29
√ ,
�
= [ √
− √ ]
Didapatkan nilai eigen dari √ ,
�
yaitu | −
√ − √
− | =
⇔ − −
− − √ √ =
⇔ −
+ =
⇔ − − √
− + √ =
⇔ = + √ ∨
= − + √ Bagian real pada nilai eigen tidak nol maka titik ekuilibrium
̅ = √ ,
�
adalah titik ekuilibrium hiperbolik.
G. Analisis Kestabilan
Kestabilan titik ekuilibrium dari sebuah sistem persamaan differenssial secara umum dibagi menjadi tiga jenis yaitu stabil, stabil asimtotik dan tidak stabil.
Kestabilan titik ekuilibrium ini akan dijelaskan dalam definisi-definisi dan teorema berikut.
Definisi 2.8 Olsder, 2004:57
Diberikan sistem persamaan differensial ̇
= dengan
∈ ℝ
�
, penyelesaan dengan keadaan awal
= dinotasikan oleh ,
.
Suatu titik ekuilibrium dikatakan stabil bila untuk setiap ada
dan
�
sedemikian hingga bila ‖
�
�
− ‖ maka ‖ ,
��
− ‖ untuk semua
�
.
30
Suatu titik ekuilibrium dikatakan stabil asimtotik bila titik stabil dan
ada sedemikian hingga
�→∞
‖ ,
− ̅‖ = untuk semua ℎ ‖ − ̅‖ .
Suatu titik ekuilibrium dikatakan takstabil bila tidak memenuhi definisi
stabil. Ilustrasi pada
ℝ dari Definisi 2.9 disajikan pada Gambar 2.3 berikut ini,
Gambar 2.3 Ilustrasi Kestabilan
Secara intuisi, stabil untuk nilai awal yang cukup dekat dengan titik ekuilibrium maka untuk nilai t yang cukup tinggi, penyelesaian sistem sangat dekat
dengan titik ekuilibrium dalam suatu persekitaran. Sedangkan stabil asimtotik berarti penyelesaian konvergen ke titik ekuilibrium asalkan titik awal adalah cukup
dekat ke titik ekuilibrium. Takstabil artinya selalu ada penyelesaian yang dimulai dari manapun dekatnya dengan titik ekuilibrium tapi akhirnya menjauh dari titik
ekuilibrium. Analisis kestabilan berdasarkan definisi masih terlalu sulit dilakukan, oleh
karena itu terdapat cara analisis kestabilan berdasarkan nilai eigen dari sistem persamaan differensial. Teorema berikut memberikan syarat kestabilan dari
persamaan differensial ̇ =
, dimana matriks mempunyai peranan penting
31
khususnya nilai eigen dari matriks yaitu bagian real dari yang dinotasikan oleh
� . Untuk suatu sistem persamaan differensial linear
̇ = dengan adalah
matriks berukuran × dan titik ekuilibrium yang diambil sebagai titik asal adalah
= meskipun mungkin ada titik ekuilibrium yang lainnya saat determinan matriks
sama dengan nol. Untuk selanjutnya dikatakan bahwa persamaan differensial
̇ = atau bahkan matriks itu sendiri adalah stabil asimtotik, stabil
atau takstabil bila titik asal = sebagai titik ekuilibrium adalah stabil asimtotik,
stabil atau takstabil Olsder,2004:58.
Teorema 2.3 Olsder, 2004:58
Diberikan persamaan differensial ̇ =
dengan matriks A berukuran × dan
mempunyai nilai karakteristik yang berbeda ,· · · , ≤ .
Titik asal
= adalah stabil asimtotik bila dan hanya bila � untuk
semua = ,· · · , .
Titik asal
= adalah stabil bila dan hanya bila � ≤ untuk semua
= ,· · · , dan untuk semua dengan � = multisiplisitas aljabar
sama dengan mutiplisitas geometrinya.
Titik asal = adalah takstabil bila dan hanya bila �
untuk beberapa
= ,· · · , atau ada dengan � = dan multisiplisitas
aljabar lebih besar dari mutiplisitas geometrinya. Analisis kestabilan juga dapat dilakukan dengan melihat potret fase sistem.
Potret fase dari persamaan differensial menurut Hale dan Kocak 1991 merupakan
32
kumpulan dari semua orbit, sedangkan orbit merupakan proyeksi dari grafik solusi pada bidang-
dengan kata lain potret fase juga merupakan proyeksi dari grafik solusi pada bidang-
. Pada potret fase juga diberi panah berarah. Potret fase dari sebuah sistem hampir seluruhnya berdasarkan nilai eigen . Desinisi dari bentuk-
bentuk potret fase dapat dilihat pada Definisi 2.9.
Definisi 2.9 Verhulst, 1990:28
Diberikan sebuah sistem persamaan linear dimensi dua ̇ =
dengan nilai eigen
dan .
1. Sistem dikatakan Node pada titik asal jika kedua nilai eigen bernilai real
dan bertanda sama. Stabil Node jika ,
dan tidak stabil Node jika ,
. 2.
Sistem dikatakan Saddle pada titik asal jika kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda. Saddle bersifat tidak stabil.
3. Sistem dikatakan Focus pada titik asal jika kedua nilai eigen bernilai
kompleks, ,
= ± dengan ≠ . Stabil Focus jika dan tidak stabil Focus jika
. 4.
Sistem dikatakan Center pada titik ekuilibrium jika kedua nilai eigen bernilai imajiner murni. Jika sistem linear dikatakan focus maka sistem
stabil namun jika sistem hasil linearisasi bernilai Center maka kestabilan sistem asli tidak dapat ditentukan.
Contoh potret fase untuk setiap kasus dapat dilihat pada Gambar 2.4a, 2.4b, 2.4c, 2.4d, 2.4e dan 2.4f.
33
Gambar 2.4a Stabil Node
Gambar 2.4b Tidak Stabil Node
Gambar 2.4c Saddle
34
Gambar 2.4d Stabil Focus Gambar 2.4e Tidak Stabil Focus
Gambar 2.4f Center
35
H. Orbit Periodik
