Aplikasi Analisa Pelat Kontiniu Pada Bangunan

(1)

TUGAS AKHIR

APLIKASI ANALISA PELAT KONTINIU PADA

BANGUNAN

Diajukan untuk melengkapi tugas – tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh

Ujian Sarjana Teknik Sipil

Disusun Oleh MAROLOP NABABAN

01 0404 035

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

M E D A N

(2)

KATA PENGANTAR

Dengan nama Tuhan Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang

penulis memanjatkan puji dan syukur dapat menyelesaikan tugas akhir ini

dengan baik.

Tugas Akhir ini disusun untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi

syarat untuk menempuh ujian sarjana pada Fakultas Teknik Departemen

Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

Adapun judul tugas akhir yang diajukan ini adalah :

ANALISA APLIKASI PELAT KONTINIU PADA BANGUNAN

Selesainya tugas akhir ini tidak terlepas dari berbagai pihak. Atas

segala bantuan dan bimbingan tersebut, penulis mengucapkan banyak

terima kasih yang sebesar besarnya kepada :

1. Bapak DR. Ing. Johannes Tarigan, selaku pembimbing

2. Bapak Dr. Ir. Bachrian Lubis, Msc, Ketua Departemen Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara

3. Bapak Dr.Ir, A. Perwira Mulia Tarigan, Msc , Sekretaris Jurusan Teknik

Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara

4. Bapak/Ibu staf pengajar di Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik

Universitas Sumatera Utara

5. Orang tua, kakak, adik dan teman-teman saya yang telah memberikan

(3)

Penulis menyadari bahwa penulisan tugas akhir ini masih jauh dari

sempurna oleh karena keterbatasan pengetahuan dan referensi yang

dimiliki. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik demi perbaikan

di masa-masa mendatang.

Semoga Tugas akhir ini dapat memberikan manfaat bagi kita

semua, khususnya Ilmu teknik sipil.

Medan, November 2007

Hormat Penulis

Marolop Nababan (01 0404 035)

(4)

ABSTRAK

Akhir-akhir ini dalam pembangunan suatu konstruksi, telah benyank yang menggunakan rangka baja sebagai balok dan kolom pada bangunan bertingkat. Dan pelat yang ditumpukan pada propil baja akan bersifat seperti sendi dimana sepanjang bentangan pelat akan saling berpengauh satu sama lain hingga batas tertentu, dengan hal tersebut diatas disebut dengan pelat kontiniu.

Oleh karena itu pada perencanaan atau mendesain pelat kontiniu harus dipertimbangkan pengaruh pembebabanan dan penambahan jumlah bentangan pelat yang sangat mempengaruhi besarnya momen pada pelat kontiniu tersebut, dengan demikian desain tulangan juga akan berubah.

Dengan cara analisis (metode M. Levy), dan dengan menentukan satu bentangan yang ditinjau kita dapat memperoleh besarnya momen tumpuan, momen lapangan dan lendutan pada bentangan tersebut, kemudian jumlah bentangan akan tetap ditambah dengan tujuan untuk mengetahui besar pengaruh penambahan bentangan tersebut terhadap bentangan yang ditinjau apakah menambah atu mengurangi besarnya momen dan lendutan dari kondisi awalnya.

Bentangan yang berdekatan akan saling mengurangi besarnya momen dan bentangan yang berjauhan akan saling menambah, maka dengan demikian momen yang paling maksimum bukan pada pembebanan di sepanjang bentang melainkan pembebanan pada bentangan yang saling berjauhan.

(5)

DAFTAR NOTASI

a, b Panjang Pelat Sisi x dan y

D Kekakuan Pelat

E Modulus Elastisitas

h Ketebalan Pelat

q0 Beban merata

Mx, My Momen lentur Per Satuan Panjang Pada Bidang x, y Nx, Ny Gaya Normal Per Satuan panjang pada Bodang x, y Nxy Gaya Geser Per Satuan panjang pada Bidang x sejajar

sumbu y

Qx, Qy Gaya Lintang pada Bidang x, y

y x ∂

∂

∂∂ , Operator Differensial Parsial

x, y , z Regangan Normal pada Bidang x, y, z n Regangan Normal

v Poisson ratio

z y x σ σ

σ , , Tegangan Normal pada bidang Normal x, y, z n

σ Tegangan Normal w Lendutan Pelat

(6)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………..i

ABSTRAK...ii

DAFTAR NOTASI……….…………iii

DAFTAR ISI………..…….iv

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang………...1

1.2. Perumusan Masalah………..….2

1.3. Maksud dan Tujuan Penulisan………...6

1.4. Pembatasan Masalah………...6

1.5. Metode Penulisan………..…….7

BAB II TEORI DASAR 2.1. Umum………....8

2.2. Variasi Tegangan di dalam……… ……….….11

2.3. Persamaan Differensial Pelat....….………..……12

2.4. Syarat batas……… ……...……13

2.5. Pelat Persegi Panjang Yang Kontiniu……….…..…15

2.6. Pelat Kontiniu Yang Menerus Pada satu Arah……….. .…..16

(7)

BAB III ANALISA PELAT KONTINIU

3.1. Analisa Pelat Kontiniu Metode M.Levy………...19

3.1.1. Pelat Persegi Panjang yang Ditumpu Secara Sederhana………19

3.1.1.1. Pelat Mengalami Beban Vertikal Merata… ...21

3.1.2. Pelat Persegi Panjang Dengan Berbagai Kondisi Tepi……….……… …25

3.1.3. Pelat Persegi Panjang Yang Ditumpu Secara Terjepit…..………….……….……30

3.1.2.1. Pelat Mengalami Beban Vertikal Merata.... ..33

3.2 Pelat Kontiniu Dengan Tumpuan Sederhana...……… .38

3.2.1. Pembebanan simetris…………..……….39

3.2.2. Pembebanan Tidak simetris ……… ...42

3.2.3. Pembebanan Di Sepanjang Bentang….……… .46

BAB IV APLIKASI 4.1. Momen Pelat Pada Tumpuan Sederhana………..51

4.2. Momen Pelat Menurut Lendutan ………… ……….55

4.3. Momen Tumpuan……… ………71

4.4. Momen Lapangan….. ………..71

(8)

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan………73

5.2. Saran………..73

DAFTAR PUSTAKA………75

(9)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pelat adalah struktur plan al kaku yang secara khas terbuat dari material monolit yang tingginya kecil dibandingkan dengan dimensi-dimensi lainnya. Beban yang umum bekerja pada pelat mempunyai sifat banyak arah dan tersebar, sejak digunakannya beton bertulang modern untuk pelat, hampir semua gedung menggunakan material ini sebagai element pelat.

Struktur bangunangedung umumnya tersusun atas komponen pelat lantai, balok anak, balok induk, dan kolom yang umumnya dapat merupakan menjadi satu kesatuan monolit atau terangkai seperti halnya sistem pracetak. Pelat juga digunakan untuk atap, dinding, jembatan atau pelabuhan.

Pelat dapat dibagi menjadi dua bagian yaitu pelat satu arah dan pelat dua arah, pelat dapat dianggap hanya bekerja sebagai pelat satu arah dengan lenturan utama hanya bekerja pada arah sisi yang lebih pendek. Sedangkan pelat dua arah adalah apabila keempat sisinya di dukung.

Disetiap pembangunan gedung kekuatan pelat sangat perlu diperhatikan, karena pelat juga berpungsi untuk kekakuan struktur dan juga berguna untuk menahan gaya horizontal yang terjadi pada bangunan tersebut. Efisiensi struktur dapat ditingkatkan dengan menambah banyak tumpuan tepinya.jadi, pelat bujur sangkar yang terletak pada keempat tepinya secara menerus bersipat lebih kaku dibandinkan dengan yang terletak hanya terletak pada dua tumpuan sederhana.

(10)

Perilaku pelat yang ditumpu secara menerus hampir sama dengan pelat yang ditumpu sederhana, hanya saja aksi internal terjadi pada ke dua arah yang saling tegak lurus bukan hanya pada satu arah.

Selain pelat satu arah dan pelat dua arah ada yang dinamakan pelat kontiniu (pelat menerus). Disebut sebagai pelat kontiniu adalah apabila di sepanjang bentang yang ditumpu pada beberapa tumpuan dengan batasan tertentu, akan saling berpengaruh namun hal tersebut biasaya hanya terjadi jika tumpuannya adalah tumpuan sederhana (sendi). oleh karena perilakunya seperti tersebut di atas maka untuk mendesign pelat kontiniu ini harus berhati-hati.

