Model Matematika Predator-Prey Lotka-Voltera dan Fungsi Respon

13

C. Model Matematika Predator-Prey Lotka-Voltera dan Fungsi Respon

Persamaan Lotka-Volterra, juga dikenal sebagai sistem persamaan predator-prey karena persamaan ini menyatakan interaksi antara satu jenis predator dan satu jenis prey. Bentuk persamaan ini berupa sepasang persamaan differensial orde pertama dan non-linear. Persamaan ini adalah persamaan yang masih sederhana dengan asumsi dasar dari persamaan Lotka-Voltera yaitu populasi mengalami pertumbuhan dan peluruhan secara exponensial. Berikut sistem persamaan Lotka-Voltera Verhulst,1990:180 : = − 2.12 = − 2.13 Dalam dinamika populasi, fungsi respon mengacu pada peningkatan populasi pemangsa atau pengurangan populasi mangsa saat terjadi interaksi. Fungsi respon predator adalah tingkat predasi daya makan predator terhadap jumlah makananmangsa Holling, 1959:293-230. Sehingga fungsi respon berkaitan erat dengan peningkatan populasi predator atau pengurangan populasi prey saat saling berinteraksi. Pada tahun 1913, Michaelis dan Menten memperkenalkan sebuah fungsi respon dan pada tahun 1959, Holling menggunakan fungsi respon ini sebagai salah satu fungsi respon predator. Holling memperkenalkan 3 fungsi respon, yaitu fungsi respon tipe I, fungsi respon tipe II dan fungsi respon tipe III Ruan,S dan Xiao,D, 2001. 14 Fungsi respon tipe I terjadi pada predator dengan karakteristik pasif, dimana ketika populasi mangsa meningkat maka daya konsumsi predator pun meningkat. Contoh predator fungsi respon tipe I adalah laba-laba dengan serangga sebagai mangsa. Misal fungsi respon dinotasikan dengan � maka persamaan fungsi respon tipe I adalah Ruan,S dan Xiao,D, 2001 � = . Fungsi respon tipe II terjadi pada predator dengan karakteristik aktif dalam mencari mangsa dan predator memerlukan waktu untuk mencerna mangsa. Contoh predator fungsi respon tipe II adalah serigala dengan karibu sebagai prey. Persamaan fungsi respon tipe II adalah Ruan,S dan Xiao,D, 2001 � = + . Fungsi respon tipe III terjadi pada predator yang cenderung akan mencari populasi prey lain ketika populasi prey yang dimakan mulai berkurang. Contoh predator fungsi respon tipe III adalah rusa tikus mice deer dengan kepompong kupu-kupu sebagai prey. Persamaan fungsi respon tipe III adalah Ruan,S dan Xiao,D, 2001 � = + . Ketiga fungsi respon tersebut merupakan fungsi monoton naik. Berikut grafik dari ketiga fungsi respon tersebut Ruan,S dan Xiao,D, 2001 15 Gambar 2.1 Grafik Tiga Fungsi Respon Holling Selain ketiga fungsi respon monoton yang telah dikemukakan oleh Holling, menurut S. Ruan dan D. Xiao 2001, Monod dan Haldane menambahkan satu fungsi respon hasil penelitiannya. Fungsi respon ini didasari oleh adanya Interaksi antara predator dan prey yang tidak monoton, yaitu saat jumlah populasi mangsa meningkat, daya predasi pemangsa berkurang karena adanya sifat bertahan dari mangsa. Contoh interaksi seperti ini adalah singa dan banteng, ketika jumlah banteng sedikit maka tingkat konsumsi singa cenderung meningkat, namun ketika jumlah banteng meningkat sehingga pertahanan hidup kelompok banteng pun meningkat maka tingkat predasi singa menurun. Contoh lainnya adalah proses pada penjernihan air. Salah satu cara menjernihkan air adalah dengan memasukkan tawas ke dalam air tersebut membunuh sejumlah bakteri dalam air. Ketika bakteri dalam jumlah tertentu tawas dengan