 akan dilakukan berdasarkan nilai dan . Sperti yang telah dilakukan saat menganalisis kestabilan pada model pipa tertutup penjernihan air yang terkontaminasi logam berat perlu dilakukan beberarapa hal yaitu: linearisasi dengan matriks Jacobian, mencari persamaan karakteristik hingga didapatkan nilai eigen untuk setiap titik ekuilibrium dan terakhir analisis kestabilan sistem dari nilai eigen pada tiap titik ekuilibrium. a. Linearisasi Sistem 3.22 Matriks Jacobian sistem 3.22 adalah �| ∗ , ∗ = [ �� � �� � �� � �� � ] dengan � = � � = − 8. + dan � = � � = − + . 8. + . Sehingga hasil linearisasi sistem 3.22 adalah ̇ = − . − . + − . + ̇ = . . − . + + − + . . + } . b. Persamaan Karakteristik dan Nilai Eigen Akan dicari persamaan karakteristik dari sistem 3.22. Misalkan, 73 = [ − ∗ . − ∗ . + ∗ − ∗ . + ∗ . ∗ . − ∗ . + ∗ − + . ∗ . + ∗ ] − � = [ − ∗ . − ∗ . + ∗ − ∗ . + . ∗ . − ∗ . + ∗ − + . . + ∗ ] − [� �] − � = [ − ∗ . − ∗ . + ∗ − λ − ∗ . + ∗ . ∗ . − ∗ . + ∗ − + . ∗ . + ∗ − λ ] Persamaan karakteristk dicari berdasarkan titik ekuilibrium dengan nilai a=8.1 1 Persamaan karakteristik pada sistem dengan = dan ≠ Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan = dan ≠ adalah � = , � dengan ∈ ℝ � . Persamaan karakteristik pada titik ekuilibrium � = , � adalah � − � = [ − . − . + − λ − . + . . − . + − + . . + − λ ] = [ −� − . + − + . . + − λ ] det � − � = 74 ⇔ −� − + . . + − λ − = ⇔ � � + − . . + = Didapatkan nilai � = atau � = − + . 8. + . 2 Persamaan karakteristik sistem dengan ≠ dan = Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan ≠ dan = adalah � = , . � dan � = , � . Persamaan karakteristik pada setiap titik ekuilibrium adalah sebagai berikut: a Persamaan karakteristik sistem pada � = , . � � − � = [ − . . − . + − λ − . + . . . − . + . . + − λ ] = [ − . . − λ . . . −λ ] = [ −λ . −λ] det � − � = ⇔ � − = Didapatkan nilai � = . b Persamaan karakteristik sistem pada � = , � 75 � − � = [ − . − . + − λ − . + . . − . + . . + − λ ] = [ − λ −λ] det � − � = ⇔ − � −� − = Didapatkan nilai � = atau � = . 3 Persamaan karakteristik sistem dengan = dan = Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan = dan = Adalah � = , � dengan ∈ ℝ � dan � = , � dengan ∈ ℝ � . Persamaan karakteristik pada setiap titik ekuilibrium adalah sebagai berikut: a Persamaan karakteristik sistem pada � = , � � − � = [ . − . + − λ − . + . . − . + . . + − λ ] = [ . . − λ . . . −λ ] = [ . − λ . . −λ ] det � − � = ⇔ . − λ −� − = Didapatkan nilai � = atau � = 8. . 76 b Persamaan karakteristik sistem pada � = , � � − � = [ − . − . + − λ − . + . . − . + . . + − λ ] = [ −� − . + . . + − λ ] det � − � = ⇔ −� . . + − λ − = Didapatkan nilai � = atau � = . 8. + . 4 Persamaan karakteristik sistem dengan ≠ dan ≠ Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan ≠ dan ≠ adalah � = , � , � = . +√ . − . , . + . +√ . − . � , � = . −√ . − . , . + . −√ . − . � . Persamaan karakteristik pada setiap titik ekuilibrium adalah sebagai berikut: a Persamaan karakteristik pada Titik ekuilibrium � = , � − � = [ − . − . + − λ − . + . . − . + − + . . + − λ ] = [ − λ − − λ ] det � − � = ⇔ − � − − λ − = Didapatkan nilai � = atau � = − . 77 b Persamaan karakteristik pada titik ekuilibrium � = . +√ . − . , . + . +√ . − . � Untuk memudahkan perhitungan, dimisalkan = . + √ . − . sehingga titik ekuilibrium menjadi � = , . + � dan matriks A menjadi � = . + [ − . − . − . + − . ]. Sehingga didapatkan nilai lambda � , = − ± √ − . + dengan = − − . + . = − + . − . + . = . + √ . − . c Persamaan karakteristik pada Titik ekuilibrium � = . −√ . − . , . + . −√ . − . � Untuk memudahkan perhitungan, dimisalkan = . − √ . − . sehingga titik ekuilibrium menjadi � = , . + � dan matriks A menjadi 78 � = . + [ − . − . − . + − . ]. Sehingga didapatkan nilai lambda � , = − ± √ − . + dengan = − − . + . = − + . − . + . = . − √ . − . . Nilai eigen tersebut digunakan untuk menganalisis kestabilan dari sistem persamaan 3.22 c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 1 kestabilan sistem dengan = dan ≠ Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan = dan ≠ adalah � = , � dengan ∈ ℝ � dan didapatkan nilai � = atau � = − + . 