Pada pembahasan ini yang perlu dianalisa adalah besar pengaruh beban hidup terhadap satu titik yang ditentukan, dan sejauh mana beban tersebut tidak berpengaruh lagi pada titik itu.

1.2 Perumusan Permasalahan

Untuk mempermudah dan mempercepat pekerjaan, akhir-akhir ini sudah banyak bangunan bertingkat dengan menggunakan konstruksi rangka baja dan konstruksi ini pada umumnya menggunakan pelat kontiniu (pelat menerus). Oleh karena itu perlu dianalisa besar momen tumpuan, momen lapangan dan depleksi akibat pengaruh beban hidup, yang dibebani dengan beberapa kondisi terhadap titik tertentu yang diambil sebagai titik acuan dan sejauh mana beban hidup tersebut tidak berpengaruh lagi terhadap titik yang ditentukan sebelumnya. Dan hal tersebutlah yang mendasari penulis untuk membuat suatu analisis dengan judul: “Aplikasi Analisa Pelat Kontiniu Pada Bangunan”

(11)

Yang menjadi pokok permasalahan disini adalah untuk menganalisa perilaku pelat kontiniu yang ditumpu pada profil WF yang berpungsi sebagai balok atau sebagai pertletakan pelat tersebut, seperti terlihat pada Gambar 1.1 di bawah:

Gambar 1.1

Dengan kondisi perletakan pelat kontiniu seperti Gambar 1.1 dapat bersipat seperti sendi maka dengan demikian modelnya dapat digambarkan seperti Gambar 1.2 di bawah:

Gambar 1.2

Adapun rumus dasar yang digunakan umtuk menghitung momen pada pelat yang dibebani secara merata di atas bentang pelat adalah sebagai berikut:

2 ₄2

4 2 2

2 4 4

2 4

= +

y w y

x w x

δ δ δ δδ δ

Dari hasil penurunan rumus di atas didapat rumus untuk menghitung momen seperti di bawah:

( )

[

]

a x m A

v B

v m a

q m

a q M x

m m

m y

π

2 (1 ) sin

1 4

.. 5 , 3 , 1

2 2

2 0 3 3 2 0

0= ∑ − ∑ − −

∞ = ∞

Sedangkan rumus untuk menghitung momen pada pelat kontiniu akibat beban sendiri dan jarak antar tumpuan adalah sama dapat dilihat seperti di bawah:

(Mx)0 = (My)0 = 0,044qa2

Dalam permasalahan ini yang akan dianalisa adalah menghitung momen tumpuan, momen lapangan dan depleksi pada suatu bentangan pelat kontiniu pada suatu konstruksi baja portal bertingkat yang ditentukan sebagai bentangan yang akan ditinjau , seperti Gambar 1.3 di bawah:

(12)

C A B D

a a a

Gambar 1.3

Dengan kondisi seperti di Gambar 1.3 akan dicari momen lapangan pada bentangan AB dan momen tumpuan pada perletakan sendi. kemudian jumlah bentangan pelat akan tetap ditambah dengan bentuk dan besar pembebanan yang sama dan akan dianalisa pengaruh penambahan jumlah bentangan dan beban tersebut terhadap bentangan AB kondisi tersebut dapat dilihat pada Gambar 1.4 di bawah:

(13)

Kondisi 2

Kondisi 3

a a a a a

Gambar 1.4

Dan dengan kondisi pembebanan yang sama seperti terlihat pada Gambar.1.4, jumlah bentangan pelat akan tetap ditambah secara kontiniu dimana jarak antar tumpuan atau panjang setiap satu bentangan adalah sama setiap penambahan jumlah bentangan dengan demikian dan di sini akan dianalisa seberapa besar pengaruh setiap penambahan jumlah bentangan, dan sejauh mana panjang bentang pelat sudah tidak mempengarhi lagi terhadap bentang AB tersebut.

1.3 Maksud dan tujuan penulisan

Maksud dan tujuan penulisan Tugas Akhir ini adalah :

(14)

b. Mengetahui besar momen lapangan pada bentangan yang ditinjau dengan kondisi yang berbeda.

c. Memengetahui lendutan pada bentangan yang diinjau dengan kondisi yang berbeda. d. Mengetahui momen tumpuan pada bentangan yang ditinjau.

e. Membandingkan momen dan lendutan pada bentangan yang ditinjau untuk semua kondisi.

f. Untuk mengetahui sejauh mana penambahan jumlah bentangan sudah tidak mempengaruhi bentangan awal (AB) tersebut.

1.4 Pembatasan Masalah

Dalam penulisan tugas akhir ini batasan–batasan yang dipergunakan adalah

a. Konstruksi baja portal bertingkat seperti Gambar. 1.3

b. Jarak setiap antar tumpuan 4 meter.

c. Pelat berbentuk berbentuk persegi. Tebal pelat lantai 15 cm. dan lebar pelat adalah 4 meter.

d. Pelat tipis dengan lendutan kecil.

e. Sistem pembebanan pada lapangan maximum yang merata diseluruh bentangan pelat (Sinusoidal).

f. Pelat beton bertulang, mutu beton K300.

g. Pembebanan pada struktur disesuaikan menurut Tata Cara Pembebanan untukRumah dan Gedung

h. Panjang bentang pelat adalah sejauh beban hidup tidak berpengaruh lagi terhadap bentangan yang ditinjau.

(15)

1.5 Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah Metode Analitis dan didasarkan pada beberapa literatur yang berhubungan dengan masalah tersebut.

Metode Analitis

Dalam perhitungan dan analisa pelat persegi panjang ini dipergunakan metode

M.Levy untuk mencari lendutan dan momen yang terjadi didalam pelat akibat beban hidup pada perletakan sendi.

(16)

BAB II

TEORI DASAR 2.1. Umum

Pelat lantai pada bangunan, merupakan bagian struktur yang terpasang

mendatar dan berfungsi sebagai tempat berpijak bagi penghuni yang ada diatasnya.

Pelat lantai pada umumnya mempunyai ketebalan yang ukurannya relatif kecil bila

dibandingkan dengan panjang bentangnya sehingga sifat kaku dari pelat lantai

kecil. Akibat kekakuan yang kecil ini akan mengakibatkan lendutan yang besar.

Lendutan yang besar ini harus dicegah agar pelat lantai dapat memberikan

kenyamanan berpijak bagi penghuninya.

Alternatif untuk memperbesar kekakuan pelat lantai sehingga menambah

kekakuan adalah sebagai berikut :

1. Menambah ketebalan pelat. Namun cara ini tidak ekonomis dan dapat

mengakibatkan pertambahan berat struktur sendiri.

2. Mengurangi lebar bentangan pelat dengan memberi balok–balok silang berupa

balok induk dan balok anak. Secara umum ini banyak digunakan karena

kepraktisanya dalam analisis dan pelaksanaannya.

3. Memanfaatkan bentuk atau sistem kisi–kisi (grid structur) yang lebih dikenal

dengan dengan istilah struktur grid. Struktur ini digunakan pada bentangan

besar, karena bentuknya dapat sesuai dengan selera maka dapat menjadi plafon

hiasan yang indah dan artistik.

Pelat dan shell pada mulanya adalah suatu elemen struktur bidang rata

(17)

Pz(x,y)

x z

Momen Puntir

Gaya Geser Transversal Momen

Lentur

dx dy

Momen Lentur

Ketebalan suatu pelat biasanya diukur pada arah normal sumbu (garis berat)

pelat. Klasifikasi pelat atas dasar aksi strukturalnya sebagai berikut :

1. Pelat Kaku, merupakan pelat yang kaku dan memikul beban dengan

memikul aksi dua dimensi, terutama dengan Momen dalam (lentur dan

puntir) dan gaya geser transversal, yang umumnya sama dengan balok.

Pelat kaku dibedakan atas :

a. Pelat tipis dengan lendutan kecil, yakni pelat dengan persyaratan

lendutan maksimum sebesar 1/10 sampai 1/5 tebal pelat, atau lendutan

maksimum lebih kecil dari 1/50 bentang terpendek.

b. Pelat tipis dengan lendutan besar, yakni pelat dengan persyaratan

lendutan maksimum lebih besar dari 1/5 tebal pelat atau lebih besar

dari 1/50 bentang terpendek

Gambar 2.1 Pelat Kaku

2 Membran, merupakan pelat tipis tanpa ketegaran lentur dan memikul

(18)

Gaya Axial

dy h

Gaya Axial

Gaya Geser Transversal

Momen lentur

Gaya Geser Pusat Gaya Axial

dx dy

Gaya Axial

Gaya Geser Pusat

diambil potongan seluas dx.dy seperti diatas maka dapat dilihat gaya –

gaya dalam seperti gambar dibawah ini.