jumlah tertentu, dapat dengan mudah membunuh memangsa bakteri tersebut. Namun, ketika bakteri semakin banyak tawas akan semakin sulit membunuh bakteri, dan saat bakteri mencapai jumlah tertentu daya predasi tawas type 2 � type 3 type 1 16 terhadap bakteri cenderung semakin menurun. Persamaan fungsi respon tipe Monod-Haldane adalah Ruan,S dan Xiao,D, 2001 � = + + Menurut Shigui Ruan dan Dongmei Xiao, Sokol dan Howell 1980 juga meneliti tentang predator-prey yang bersifat tak monoton. Dalam penelitiannya, Sokol dan Howell menyatakan fungsi Monod-Haldane dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu Ruan,S dan Xiao,D, 2001 � = + Sokol dan Howell menyatakan bahwa model fungsi respon mereka secara signifikan lebih baik dan lebih sederhana karena hanya melibatkan dua parameter. Berikut grafik fungsi respon tak monoton Ruan,S dan Xiao,D, 2001 Gambar 2.2 Grafik Fungsi Respon Tak Monoton. D. Titik Ekuilibrium Titik ekuilibrium atau titik kritis merupakan solusi dari sistem ̇ = yang tidak mengalami perubahan terhadap waktu. Definisi tentang titik ekuilibrium akan dijelaskan pada Definisi 2.5 berikut ini, 17 Definisi 2.5 Perko, 2001: 102 Titik ̅ ∈ ℝ � disebut titik ekuilibrium atau titik kritis dari sistem ̇ = jika ̅ = . Contoh 2.5 Akan dicari titik ekuilibrium dari sistem berikut ini, ̇ = − ̇ = − + . Penyelesaian: Misalkan ̅ = ̅ , ̅ � adalah titik ekuilibrium dari Sistem 2.15 maka − = . − + = . Dari persaaan 2.16 didapatkan − = ⇔ ̅ = atau ̅ = Substitusi ̅ = ke persamaan 2.17 sehingga didapatkan + = ⇔ ̅ = atau ̅ = − Substitusi ̅ = ke persamaan 2.17 sehingga didapatkan − + = ⇔ = ⇔ ̅ = −√ atau ̅ = √ 18 Jadi sistem 2.15 memiliki 4 titik ekuilibrium yaitu , � , , − � , −√ , � dan √ , � . E. Nilai Eigen dan Vector Eigen Definisi 2.6 Anton, 1991: 277 Jika A adalah matriks × , maka vektor tak nol x didalam ℝ � dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni = . untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Selanjutnya untuk mencari nilai-nilai eigen dari matriks A, Persamaan 2.18 dapat ditulis menjadi = ⟺ = ⟺ − = ⟺ − = . dengan I adalah matriks identitas. Menurut Howard Anton 1991: 278 supaya menjadi nilai eigen maka harus ada pemecahan tak nol dari Persamaan 2.19. Persamaan 2.19 akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika − = . . Persamaan 2.20 disebut persamaan karakteristik dari A, sedangkan skalar yang memenuhi persamaan 2.20 adalah nilai eigen dari A. 19 Contoh 2.6 Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A berukuran × berikut, = [− − ] akan dicari nilai-nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A. a. Nilai eigen dari matriks A − = [− − ] − [ ] = [− − ] − [ ] = [− − − − ] Sehingga diperoleh persamaan karakteristik dari yaitu, − = ⇔ |− − − − | = ⇔ − − − − − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ = − ∨ = Jadi nilai-nilai eigen dari matriks A yaitu = − dan = . b. Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen matriks A. Untuk = − [− − − − ] [ ] = [− − ][ ] = 20 {− − = + = Persamaan − − = ekuivalen dengan = − , misalkan = maka = − . Sehingga = [ ] = [− ] jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = − adalah [− ]. Untuk = [− − − − ] [ ] = [− − ][ ] = {− − = + = Persamaan + = ekuivalen dengan = − , misalkan = maka = − . Sehingga = [ ] = [− ] jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah [− ].

F. Linearisasi Sistem Persamaan Nonlinear