Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear

20 {− − = + = Persamaan − − = ekuivalen dengan = − , misalkan = maka = − . Sehingga = [ ] = [− ] jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = − adalah [− ]. Untuk = [− − − − ] [ ] = [− − ][ ] = {− − = + = Persamaan + = ekuivalen dengan = − , misalkan = maka = − . Sehingga = [ ] = [− ] jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah [− ].

F. Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear

Linearisasi merupakan proses mengubah suatu sistem persamaan diferensial nonlinear menjadi sistem persamaan diferensial linear. Menurut Perko 2001, 102, jika diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear ̇ = . 21 dengan ∈ ⊆ ℝ � , : → ℝ � , f merupakan fungsi nonlinear dan kontinu maka sistem linear linear ̇ = dengan matriks = ̅ disebut sebagai linearisasi dari ̇ = di ̅. Sebelum ditunjukkan proses linearisasi dari sistem persamaan differensial nonlinear, akan dibahas terlebih dahulu matriks Jacobian yang dijelaskan dalam Teorema 2.1. Teorema 2.1 Perko, 2001: 67 Jika : ℝ � → ℝ � terdiferensial di maka turunan parsial �� �� , , = , , , … , , di ada untuk semua ∈ ℝ � dan = ∑ � � . � = Bukti: ∑ � � � = = [ � � � � � � � ] + [ � � � � � � � ] + + [ � � � � � � � � � � � � � ] = [ � � � � … � � � � � � � � � � … � � � ⋱ � � � … � � � � ] [ � ] = Matriks disebut matriks Jacobian dari fungsi : ℝ � → ℝ � yang terdiferensial di ∈ ℝ � . dapat dinotasikan dengan . 22 Selanjutnya akan ditunjukkan proses linearisasi dari sistem persamaan diferensial nonlinear 2.21 ke dalam sistem persamaan diferensial linear namun sebelumnya akan diberikan teorema mengenai deret Taylor, berikut teorema Deret Taylor: Teorema 2.2 Purcell, 1987:57 Andaikan sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkatan dalam suatu selang − , + . Syarat yang perlu dan cukup agar deret + ′ − + ′′ − + + � − � + � � menggambarkan fungsi pada selang itu, ialah �→∞ � � = dengan � � suku sisa dalam Rumus Taylor, yaitu � � = �+ + − �+ dengan suatu bilanga dalam selang − , + . Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear seperti pada sistem 2.21 dan misalkan ̅ = ̅ , ̅ , … , ̅ � � adalah titik ekuilibrium dari sistem 2.21. Deret Taylor dari fungsi = , , … , � , , , … , � , … , � , , … , � � disekitar titik ekuilibrium ̅ adalah sebagai berikut, 23 , , … , � � = ̅ , ̅ , … , ̅ � � + � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � + [ � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � + � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ − ̅ + + � � �− � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � �− − ̅ �− � − ̅ � ] + + [ � � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ � + � � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ � + + � � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � � ] + � � � , , … , � � = � ̅ , ̅ , … , ̅ � � + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + + � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � + [ � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + 24 + � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � + � � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ − ̅ + + � � � �− � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � �− − ̅ �− � − ̅ � ] + + [ � � � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ � + � � � � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ � + + � � � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � � ] + � � � Karena dicari bentuk linier terdekat dari fungsi = , , … , � , , , … , � , … , � , , … , � � dan karena , , … , � ada disekitar ̅ , ̅ , … , ̅ � sehingga nilai dari − ̅ , − ̅ , … , � − ̅ � sangat kecil maka penurunan pada deret Taylor hanya hingga turunan pertama dan deret Taylor dari fungsi = , , … , � , , , … , � , … , � , , … , � � disekitar titik ekuilibrium ̅ berubah menjadi , , … , � � = ̅ , ̅ , … , ̅ � � + � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � + � � , , … , � � = ̅ , ̅ , … , ̅ � � + � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + 25 + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � + � � � , , … , � � = � ̅ , ̅ , … , ̅ � � + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + + � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � + � � � dengan � � , � � , … , � � � disebut bagian nonlinear atau sisa yang nilainya mendekati nol sehingga nilai dari � � , � � , … , � � � dapat diabaikan dan karena ̅ , ̅ , , … , ̅ � � adalah titik ekuilibrium sistem 2.21 maka ̅ , ̅ , … , ̅ � � = ̅ , ̅ , … , ̅ � � = = � ̅ , ̅ , … , ̅ � � = . Sehingga diperoleh ̇ = � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + � � ̅ , ̅ , , … , ̅ � � − ̅ + + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � ̇ = � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � ̇ � = � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � − ̅ + + � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � − ̅ � . . Sistem 2.22 dapat ditulis ke dalam bentuk matriks berikut: 26 [ ̇ ̇ ̇ � ] = [ �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � … �� �� � ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� � �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � … �� �� � ̅ , ̅ , … , ̅ � � ⋱ �� � �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � … �� � �� � ̅ , ̅ , … , ̅ � � ] [ − ̅ − ̅ � − ̅ � ] Misalkan = − ̅ , = − ̅ , … , � = � − ̅ � , dan didapatkan [ ̇ ̇ ̇ � ] = [ �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � … �� �� � ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� � �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � �� �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � … �� �� � ̅ , ̅ , … , ̅ � � ⋱ �� � �� ̅ , ̅ , … , ̅ � � … �� � �� � ̅ , ̅ , … , ̅ � � ] [ � ] . dari Sistem 2.23 didapatkan matriks Jacobian ̅ = [ � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � … � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � … � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � ⋱ � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � … � � � � ̅ , ̅ , … , ̅ � � ] dan sistem hasil linearisasi dari sistem 2.21 adalah ̇ = ̅ . . Jika tidak ada bagian real dari nilai eigen-nilai eigen matriks ̅ yang bernilai nol, maka sifat kestabilan Sistem 2.21 dapat dilihat dari Sistem 2.24 dan titik ̅ 27 disebut sebagai titik ekuilibrium hiperbolik. Definisi resmi mengenai titik ekuilibrium hiperbolik dapat dilihat pada Definisis 2.7 berikut. Definisi 2.7 Perko, 2001: 102 Titik ekuilibrium ̅ ∈ ℝ � disebut titik ekuilibrium hiperbolik dari Sistem 2.21 jika bagian real nilai eigen dari matriks ̅ tidak ada yang bernilai nol. Contoh 2.7 Akan dicari matriks Jacobian dari sistem 2.15 serta akan dilakukan identifikasi untuk masing-masing titik ekuilibrium. Pencarian titik ekuilibrium telah dilakukan pada Contoh 2.5 dan didapatkan titik ekuilibrium untuk sistem 2.15 adalah , � , , − � , −√ , � dan √ , � . Matriks Jacobian dari Sistem 2.25 adalah ̅ = [ � − � � − � � − + � � − + � ] = [ − − + ] Untuk ̅ = , � , � = [ ] Didapatkan nilai eigen dari , � yaitu | − − | = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = Bagian real pada nilai eigen tidak nol maka titik ekuilibrium ̅ = , � adalah titik ekuilibrium hiperbolik. 28 Untuk ̅ = , − � , − � = [ − ] Didapatkan nilai eigen dari , − � yaitu | − − − | = ⇔ − − − = ⇔ = ∨ = − Bagian real pada nilai eigen tidak nol maka titik ekuilibrium ̅ = , − � adalah titik ekuilibrium hiperbolik. Untuk ̅ = −√ , � −√ , � = [ − √ √ ] Didapatkan nilai eigen dari −√ , � yaitu | − − √ √ − | = ⇔ − − − − √ √ = ⇔ − + = ⇔ − − √ − + √ = ⇔ = + √ ∨ = − + √ Bagian real pada nilai eigen tidak nol maka titik ekuilibrium ̅ = −√ , � adalah titik ekuilibrium hiperbolik. Untuk ̅ = √ , � 29 √ , � = [ √ − √ ] Didapatkan nilai eigen dari √ , � yaitu | − √ − √ − | = ⇔ − − − − √ √ = ⇔ − + = ⇔ − − √ − + √ = ⇔ = + √ ∨ = − + √ Bagian real pada nilai eigen tidak nol maka titik ekuilibrium ̅ = √ , � adalah titik ekuilibrium hiperbolik.

G. Analisis Kestabilan