Gambar 2.2 Potongan elemen Membran

.3. Pelat Flexibel, merupakan gabungan dari pelat kaku dan membran, dan

memikul beban luar dengan gabungan aksi momen dalam, gaya geser

transversal, dan gaya geser pusat dan gaya axial. Pelat ini mempunyai

keuntungan karena perbandingan berat dengan bebannya menguntungkan

atau pelat lebih ringan. Jika diambil potongan seluas dx.dy seperti diatas,

maka dapat dilihat gaya – gaya dalam seperti dibawah ini.

Gambar 2.3 Potongan elemen plat flexible

4 Pelat Tebal, Teori pendekatan dari pelat tipis ternyata tidak berlaku untuk

pelat yang dianggap tebal. Dalam hal ini teori pelat tebal harus diterapkan.

(19)

dimensi. Analisa tegangan lebih berperan, dan sampai sekarang

permasalahan tersebut dapat terpecahkan sepenuhnya hanya untuk

beberapa hal khusus.

Gambar 2.4 Elemen tiga dimensi

2.2. Variasi Tegangan di dalam Pelat

Komponem tegangan pada pada umumnya berubah dari titik ketitik lainya pada

suatu pelat yang diberi beban. Perubahan atau variasi ini disebabkan oleh

pengaruh keseimbangan statis antara komponem – komponem tegangan. Untuk

memenuhi keadaan ini perlu dibuat suatu hubungan seperti dalam persamaan

keseimbangan.

Perhatikan suatu elemen pelat kecil dx dy yang memikul beban terbagi

merata persatuan luas p (gambar 2.5). Untuk penyederhanaan, diasumsikan gaya

dan momen yang bekerja pada sisi penampang terdistribusi merata sepanjang sisi

(20)

h/2 h/2

z, w

x, u

y, v

dx x Mx Mx

δ δ

dx x M xy M xy

δ δ

dy y Myx Myx

δ δ

dy y Qy Qy

δ δ

dy y My My

δ δ

Qy Qy

dx x Qx Qx

δ δ

Mxy

Myx

Gambar 2.5 Komponem Gaya dan Momen Elemen Pelat

2.3. Persamaan Differensial Pelat

X Z

Y Qx

Untuk pelat tanpa normal :

Nx =Ny = Qxy=Qyx = 0

x = 0 + −Q =0

x M y

x x yx

δ δ δ

δ _(2.1)

y = 0 − +Q =0

y M x

y y xy

δ δ δ

δ _(2.2)

z = 0 + +q=0

y Q x

Qx y

δ δ δ

δ _(2.3)

Qyx

Qxy

Mxy Mx

My Myx

(21)

Dimana :     ₊ − = y w v x w D Mx δ δ δ δ 2 2 2 2     ₊ − = x w v y w D My δ δ δ δ 2 2 2 2 (2.4)

( )

y x w v D M Mxy yx

δ δδ. 1 2 − = − = (2.5)     ₊ − = x w y w y D Q_y δ δ δ δ

δδ 2

2 2 2

Persamaan (2.1) dan (2.2) dimasukan ke (2.3)

q y x M y M y y x M x

Mx+ yx+ − XY −

δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 2 2 2 2 2 2 M Myx=− xy

Maka : q

y x M x M x

Mx+ y− XY =

δ δ δ δ δ δ

δ 2 2

2 2

2 (2.6)

Persamaan (2.4) dimasukan ke (2.5), maka berlaku persamaan differensial pelat

sebagai berikut :

    ₊ − = y w x w x D Q_x δ δ δ δ

δδ 2

2 2 2

(22)

D q y

w y

x w x

= +

+ 4

4 2 2

4 4

δ δ δ δδ δ

δ _(2.7)

2.4. Syarat batas

Distribusi tegangan pada pelat tidak terlepas dari syarat batas (Boundary

Condition), antara lain gaya dan perpindahan. Pada persamaan differensial

kesetimbangan pelat dibutuhkan dua syarat utama pada masing – masing tepi

yaitu lendutan dan rotasi atau gaya dan momen atau kombinasi diantaranya.

Perbedaan yang mendasar antara syarat batas pelat dan balok adalah momen

puntir (torsi) disepanjang tepi pelat.

Beberapa kondisi batas suatu pelat persegi panjang, dimana sumbu x dan y

diambil sejajar dengan sisi pelat, yaitu :

1. Tepi terjepit

Jika tepi suatu pelat terjepit, lendutan disepanjang tepi itu adalah nol,

dan bidang singgung permukaan tengah yang dilenturkan sepanjang tepi ini,

berimpit dengan posisi awal bidang tengah pelat. Dengan mengasumsikan

bahwa tepi yang terjepit terdapat pada x = a, kondisi batasnya dinyatakan

sebagai berikut:

( ) 0 ;  =0

     =

= =

a x a

x w w

δ δ

x=a

δ δω

(23)

2. Tepi yang ditumpu secara sederhana

Jika tepi pelat sejauh x = a ditumpu secara sederhana, lendutan w

sepanjang tepi pelat harus sama dengan nol. Namun tepi ini dapat berputar

bebas terhadap garis tepi. Jadi tidak terdapat momen – momen lentur

sepanjang tepi ini. Kondisi batasnya dinyatakan sebagai berikut :

( ) 0 ; ₂ 0

2 2

=   

 ₊

= =

a x a

y w v x

w w

δ δ δ

3. Tepi yang bebas

Jika pelat ternyata bebas ( sejauh x = a ), maka dianggap wajar bahwa

pada tepi ini tidak terdapat momen lentur, momen puntir, serta tidak terdapat

gaya geser juga. Jadi kondisi batasnya sebagai berikut :

( )

₂ 0

2 2 2

=   

 ₊_∂

− =

=a x a

x x

y w x

w D M

δ δ δ

( )

(1 ) ₂ 0

=     ∂ − − =

=a x a

x xy

y w D

_{( )}

₀

2 2 2 2

=   

 ₊

− =

=a x a

x x

y w x

w x D M

δ δ δ δ δδ

x=a

δ δω

Gbr.2.7 Tepi sederhana

x=a

(24)

BAB III

ANALISA PELAT KONTINIU

3.1 Pelat Persegi Panjang Yang Kontuniu

Untuk menghitung momen pada pelat kontiniu (menerus) adalah dengan cara menghitung momen tumpua n dan momen lapangan pelat persegi panjang yang ditumpu secara sederhana,dan dilenturkan oleh lendutan yang ditumpu secara terjepit dan momen tumpuan yaitu pada tumpuan antara dapat di hitung dengan cara yang sama pada pelat persegi panjang yang ditumpu secara terjepit yang dilenturkan oleh lendutannya, kemudian momen lapangan pada pelat kontiniu dapat dihitung dengan menjumlahkan momen tumpuan dengan momen lapangan yang disebut di atas.

3.1.1 Pelat Persegi Panjang yang di tumpu secara sederhana

Gambar 3.1 Pelat Persegi Panjang yang di tumpu secara sederhana

b/2 b/2

(25)

Penyelesaian persamaan differensial pelat tipis yang ditumpu sederhana yang dibebani dengan sinusoidal yang didistribusikan keseluruh permukaan pelat, yang dinyatakan oleh persamaan :

a x m m q

π

sin

1 4

5 , 3 , 1 0

∑

= ∞

= (3.1)

Dimana q menggambarkan intensitas beban pada pusat pelat, sehingga persamaan differensial lendutan pelat :

a x m m D

q y

w y

x w x

π

δ

4 1 _sin

5 , 3 , 1 0 4

4 2 2

4 4

∑ =

+ ∞

= (3.2)

Untuk syarat batas tepi yang ditumpu sederhana :

W = 0 ₂ 0

x w

δ _{untuk x = 0 dan x = a}

W = 0 untuk

b y=±

Kondisi batas akan memenuhi bila kita menggunakan persamaan lendutan :

a x m Y

w m

π

sin

∑

= ∞ (3.3)

karena pelat kontiniu ini menerus maka akan ada momen tumpuan pada tumpuan antara yang dapat kita hitung dengan rumus-rumus yang ada dimana prinsipnya sama dengan prinsip pada balok kontiniu.