8. + . Karena terdapat nilai � = maka berdasarkan Teorema 2.3, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai kestabilan sistem pada nilai = dan ≠ . Potret Fase dan script Maple potret fase sistem 3.22 saat = dan ≠ dapat dilihat pada Lampiran 4. 2 Persamaan karakteristik sistem dengan ≠ dan = Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan ≠ dan = adalah � = , . � dan � = , � . Berdasarkan Teorema 2.3, kestabilan 79 setiap titik ekuilibrium pada sistem dengan nilai ≠ dan = tidak dapat dicari karena pada � = , . � dan � = , � terdapat nilai eigen � = . Potret Fase dan script Maple potret fase sistem 3.22 saat ≠ dan = dapat dilihat pada Lampiran 5. 3 Kestabilan sistem dengan = dan = Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan = dan = adalah � = , � dengan ∈ ℝ dan dan � = , � dengan ∈ ℝ � . Berdasarkan Teorema 2.3, kestabilan setiap titik ekuilibrium pada sistem dengan nilai = dan = tidak dapat dicari karena pada setiap titik ekuilibrium terdapat nilai � = . Potret Fase dan script Maple potret fase sistem 3.22 saat = dan = dapat dilihat pada Lampiran 6. 4 Kestabilan sistem dengan ≠ dan ≠ Titik ekuilibrium yang didapat dari sistem 3.22 dengan ≠ dan ≠ adalah � = , � , � = . +√ . − . , . + . +√ . − . � , � = . −√ . − . , . + . −√ . − . � . Kestabilan pada setiap titik ekuilibrium adalah sebagai berikut: a Kestabilan pada Titik ekuilibrium � , � 80 Dari persamaan karakteristik yang telah dicari sebelumnya, didapatkan nilai eigen pada � , � yaitu � = atau � = − sehingga berdasarkan Teorema 2.3 kestabilan sistem pada titik ekuilibrium di masing-masing nilai dan dapat dilihat pada tabel 3.2. Tabel 3.2 Kestabilan pada � , � No � = � = − Kestabilan 1 Tidak stabil 2 Stabil 3 Tidak stabil 4 Tidak stabil Maka dapat dilihat bahwa sistem akan stabil pada titik ekuilibrium � , � dengan nilai dan . Untuk mendapatkan nilai maka atau pertambahan logam berat harus lebih kecil dari banyaknya logam berat yang terbawa arus sungai. Sedangkan untuk mendapatkan nilai maka + atau banyaknya bakteri yang ditambahkan lebih sedikit dari banyak bakteri yang mati ditambah banyak bakteri yang terbawa arus. b Kestabilan pada � = . +√ . − . , . + . +√ . − . � Untuk memudahkan perhitungan, dimisalkan = . + √ . − . sehingga titik ekuilibrium menjadi � = , . + � dan nilai lambda 81 � , = − ± √ − . + dengan = − − . + . = − + . − . + . = . + √ . − . . Agar mendapatkan nilai eigen real maka nilai s adalah − . dan . . Untuk mempermudah analisis, pada Gambar 3.8 diperlihatkan grafik nilai eigen untuk � berdasarkan nilai r dan s yang selanjutnya akan diambil beberapa titik berdasarkan pembagian wilayah yang didapatkan dari Gambar 3. 