(26)

3.1.1.1Pelat mengalami Beban Vertikal Merata

Gambar 3.2Pelat mengalami Beban Vertikal Merata

Dalam menerapkan metode Levy pada beban terbagi rata dan pelat ditumpu sederhana, dapat dilakukan penyederhanaan lebih lanjut dengan mengambil penyelesaian

persamaan pelat

y w y

x w x

δ δ δ δδ δ

4 4 2 2

4 4

2 +

+ dalam bentuk :

W = w1 + w2

dan dengan mengambil :

(

_x _ax _a x

)

D q

w1 0 4 2 3 3

24 − +

dimana w1 menggambarkan lendutan lajur sejajar terhadap sumbu x dan dibebani secara merata dan memenuhi syarat batas ( tepi x=0 dan a=0). Sehingga persamaan w2 harus memenuhi persamaan :

2 ₄2

4 2 2

2 4 4

2 4

= +

y w y

x w x

δ δ δ δδ δ

δ _(3.4)

Substitusi persamaan (3.3) ke persamaan (3.4) sehingga diperoleh : x

b/2 b/2

(27)

0 sin 2 1 4 4 4 2 2 2 = ∑∞_ − + _ = a x m Y a m Y a m Y m m II m IV

m π π π (3.5)

atau : 0 2 ₄ 4 4 2 2 2 = + − Y a m Y a m Y m II m IV

m π π

Penyelesaian persamaan umum persamaan ini adalah ;

      ₊ ₊ ₊ = a y m a y m D a y m C a y m B a x m A D a q

Ym mcosh

π

msinh

π

cosh

π

2 0

(3.6)

Dengan mengamati bahwa permukaan lendutan pelat adalah simetris terhadap sumbu x, maka hanya fungsi genap y dalam persamaan (3.6) yang kita pertahankan dan mengambil konstanta-konstanta integrasi Cm = Dm=0.

Sehingga persamaan lendutan w :

(

)

m_ax

a y m a y m B a y m A D a q x a ax x D q w m m m

π

_sinh _sin

cosh 2 24 1 4 0 3 3 4 0 ∑       ₊ + + − = ∞ =

Konstanta Bm dan Am dapat ditentukan dari syarat batas

W = 0 ₂ 0

2 = y w δ δ

Terlebih dahulu kita mengubah persamaan w1 menjadi bentuk deret trigonometri

a x m m D a q w m

π

sin 1 4 5 5 4 0

1= ∑

∞ a x m a y m a y m B a y m A m D a q w m m

π

cosh sinh sin

4 1 5 5 4 0 ∑       ₊ ₊ = ∞

(28)

jika

dari syarat batas kita dapat menentukan konstanta – konstanta

_B

_m dan

_A

(

)

α π α α m m m m m A cosh 2 tanh 2 5 + = α π m m m B cosh 2 5 5 =

Substitusi nilai Bm dan Amke persamaan (3.7) sehingga :

a x m b y b y b y D a q w m m m m m m m m

m

α

π

sinh sinh

2 cosh 2 cosh cosh 2 2 tanh 1 1

2

5 , 3 , 1 5 5 4 0         + + − =

∑

∞ =

Lendutan maksimum terjadi pada tengah pelat (x = a/2, y = 0 ) ( )       ₋ + ∑ − = ∞ = −

α

π

m m m m m maks m D a q w cosh 2 2 tanh 1 ) 1 ( 4 1 5 2 / 1 5 4 0 (3.8)

Persamaan (3.8) dapat disederhanakan :

( )

α

π

m m m m m maks m D a q D a q w cosh 2 2 tanh ) 1 ( 4 4 384 5 1 5 2 / 1 5 4 0 4 0 + ∑ − − = ∞ = − (3.9) sehingga : D a q wmaks 4 0

α

Dengan metode superposisi kita dapat mencari momen dari nilai-nilai w1 dan w2 sebagai berikut :

    ∂ + − = y w x w D Mx δ δ δ δ 2 2 2 2     ∂ + − = x w y w D My δ δ δ δ 2 2 2 2

dari nilai w1 diperoleh momen-momen :

α π m a b m = 2

(29)

∑ = ∞ m x m a q

M 3 3

2 0

1 1

π

= ∑

∞ m y m a vq

M 3 3

2 0

1 1

π

(3.10)

dari nilai w2 diperoleh momen-momen :

( )

m_ax

a y m v v a y m a y m B a y m A m a q v M m m m

π

cos

π

sin

π

1 2 sin cosh 1 1 2 2 2 0 11 ∑ _ _      − − + − = ∞ =

( )

m_ax

a y m v v a y m a y m B a y m A m a q v M m m m

y π π π π cos π sin π

1 2 sin cosh 1 1 2 2 2 0 11 ∑ _ _      − + + − = ∞

= (3.11)

Momen lentur total diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (3.10) dan (3.11). Persamaan momen sepanjang sumbu x adalah :

( )

[

]

a x m A v B v m a q m a q M x m m m m y

π

2 (1 ) sin

1 4 .. 5 , 3 , 1 2 2 2 0 3 3 2 0

0= ∑ − ∑ − −

∞ = ∞

( )

[

]

m_ax

A v B m a q m a vq M y m m m m y

π

2 (1 ) sin

1 4 .. 5 , 3 , 1 2 2 2 0 3 3 2 0

0= ∑ − ∑ + −

∞ = ∞

(30)

3.1.2 Pelat Persegi Panjang Dengan Berbagai Kondisi Tepi

Gambar.3.3

Marilah kita tinjau suatu pelat persegipanjang yang ditumpu sepanjang tepi-tepinya dan dilenturkan oleh momen-momen yang dibagi sepanjang tepi y = ±b/2 ( Gambar.3.3). lendutan w harus memenuhi persamaan difreisial homogen.

D q y

w y

x w x

= +

+ 4

4 2 2

4 4

δ δ δ δδ δ

δ _(a) dan kondisi batas seperti berikut ini:

ω ₂ 0

x

δ

untuk x = 0 dan x = a (b)

ω untuk

b y=±

( )

1 2 / 2 2

f y

b y

=    

∂ ∂ −

ω ₂

( )

2 / 2 2

f y

b y

= 

  

∂ ∂ −

− =

) (

2 χ f

) (

1 χ f

(31)

Dimana f dan 1 f menggambarkan distribusi momen lentur sepanjang tepi 2

y=± . Kita

tulis persamaan (a) dalam bentuk deret:

∑

∞₌

sin m

a y m

y π

ω (d)

Setiap suku deret ini memenuhi kondisi batas (b), seperti yang telah kita lakukan sebelumnya, dan fungsi Ym kita tulis dalam bentuk,

   



 ₊ ₊ ₊

a y m a

y m a

y m

D

C

B

A

Y

m m m m m

π π

cosh sinh

cosh

sinh (e)

Yang memenuhi persamaan (a)

Untuk menyederhanakan pembahasan ini, kita mulai dengan dua buah kasus yang khusus:

1. Kasus imetris dimana

( )

2 / 2

/ y y b b

y M

M ₌₋ = ₌

2. Kasus antisimetris dimana

( )

2 / 2

/ y y b

b y

y M

M ₌ =− ₌₋

Kasus umum dapat diperoleh dengan mengkombinasikan kedua kasus khusus tersebut.

1. Kondisi simetris

Dalam kasus simetri Ym harus merupakan suatu fungsi yang genap dari y, dan di

sini perlu untuk mengambil A_m =D_m =0dalam persamaan (e). kemudian, kita peroleh dari persamaan (d),

a y m a

y m a

y m C a

y m B

m m

π π

ω cosh sinh sin

∑

∞₌ 

  



 ₊

= (f)

Agar memenuhi kondisi (b), kita harus mengambil, 0

sinh cosh∝_m + _m ∝_m ∝_m=

m C

(32)

Dimana: a b m m 2 π α = Maka : m m m m C

B =− ∝ tanh∝

Dan lendutan pada kasus simetri ini adalah:

a x m a y m a y m a y m

w m m

m m

C

π sinh π α tanhα cosh π sin π

1     ₋ =

∑

∞ = (h)

kita pergunakan kondisi batas (c) untuk menetapkan konstanta-konstanta C , dengan _m

menggambarkan distribusi momen lentur sepanjang tepi

y =± dalam bentuk trigonometrik, pada kasus simetri kita dapatkan,

a x m E x f x f m m π sin ) ( ) ( 1 2

1 = = ∑

∞ =

dengan mensubsitusikan persamaan (h) dan (i) dalam kondisi (c) akan kita peroleh,

a x m E a x m C a m D m m m m

m α π π

π _cosh _sin _sin

2 1 1 2 2 2 ∑ = ∑ − ∞ = ∞ = dari sinidapat α π m m m m D E a C cosh

2 2 2

2 − = dan     ₋ =

∑

∞ = a y m a y m a y m E a m D a m m m m m m

m

E

w

π π π

πχ

α

π

cosh tanh cosh sinh

sin 2 5 , 3 , 1 2 2 1

2

(3.13)

(33)

2. kondisi Antisimetris

Asumsi awal a x m x x m m

E

f

( ) ( ) sin π

1 2 1

∑

∞ = = − =

Dalam hal ini, permukaan lendutan merupakan suatu fungsi ganjil y, dan harus kita ambil B_m =C_m =0 pada persamaan (e), oleh karena itu didapat:

a x m a y m a y m D a y m A

w m m

π π

π _cosh _sin

sinh 1     ₊ =

∑

∞ =

Selanjutnya dengan kondisi batas (b) , A_msinhα_m +D_mα_mcoshα_m =0 Dimana : m m m m A D α α tanh 1 − = Maka didapat a x m a y m a y m a y m A w m m m

m α π π π

π 1 _tanh _sinh _sin

sinh 1     ₋ ∑ = ∞ =

Konstanta A diperoleh dari kondisi (c), yang selanjutnya memberikan _m

a x m E a x m m A a D m m m m m m

m α α π π

π _sinh _tanh _sin _sin

2 1 2 1 2 2 ∑ = ∑ ∞ = ∞ = Maka m m m m m m E D a A α αα

π sinh tanh

2 2 2

Dari sini didapat persaman,

a m a y m a y m a y m m E D a m m m m m

w

_π _α α sinhα sinh π π cosh π sin πχ

sinh 2 1,3,5 2

2 2 1     ₋ =

∑

∞ = (3.14)

(34)

Kita dapat memperoleh permukaan lendutan pada kasus umum yang digambarkan oleh kondisi batas (c), dari persamaan (3.13) dan (3.14) untuk kasus-kasus simetris dan antisimetris. Untuk mencapai tujuan ini, kita pecah momen yang telah ditentukan atas distribusi momen simetri M_y' dan distribusi momen tak simetris M"_y seperti berikut :

[

( ) ( )

]

2 1 ) ( )

( /2 1 2

' 2 /

' χ χ

f f

My y=b = y y=−b = +

[

( ) ( )

]

2 1 ) ( )

(M_y" _y₌_b_/₂ =− M_y" _y₌₋_b_/₂ = f₁ χ − f₂ χ

Momen –momen ini dapat ditulis lagi seperti sebelumnya dengan deret trigonometrk sebagai berikut:

( )

m_ax

E M m m b y y π sin 1 ' 2 / '

∑

∞₌ = =

( )

m_ax

E M m m b y y π sin 1 " 2 / "

∑

∞₌

= = (i)

dan lendutan total diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.13) dan (3.14) serta mensuperposisikan lendutan lendutan yang dihasilkan oleh kedua distribsi momen (persamaan i), dan didapat,

_ +         ₋ =

∑

∞ = a y m a y m a m E m a m D a m m m m m π π πχ α α α πχ π

ω tanh cosh sinh

cosh sin 2 ' 2 1 2 2         ₋ a y m a y m a y m E m m m

m α α π π π

α coth sinh cosh

sinh

(3.15)

Jika momen lentur

( )

l x m E M m m

y sin π

∑

∞₌

= hanya didistribusi sepanjang tepi y = b/2, maka kita dapatkan f E_m E_m E_m

2 1 ,

0 )

( ' "

(35)

+ 

 

   



 ₋

∑

∞

= a

y m a

y m m

a m E

D a

m m

π π

π α

α α πχ

ω tanh cosh sinh

cosh 1 sin

4 1 2

2 2

     



 ₋

a y m a

y m a

y m

m m

π π

π α

α coth sinh cosh

sinh 1

(3.16)

3.1.2. Pelat Persegi Panjang yang Ditumpu Secara Terjepit

Gambar 3.5 Pelat Persegi Panjang yang Ditumpu Secara Terjepit

Untuk menganalisa pelat persegi panjang yang ditumpu secara jepit, mula-mula kita menganggap pelat ditumpu dengan sederhana dan diberikan momen sepanjang sisi y = ± b/2. Kita tinjau kasus yang khusus :

1. Kasus Simetris dimana

( ) ( )

_{M y} _{M y} b y b

y= /2= =− /2

2. Kasus Antisimetri dimana

( )

_{M y}

( )

_{M y} b y b

y= /2=− =− /2 1. Keadaan simetris

f1 (x) = f2 (x)

Lendutan w harus memenuhi persamaan differensial homogen : a

f2(x)

f1(x)

b/2

(36)

2 ₄2

4 2 2 2 4 4 2 4 = + + y w y x w x w δ δ δ δδ δ

δ _(a)

dengan syarat batas :

w = 0 ₂ 0

x w

δ _{untuk x = 0 dan x = a}

w = 0 untuk y = 2

± (b)

) ( 1 2 / 2 2 x f x w D b y =     − = δ

δ ₍ ₎

2 2 / 2 2 x f x w D b y =     − − = δ

δ _(c)

Penyelesaian persamaan lendutan (a) dalam bentuk deret :

a x m Y w m m π sin 1 ∑ = ∞ =

Ym harus memenuhi syarat batas dan persamaan lendutan (3.31), diperoleh :

a y m a y m D a y m a y m Cm a y m B a y m A

Ym= msinh π + mcosh π + π sinh π + m π cosh π

dalam kasus simetris Am=Dm=0, sehingga persamaan lendutan :

a x m a y m a y m C a y m B w m m

mcosh π π sinh π sin π

1 ∑       ₊ = ∞ =

agar memenuhi persamaan batas, diperoleh :

0 sinh

cosh + =

a y m a y m C a y m

Bm π m π π

(37)

αm m

m m C

B = tanh

a b m m 2 π α =

Lendutan pada kasus simetris :

a x m a y m a y m a y m C

w m m

m π sinh π α tanhα sinh π sin π

1     ₋ ∑ = ∞ =

Momen sepanjang sisi y = ± b/2 dalam bentuk deret trigonometri :

a x m E x f x f m

msin π ) ( ) ( 1 2

1 = = ∑

∞ =

kemudian substitusi persamaan kepersamaan (b), sehingga diperoleh :

a x m E a x m C a m D m m m m

m α π π

π _cosh _sin _sin

2 1 1 2 2 2 ∑ = ∑ − ∞ = ∞ = sehingga : α π m m m m D E a C cosh

2 2 2

− =

b. Keadaan Antisimetris

f1(x) = f2 (x) =

a x m E m m π sin 1 ∑∞ =

Dalam kasus antisimetris Bm = Cm = 0, sehingga persamaan lendutan :

a x m a y m a y m A _D w m a y m m m π π π

π _cosh _sin

1 sinh

∑_ _

= ∞

= +

agar memenuhi syarat batas, dperoleh :

0 cosh

sinh + =

a y m a y m D a y m

Am π m π π

maka :

D m m

m m α α tanh 1 = a b m m 2 π α =

(38)

a x m a

y m a

y m A

w m

m m

m α π π π

π 1 _tanh _sinh _sin

sinh

1 

 

 ₋

∑ = ∞

Kemudian subsitusi persamaan ke persamaan (b), sehingga diperoleh :

a x m E a

x m m

A a

m m m

m m

m α α π π

π _sinh _tanh _sin _sin

1 2

1 2 2

∑ =

∑ ∞

= ∞

α αα

π α

m m

m E D a

tanh sinh

2 2 2

3.1.2.1. Pelat Mengalami Beban Merata Pada Perletakan Jepit

Gambar 3.5 Pelat Mengalami Beban Merata

Asumsi awal persamaan lendutan pelat adalah ditumpu secara sederhana q

b/2

a/2 a/2

(39)

Penurunan Rumus Levi.