8. Gambar 3.8 Grafik Nilai Eigen untuk � Dari gambar 3.8 dapat dilihat bahwa nilai dari lambda pada � terbagi menjadi beberapa wilayah. Selanjutnya dilakukan simulasi berupa potret fase dengan mengambil nilai dan pada setiap wilayah. Potret fase sistem persamaan i ii iii iv 82 nonlinear 3.22 dapat dilihat pada lampiran 7 script Maple dapat dilihat pada lampiran 10. Simulasi potret fase untuk � pada setiap wilayah pada gambar 3.8 dapat dilihat pada Lampiran 8. Potret-potret fase pada lampiran 7 dan 8 digambarkan dengan menggunakan program Maple. Untuk kestabilan dari masing masing wilayah dapat dilihat pada tabel 3.3. Tabel 3.3 Kestabilan Titik Ekuilibrium � No Wilayah � � Kestabilan 1 i + - Tidak Stabil 2 ii - - Stabil 3 iii + - Tidak Stabil 4 iv + + Tidak Stabil Dari potret fase pada lampiran 8 dan tabel 3.3 dapat diambil kesimpulan bahwa sistem akan stabil pada titik ekuilibrium � saat nilai dan . yang diambil. c Kestabilan pada � = . −√ . − . , . + . −√ . − . � Untuk memudahkan perhitungan, dimisalkan = . − √ . − . sehingga titik ekuilibrium menjadi � = , . + � dan nilai lambda � , = − ± √ − . + dengan 83 = − − . + . = − + . − . + . = . − √ . − . Untuk memepermudah analisis, pada Gambar 3.34 diperlihatkan grafik nilai eigen untuk � berdasarkan nilai r dan s yang selanjutnya akan diambil beberapa titik berdasarkan pembagian wilayah yang didapatkan dari Gambar 3.9. Gambar 3.9 Grafik Nilai Eigen untuk � Dari Gambar 3.9 dapat dilihat bahwa nilai dari lambda pada � terbagi menjadi beberapa wilayah. Selanjutnya dilakukan simulasi berupa potret fase dengan mengambil nilai dan pada setiap wilayah. Simulasi potret fase dapat dilihat pada Lampiran 9. Potret-potret fase pada Lampiran 9 digambarkan dengan menggunakan program Maple. Untuk kestabilan dari masing masing wilayah dapat dilihat pada Tabel 3.4. i ii iii iv 84 Tabel 3.4 Kestabilan Titik Ekuilibrium � No Wilayah � � Kestabilan 1 i + + Tidak Stabil 2 ii - + Tidak Stabil 3 iii - - Stabil 4 iv + - Tidak Stabil Dari potret fase pada lampiran 9 dan Tabel 3.4 dapat diambil kesimpulan bahwa sistem akan stabil pada titik ekuilibrium � untuk setiap nilai dan − . .

4. Interpretasi Model pada Kasus Penjernihan Air

Berdasarkan analisis kestabilan yang telah dilakukan pada model matematika penjernihan air pipa terbuka, terdapat tiga titik ekuilibrium yang bernilai stabil dengan nilai dan tertentu. Pertama adalah � = , � dengan nilai dan , kedua adalah � dengan nilai dan . a dan ketiga � dengan nilai dan − . . a. Interpretasi pada � = , � Telah diketahui bahwa sistem akan stabil saat nilai dan sehingga saat pertambahan logam berat lebih kecil dari banyaknya logam berat yang terbawa arus sungai dan banyaknya bakteri yang ditambahkan lebih sedikit dari banyak bakteri yang mati ditambah banyak bakteri yang terbawa arus. Hal ini menunjukkan bahwa dalam jangka waktu tertentu, kandungan logam berat dan bakteri pada air sungai akan semakin berkurang atau bahkan menghilang sehingga air akan layak untuk dikonsumsi warga. 85 b. Interpretasi pada � = . +√ . − . , . + . +√ . − . � Titik ekuilibrium � akan bernilai stabil saat nilai dan . . Seperti simulasi yang telah dilakukan dengan mengambil nilai = − dan = . sehingga didapatkan titik ekuilibrium � . , − . � . Karena pada titik ekuilibrium nilai bakteri negatif maka kasus ini tidak akan terjadi pada kehidupan nyata. c. Interpretasi pada � = . −√ . − . , . + . −√ . − . � Titik ekuilibrium � akan bernilai stabil saat nilai dan − . . Seperti simulasi yang telah dilakukan dengan mengambil nilai = − dan = − . sehingga didapatkan titik ekuilibrium � − . , − . � . Ini berarti bahwa saat pertambahan logam berat lebih kecil 2 Juta Ljam dari banyaknya logam berat yang terbawa arus sungai dan banyaknya bakteri yang ditambahkan lebih banyak 0.15 juta Ljam dari banyak bakteri yang mati ditambah banyak bakteri yang terbawa arus maka pada rentan waktu tertentu banyaknya kandungan bakteri dalam air sungai akan menuju − . mgL dan banyaknya kandungan logam akan menuju − . mgL. Pada kenyataannya kandungan logam dan bakteri tidak mungkin bernilai negatif, sehingga kasus ini tidak mungkin terjadi pada kehidupan nyata. 86

C. Orbit Periodik