:         + + − =

∑ −

∞ = − a y m a y m a y m a x m D q w m m m m m m

m

a

π π π π

α

π

2cosh sinh

1 cosh cosh 2 2 tanh 1 cos 4 5 , 3 , 1 5 2 1 5 4

(

1 )

(3.16) Rotasi pada tepi y = b/2 adalah :

( )

∑ − _ − _ =       ∞ = −

= 1,3,5 4 2

2 1 4 3 0 2 tanh cosh cos 1 2 m m m m m b y a x m m D a q x w

α

π

δ

Rotasi pada tepi x = a/2 adalah

( )

∑ _      ₋ − =       ∞ = −

= 1,3,5 4 2

2 1 4 3 0 2 tanh cosh cos 1 2 m m m m m a x b y m m D b q x w

β

π

δ

Momen yang bekerja sepanjang tepi y = 2

± dalam bentuk deret :

( )

m_ax

M y m

m m b y

π

cos 1 5 . 3 , 1 2 1 2 ∑ − = ∞ = − ± =

Akibat momen yang bekerja pada tepi y = 2

± timbul lendutan sebesar :

( )

    ₋ − ∑ − = − ∞ = a y m a y m a y m a x m m E D a

w m m

m m m m

π

α

π

α

π

cosh cos sin tanh cosh

1 2 2 2 1 5 , 3 , 1 2 2

1 (3.17)

Akibat lendutan w1 yang terjadi pada tepi y = ± b/2 timbul rotasi sebesar :

( )

    ₊ − ∑ − =     ∞ − = = α α α π π δ δ m m m m m m b y a x m m E D a y w cosh tanh cos 1 2 2 2 1 5 , 3 , 1 2 1

(40)

( )

( ) b y i m i a b i m E Da b y w m i i m a x π π δ

δ 4 1 _cos

5 , 3 ,

1 1,3,5 2 2 2 2 2 2 / 1 3 2 2 2 1 ∑ ∑       + − − =     ∞ = ∞ = − =

Momen yang bekerja sepanjang tepi x = ± a/2 dalam bentuk deret :

( )

m_by

M x m

m m a x π cos 1 5 , 3 , 1 2 1 2 = ∑ −

∞ =

− ±

Dengan cara yang sama, akibat lendutan w2 yang terjadi pada tepi x = ± a/2 timbul rotasi sebesar :

( )

    ₊ − ∑ − =       ∞ − = = β β β π π δ δ m m m m m m a x b y m m F D b x w cosh tanh cos 1 2 2 2 2 1 5 , 3 , 1 2

akibat lendutan w2 yang terjadi pada tepi y = ± b/2 timbul rotasi sebesar : ( )

( )

a x i m i b a m i F Db a y w m i m b y π π δ δ _cos 2 2 2 2 1 4 5 , 3 , 1 2 3 2 1 2 2 2 2 ∑         + − − =     ∞ = − =

Jika momen

( )

_{M x} a x

= dan

( )

M y b y

= bekerja secara simultan, maka rotasi pada tepi – tepi

pelat diperoleh dengan cara superposisi : 1. tepi y = ± b/2

0 2 2 1 2 =     ₊ +     =

=b y b

y y w y w y w δ δ δ δ δ δ

sehingga diperoleh sejumlah persamaan linier yang jumlahnya tak terhingga untuk menghitung koefisien E1 dan F1.

(41)

0 1 8 cosh tanh tanh cosh 1 4 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 3 2 4 3 2 0 =     + ∑ −     ₊ −     ₋ ∞ = m i b a m F b ia i E i a q m m i i i i i i i π α α α α α α π (3.17) Untuk pelat persegi panjang Fi = 2 Ei sehingga :

    ₋ =     + ∑ +     ₊ ∞

= α α

α π π α α α i i i m m i i i i i a q m i b a m E b ia i E _tanh cosh 1 4 1 2 8 cosh tanh 2 4 3 2 0 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 3 2 (3.18) 3 2 0 4 π a q Km=

cari nilai E1 kemudian substitusi kepersamaan lendutan dan momen .2. Tepi x = ± a/2

0 2 / 2 1 2 / =       ₊ + =

=a x a

x x w x w x w δ δ δ δ δ δ

Sehingga diperoleh sejumlah persamaan linier yang jumlahnya tak terhingga untuk menghitung koefisien Ei dan Fi

0 1 8 cosh tanh tanh cosh 1 4 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 3 2 4 3 2 0 =     + ∑ −       ₊ −       ₋ ∞ = m i a b m E a ib i E i b q m m i i i i i i i π β β β β β α

π (3.19)

Untuk pelat persegi panjang Ei = ½ Fi sehingga :

      ₋ =     + ∑ +       ₊ ∞

= β β

β π π β β β i i i m m i i i i i b q m i a b m F a ib i F _tanh cosh 1 4 1 2 1 8 cosh tanh 2 4 3 2 0 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 3 2 (3.20) 3 2 0 4 π b q Km=

(42)

cari nilai Fi kemudian substitusi kepersamaan lendutan dan momen. Berikut ini :

( )

=− ∑∞

( )

− _− _ = − = = 5 , 3 , 1 2 2 / ) 1 ( 2 2 0 , 0 1 cosh tanh 1

2 m _m

m m m m y x m E D a W α α α

π (3.21)

( )

=− ∑∞

( )

− _− _ = − = = 5 , 3 , 1 2 2 / ) 1 ( 2 2 0 , 0 2 cosh tanh 1

2 m _m

m m m m y x m F D b W β β β

π (3.22)

( )

= ∑∞

( )

− _ − + _ = − = = 5 , 3 , 1 5 2 / ) 1 ( 5 4 0 0 , 0 cosh 2 2 tanh 1 1 4 m _m m m m y x m D a q W α α α

π (3.23)

Bila : D a q Q ₅ 4 0 4 π

= ; ₅

1 / ) 1 ( 1 m R m− − = ; m m m S α α α cosh 2 2 tanh

1− +

Maka :

( )

W _x₌₀_,_y₌₀ =Q.R.S

( )

Mx x₌_±a/2,y₌o =

[

E1−E3+E5 −E7

]

(3.24)

( )

Mx x=0,y=o =1/2

[

E1−E3 +E5 −E7

]

( )

My _x₌_±_b_/₂_,_x₌_o =

[

F1−F3 +F5 −F7

]

(3.25)

( )

1/2

[

₁ ₃ ₅ 7

]

0 F F F F

o x x

y ₌ ₌ = − + −

(43)

3.2 Pelat Menerus (Kontinu) yang Ditumpu Secara Sederhana

s t

x1 x2 x3

0 0 0

y y y

s t

2 1

2 2

2 3

Gambar.3.7 Pelat Menerus

Kita mulai dengan suatu kasus yang dapat diselesaikan secara pasti dengan mempergunakan metode yang telah dipergunakan pada bab sebelumnya, yaitu suatu pelat persegi panjang dengan lebar b dan panjang a1 + a2 + a3, yang ditumpu sepanjang tepi-tepinya, dan juga sepanjang garis antara ss dan tt seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3.7, yang merupakan bentuk-bentuk pelat menerus yang ditumpu sederhana atas tiga bentangan. Kita asumsikan bahwa penumpu antara tidak mengalami tekanan arah melintang maupun tahanan apa pun terhadap rotasi pelat terhadap sumbu ss dan tt. Sehingga dengan asumsi ini, lenturan setiap bentangan pelat dapat langsung diamati dengan mengkombinasikan penyelesaian beban lateral yang telah diketahui pada pelat yang ditumpu sederhana dengan penyelesaian pelat persegi panjang yang dilenturkan oleh momen yang didistribusikan sepanjang tepinya.

Marilah kita mulai dengan suatu kasus simetri di mana

a1 = a2 = a3 = a

(44)

3.2.1 Pelat Kontiniu Dengan Pembebanan Yang simetri

a a a

Gambar 3.8 Pelat Yang Dibebani di Tengah Bentang

Bentangan bagian tengah dibebani secara merata, sedangkan bentangan samping tanpa pembebanan (Gambar 3.8). Dengan menganggap bentangan bagian tengah sebagai pelat persegi panjang yang ditumpukan secara sederhana dan dengan mempergunakan persamaan (3.17.), maka dapatlah kita simpulkan bahwa kemiringan permukaan lendutan sepanjang tepi x2 = a/2 adalah sebagai berikut:

  

 ₋

− =

   

∂∂

∑

∞ =

−

m m

a b

y m m

D qb

β β

β π

χω _χ cos cosh tanh

) 1 ( 2

2 ...

5 , 3 , 1

4 2 / ) 1 ( 4

2 2

(3.26)

Dengan menotasikan:

β =m mπa/b

Mengingat kontinuitas (kesinambungan) pelat, momen lentur Mx akan

didistribusikan sepanjang tepi x2 = ± a/2. Dari sifat simetris terlihat bahwa momen-momen ini dapat digambarkan dalam bentuk deret berikut:

( )

b y m E

M m

m a

χ 1 cos

... 5 . 3 . 1

2 / ) 1 ( 2

∑

∞ =

− ±

(45)

Lendutanω₁.yang ditimbulkan oleh momen-momen ini dapat diperoleh dari Persamaan (3.14), dan kemiringan yang berhubungan dengan hal ini sepanjang tepi χ2 =a/2 [lihat Persamaan (3.17)] adalah

    ₊ − − =     ∂ ∂ ∞ − =

∑

m m m m m a b y m m E D b β β β π π χ ω χ 2 2 / ) 1 ( ... 5 , 3 , 1 2 2 1 cosh tanh cos ) 1 ( 2 2 (3.28)

Dan persyaratan kontinuitas, dapatlah kita simpulkan bahwa jumlah persamaan (3.26) dan (3.28) yang menggambarkan kemiringan pelat sepanjang garis χ2 =a/2 besarnya harus sama dengan kemiringan sepanjang garis permukaan lendutan yang sama dari pelat pada bentang yang berdekatan. Dengan menganggap bentang yang disebutkan belakangan ini sebagai pelat persegi panjang yang ditumpu secara sederhana dan dilenturkan oleh momen (3.27) yang didistribusikan sepanjang tepiχ₃ =−a/2 akan kita peroleh lendutan pelat ω2 yang bersangkutan dengan mempergunakan Persamaan (3.15), dan dari sini

akan diperoleh bentuk

2 2 / ) 1 ( ... 5 , 3 , 1 2 2 2 ) 1 ( cos

4 b m

y m E D b m m m − ∞ = −

∑

π ω       ₋    b m b m b m m m m 3 3 3 sinh cosh tanh cosh

1 _β _β πχ πχ πχ

β         ₋ − b m b m b m m m m 3 3 3

coth sinh cosh

sinh

1 πχ πχ πχ

β β (3.29)

Kemiringan yang berpadanan sepanjang tepi x3 = -a/2 adalah

2 / ) 1 ( ... 5 , 3 , 1 2 / 3 2 ) 1 ( 4 3 − ∞ = − = − =     ∂

∂

_∑

m m a m E D b π χ ω χ

(46)

    ₊ ₊ ₋ m m m m m m b y m β β β β β β π 2 2 sinh cosh coth tanh cosh (3.30) Persamaan untuk menghitung koefisien Em adalah

2 / 3 2 2 / 2 1 2 / 2 3 2

2=a =a  =−a

   ∂ ∂ =     ∂ ∂ +    

∂∂χω _χ χω _χ ωχ _χ

Karena persamaan ini berlaku untuk harga y yang sembarang, maka untuk harga m yang sembarang akan kita dapatkan persamaan berikut ini:

    ₊ −     ₋ m m m m m m m m E D b m D qb β β β π β β β

π4 4 2 2

2 cosh tanh 2 tanh cosh 1 2     ₊ ₊ ₋ = m m m m m m m m E D b β β β β β β

π 2 2

sinh cosh coth tanh 4 dari sini m m m m m m m m m m m m qb E β β β β β β

β β β

π β 2 2 2 2 3 3 2 coth 3 cosh coth cosh tanh 3 cosh tanh 8 − + + − =

Di sini terlihat bahwa Em berkurang dengan cepat bila m bertambah dan mendekati

nilai−2qb/π3m3Dengan diperolehnya koefisien Em yang dihitung dari persamaan di atas,

maka kita dapatkan nilai-nilai momen lentur Mx sepanjang garis tt dari persamaan (3.27).

Besarnya momen ini pada y = 0, yaitu pada pertengahan lebar pelat, adalah sebagai berikut: m m m a E M

∑

∞ = − = = − ... 5 , 3 , 1 2 / ) 1 ( 2

/ ( 1)

) ( 1 1 χ χ

Kemudian Momen Lapangan dapat dihitung dengan mengkombinasikan persamaan (3.12) dengan persamaan (3.28).

(47)

3.2.2 Pelat Kontiniu Dengan Pembebanan Tidak Simetris

a a a

Gambar 3.9 Pelat Yang Dibebani di Sisi Bentang

Jika bentang sisi dibenahi secara merata, seperti yang diperlihatkan pada gambar (3.9), maka permukaan lendutannya tidak simetris lagi terhadap sumbu vertikal yang simetris terhadap pelat,dan distribusi momen lentur sepanjang garis-garis ss dan tt tidak identik. Misalkan b y m E M m m m a π χ

χ) ( 1) cos

( ... 5 , 3 , 1 2 / ) 1 ( 2 / 1 1

∑

∞ = −

= = − (3.31)

b y m F M _m m m a π χ

χ) ( 1) cos

( ... 5 , 3 , 1 2 / ) 1 ( 2 / 2 2

∑

∞ = − = = −

Untuk menghitung koefisienEm dan Fm, kita jabarkan dua buah sistem persamaan dari

kondisi (persyaratan) kesinambungan permukaan lendutan pelat sepanjang garis ss dan tt. Dengan memperhatikan bentangan yang dibebani dan dengan mempergunakan persamaan (3.27) dan (3.33), akan kita peroleh kemiringan permukaan lendutan pada titik-titik tumpuan ss, untuk a1=a2=a3 yang besarnya ialah:

∑

∞ ₌∞ − = − = − − − =    

∂∂ 1,3,5,...

2 / ) 1 ( ... 5 , 3 , 1 4 2 / ) 1 ( 4 3 2 / 1 ) 1 ( 4 cos ) 1 ( 2 1 m m m m m i a m E D b A b y m m D qb π π π χω _χ

(48)

    ₊ ₊ ₋ m m m m m m b y m β β β β β β π 2 2 sinh cosh coth tanh cos (3.32)

Sekarang anggaplah bentangan tengah sebagai suatu pelat persegi panjang yang dilenturkan oleh momen Mx yang didistribusikan sepanjang garis ss dan tt serta

ditentukan oleh persamaan (3.27), maka dengan mempergunakan Persamaan (3.16), akan kita peroleh,         ₊ + − =     ∂∂

∑

∞ = − − = m m m m m m i a F E b y m m D b β β β π π

χω _χ cos ( ) cosh tanh

) 1 (

4 1,3,5... 2

4 2 / ) 1 ( 2 / 2 1 2         ₋ − + m m m m m F E β β β 2 sinh coth )

( (3.33)

Dari persamaan (3.32) dan (3.33) kita peroleh sistem persamaan berikut ini untuk menghitung koefisien Em dan Fm:

) ( ) ( ) ( 8 3 3 2 m m m m m m m m m

m E B C B E F C E F

m qb

A + + =− + − −

π (3.34)

yaitu dengan mempergunakan notasi berikut ini:

m m m m A β β β _tanh

cosh2 −

=     ₊ − = m m m m B β β β tanh

(49)

m m m m C β β β _coth

sinh2 −

Dengan mempergunakan persamaan (3.15), dapat diperoleh kemiringan permukaan lendutan bagian tengah bentang yaitu pada garis tumpuan tt, yang besarnya adalah

        ₊ + − − =     ∂∂

∑

∞ = − = m m m m m m i a F E b y m m D b β β β π π

χω _χ cos ( ) cosh tanh

) 1 (

4 1,3,5... 2

4 2 / ) 1 ( 2 / 2 1 2         ₋ − + m m m m m E F β β β 2 sinh coth )

( (3.35)

Kemiringan ini harus sama dengan kemiringan pada bentang di dekatnya yang tak dibebani, yaitu yang diperoleh dari persamaan (3.25) dengan menggantikan Em dengan Fm.

Dengan cara demikian dapat kita peroleh sistem kedua dari persamaan itu yang, dengan mempergunakan notasi (a), dapat dituliskan dalam bentuk berikut ini:

m m m m m m m m

m E F C F E B C F

B ( + )+ ( − )=−( + ) (3.36)Dari persamaan ini akan kita peroleh:

) (

2 m m

m m m m C B B C E F + − =

Dengan mendistribusikan ke dalam Persamaan (3.36), akan kita peroleh:

2 2 3 3 2 ) ( 4 ) ( ) ( 2 8 m m m m m m m m C B B C C B m qb A E + − − + = π

Dengan mendistribusikan besaran-besaran Am, Bm, dan Cm yang didapat dari Persamaan (a)

(50)

dan kemudian dari persamaan (3.25), akan kita peroleh momen lentur sepanjang garis ss dan tt.

Jika m lebih besar daripada 3, dapat kita ambil besaran berikut ini dengan ketelitian yang cukup memadai

Am = Bm =Cm = -1

Setelah mendapatkan momen lentur sepanjang garis tumpuan, maka lendutan pelat pada setiap bentang dapat langsung diperoleh dengan mengadakan superposisi pada lendutan yang dihasilkan oleh beban lateral dengan lendutan yang ditimbulkan oleh momen pada tumpuan.

Momen lentur pada bentangan (panil) pelat yang menerus dapat diperoleh dengan cara yang sama. Dengan menghitung momen pada bagian tengah bentangan.

3.2.3 Pelat Kontiniu Yang Dibebani di Sepanjang Bentang

0 χ_i 0 χ_i₊₁

y y

q _i qi+1

a a

(51)

Persamaan yang diperoleh untuk tiga buah bentangan dapat langsung digeneralisasi dan dikembangkan untuk keadaan dengan bentangan yang berapapun banyaknya. Dengan cara demikian akan diperoleh suatu persamaan yang serupa dengan persamaan tiga momen untuk balok yang menerus.1 Marilah kita pandang dua buah bentangan yang berdekatan, yaitu i dan i + 1 yang panjangnya masing-masing a1 dan ai+1

(Gambar 3.10). Besarnya fungsi (l) yang bersangkutan, ditunjukkan oleh

1 1 1 , , , ,

, _mi _mi _mi+ _mi+ _mi+ i

m B C A B C

A Momen lentur sepanjang tiga buah garis tumpuan yang

berurutan dapat digambarkan oleh deret

b y m E M i m m m i π

χ ( 1) 1cos

... 5 , 3 , 1 2 / ) 1 (

1 ∞ ₋

= − −

∑

− = b y m E

M mi

m i

iχ ( 1) cos π

... 5 , 3 , 1 2 / ) 1 (

∑

∞ = − − = b y m E

M _mi

i m

i π

χ ( 1) 1cos

... 5 , 3 , 1 2 / ) (

1 ∞ +

−

+ ₌

∑

₋

Dengan memperhatikan bentang i + 1 dan dengan mempergunakan persamaan (3.57) dan (3.63), akan kita peroleh

∑

∞ + ₌∞ − = − + − = + − − − − =    

∂∂ ₊ ₊ 1,3,5,...

2 / ) 1 ( 1 ... 5 , 3 , 1 4 2 / ) 1 ( 4 3 1 2 / ) ( 1 ) 1 ( 4 cos ) 1 ( 2 1 1 m m i m m i i a

i D m

b A b y m m D b q i π π π

χω _χ_χ

cos [(E_mi +E_mi+1)B_mi+1−(E_mi+1 +E_mi )C_mi+1 b

y mπ

(1)

-270.8991 -90.3307

20.8634 87.0026

121.7615132.5654121.7615 87.0026

20.8634

-90.3307

-270.8991 -300

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Panjang Bentang Pelat

(

Series1

Grafik 4.6, Momen Pelat Pada Kondisi - 6

-270.1088 -90.2069

20.9419

87.0538121.798132.5973121.79887.0538 20.9419

-90.2069

-270.1088 -300

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Panjang Bentang Pelat

(

Series1

Grafik 4.7, Momen Pelat Pada Kondisi – 7

Dari Grafik di atas terlihat bahwa momen lapangan akan semakin bertambah

sedangkan momen tumpuan semakin berkurang dimana semakin jauh penambahan

(2)

Grafik Momen (Mx) Pelat Pada Bentang AB Untuk Arah x

34.9929 62.6345

81.5187

92.336295.83392.3362 81.5187 62.6345 34.9929 0 0 20 40 60 80 100 120

0 1 2 3 4 5

Panjang Be ntang Pe lat

M om en P el at (M x) Series1

Grafik 4.8, Momen Pelat Pada Kondisi – 1

28.8867 50.9697

65.321

73.272975.751273.2729 65.321 50.9697 28.8867 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 1 2 3 4 5

Panjang Be ntang Pe lat

M om en P el at (M x) Series1

Grafik 4.9, Momen Pelat Pada Kondisi – 2

33.4663 57.7183

77.4828

87.569990.812687.5699 77.4828 57.7183 33.4663 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3 4 5

Panjang Be ntang Pe lat

M om en P el at (M x) Series1

(3)

34.6113 61.9054

80.5097

91.144694.577991.1446 80.5097 61.9054 34.6113 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3 4 5

Panjang Be ntang Pe lat

M om en P el at (M x) Series1

Grafik 4.11, Momen Pelat Pada Kondisi – 4

34.8975 62.4523

81.2164

92.038395.519292.0383 81.2164 62.4523 34.8975 0 0 20 40 60 80 100 120

0 1 2 3 4 5

Panjang Be ntang Pe lat

M om en P el at (M x) Series1

Grafik 4.12, Momen Pelat Pada Kondisi – 5

34.9691 62.549

81.4557

92.261795.754692.2617 81.4557 62.549 34.9691 0 0 20 40 60 80 100 120

0 1 2 3 4 5

Panjang Be ntang Pe lat

M om en P el at (M x) Series1

(4)

34.9869 62.6231

81.503

92.317695.813492.3176 81.503

62.6231

34.9869

0 0

20 40 60 80 100 120

0 1 2 3 4 5

Panjang Be ntang Pe lat

(

Series1

Grafik 4.13, Momen Pelat Pada Kondisi – 7

Dari hasil grafik diatas terlihat bahwa momen lapangan akan semakin bertambah

sedangkan momen tumpuan tidak berubah atau sama dengan nol, maka dengan demikian

(5)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan

1. Setiap penambahan bentang pelat yang berdekatan akan mengurangi momen

sebesar kelipatan dari kurang lebih 50%.

2. Setiap penambahan bentangan pelat yang berjauhan akan menambah momen

sebesar kelipatan dari 25%.

3. Semakin jauh penambahan jumlah bentangan dari bentang yang ditinjau

maka pengaruhnya akan semakin kecil dan pada kondisi ini penambahan bentang tidak berpengaruh lagi setelah empat belas bentangan.

4 Dimensi pelat dan pembebanan pelat yang tdak sama besar juga akan

mempengaruhi perubahan besar momen pada setiap bentang.

5.2 SARAN

1 Untuk mendisain pelat kontiniu kita harus berhati-hati, karena variasi

pembebanan dan penambahan jumlah bentangan akan sangat mempengaruhi besarnya momen di setiap bentangan.

2. Momen tumpuan pada pelat kontiniu sangat perlu diperhatikan dalam

mendisain tulangan tumpuan.

3. Untuk tugas akhir berikutnya dapat ditinjau pola lendutan dan momen untuk

bentuk pelat kontiniu yang menerus pada dua arah.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Agus (2002), Rekayasa Gempa untuk Teknik Sipil, Padang: Institut teknologi Padang.

Applied Tecnologi Council (ATC 40) (1996), Seismic Evaluation and Retrofit of concrete buildings, Volume I California: California Seismic Safety Commision. Computer and Structure, Inc (1995) SAP2000(9) Manuals: Linear and non linear, static and dinamic, analisis and design: calofornia, berkeley.

Federal emergensi Management Agency (Fema 273, 274) (1997): NERHP Guideline For TheseismicRehabilitation of buildings, washington D.C: Applied Tecnologi Council.

Habibullah, Ashraf dan Steven Pyle (1998), Jurnal: Practical Three Dimensional Nonlinier Static Pushover analisis, California: Structure Magazine.

Pranata, yosfat aji (2006), jurnal teknik sipil : Evaluasi Kinerja Gedung Beton Bertulang Tahan gempa Dengan Pushover analisis, Bandung: Universitas Kristen Maranatha.

Pranata, yosfat aji (2006), jurnal teknik sipil, Evaluasi Kinerja Struktur Gedung Beton Tahan dengan analisa pushover,Bandung: Universitas Kristen Maranatha. Dewobroto, Wiriyanto (2006), jurnal teknik sipil, Evaluasi Kinerja Struktur Baja Tahan dengan analisa pushover,Universitas Pelita harapan.

SNI 03-1726-2002, Tata cara perencanaan Ketahanan gempa untuk Bangunan Gedung: Departemen Pemukiman dan prasarana Wilayah.

SNI 03-2847-2002, Tata cara perhitungan Beton untuk Bangunan Gedung: Departemen Pemukiman dan prasarana Wilayah.