Sensitivity of Data Scale on Mean Value Test.

i

WAHYU HARTONO

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

ii Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sensitivitas Skala Data terhadap Pengujian Nilai Tengah adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Maret 2013 Wahyu Hartono NRP G551090391

iii supervision of BUDI SUHARJO and HADI SUMARNO.

In many surveys, researchers have often to deal with qualitative or categorical measurements. Sometimes, even continuous objects or characteristics have to be measured by using a discrete scale. It may be caused by the inability of researchers to perform measurements or scoring of an object precisely using continuous scale. This will reduce the degree of accuracy of the actual conditions of the measurement results. Therefore, it can imply bias in the results of statistical tests performed. This research is intended to measure the bias of T-test on categorical data based on various sample sizes and data distributions. Moreover, this research aims to determine the optimal combination between the number of categories and the number of sample size to produce a certain bias. This study focuses on the statistical test to compare the characteristics between two groups or populations. The bias is measured as a margin of error of the confidence interval. Preliminary data are generated by a computer program and then they are split into two to fifteen categories on the same interval. The results of the study are as follows. For normally and Poisson distributed data, increasing number of categories or sample size will imply decreasing average margin of error. An explicit bias function according to sample size and category has been proposed. Categorization of data can increase the bias in the confidence interval, but fortunately the bias doesn’t change the conclusion of the -test.

iv Tengah. Dibimbing oleh BUDI SUHARJO dan HADI SUMARNO.

Dalam banyak survei atau penelitian sosial, seringkali peneliti dihadapkan pada pengukuran yang bersifat kualitatif atau kategori, terkadang karakteristik objek yang bersifat kontinu diukur dengan menggunakan skala diskret. Hal tersebut disebabkan oleh ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran atau scoring terhadap suatu objek secara tepat. Ketidakmampuan tersebut akan menurunkan derajat ketepatan terhadap kondisi yang sesungguhnya dari hasil pengukuran, sehingga diduga menyebabkan bias pada hasil uji statistik yang dilakukan. Penelitian ini dilakukan untuk mengukur bias uji- yang berbasis data kategori pada berbagai ukuran contoh dan sebaran data, serta menentukan kombinasi optimal antara banyaknya kategori dan banyaknya contoh dalam menghasilkan bias tertentu. Penelitian difokuskan pada uji statistik untuk membandingkan karakteristik antara dua kelompok atau populasi. Biasnya merupakan nilai margin of error dari konsep interval kepercayaan. Selanjutnya akan ditunjukkan hubungan antara konsep interval kepercayaan dengan uji agar bias yang diperoleh dari konsep interval kepercayaandapat diklaim berlaku untuk uji pada nilai taraf nyata yang sama.

Data awal dibangkitkan dengan program komputer dan data hasil kategorisasi dibuat berdasarkan data awal. Data awal adalah data yang sebenarnya, atau jawaban sebenarnya dari pertanyaan yang diajukan kepada responden, data awal dapat bersifat kontinu atau diskret. Sedangkan data hasil kategorisasi adalah data yang diperoleh dari jawaban responden yang berupa perkiraan bahwa jawaban tersebut berada pada suatu interval atau kategori, dengan kata lain, data hasil kategorisasi bersifat diskret.

Uji- terhadap dua kelompok data yang menyebar normal dan Poisson dilakukan dengan menyusun hipotesis nol dan hipotesis alternatif sebagai berikut:

v kepercayaan sehingga akan diperoleh sekitar atau interval mengandung dan sebanyak atau interval tidak mengandung

dari sampel-sampel acak yang dibangkitkan secara berulang-ulang sebanyak 1000 kali. Interval kepercayaan untuk membandingkan nilai tengah dua populasi dinyatakan sebagai berikut:

̅ ̅ √ ̅ ̅ √

dengan ̅ adalah penduga (estimator) bagi ̅, adalah nilai tabel untuk uji- , adalah ragam gabungan, dan adalah ukuran sampel. Hubungan antara interval kepercayaan dengan uji hipotesis akan ditunjukkan terkait nilai , sehingga bias dari interval kepercayaan juga dapat digunakan untuk uji- .

Untuk setiap kategori, semakin besar ukuran contoh maka biasnya semakin kecil. Demikian juga sebaliknya, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka biasnya semakin kecil. Fungsi dua variabel dari ukuran contoh dan banyaknya kategori telah diajukan untuk menghitung nilai margin of error. Pengkategorian data dapat memperbesar bias pada selang kepercayaan, tetapi untungnya bias tersebut tidak sampai mengubah kesimpulan dari uji- . Kata kunci: data kategori, interval kepercayaan, pengukuran,

uji-vi

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2013

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyeret sumbernya

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

vii

WAHYU HARTONO

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

viii Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

ix

NRP : G551090391

Disetujui oleh Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Budi Suharjo, M.S. Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S.

Ketua Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.

x Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini terkait penerapan matematika pada masalah statistik dengan judul Sensitivitas Skala Data Terhadap Pengujian Nilai Tengah.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Budi Suharjo, M.S. dan Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S selaku pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritiknya. Ucapan terima kasih disampaikan kepada orangtua serta keluarga, atas segala dukungan dan doanya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2013

xi Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 17 Mei 1981 dari pasangan Bapak Muhammad Nurpi dan Ibu Tarni. Penulis merupakan putra kelima dari enam bersaudara.

Selepas lulus SMA Negeri 77 Jakarta Pusat pada tahun 1999, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada Program Studi Matematika FMIPA IPB. Kesempatan untuk melanjutkan ke Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB diperoleh pada tahun 2009 atas biaya sendiri. Tahun 2010 penulis menjadi asisten dosen di Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unswagati Cirebon. Pada tahun 2011 penulis menjadi dosen tetap di program studi yang sama.

xii

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian... 3

1.3 Manfaat Penelitian... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5

2.1 Teori Peluang ... 5

2.2 Kekontinuan ... 9

BAB III UJI STATISTIK DAN SIMULASI ... 11

3.1 Interval Kepercayaan... 11

3.2 Margin of Error ... 13

3.3 Uji Hipotesis ... 14

3.4 Hubungan antara Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis ... 16

3.5 Simulasi ... 17

BAB IV METODE PENELITIAN ... 19

4.1 Pendekatan Penelitian ... 19

4.2 Sumber Data ... 20

4.3 Tahapan Penelitian ... 20

BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN ... 23

5.1 Uji Nilai Tengah dari Dua Kelompok Data ... 23

5.1.1 Kasus 1: , , normal ... 23

5.1.2 Kasus 2: , , normal ... 28

5.1.3 Kasus 3: , Poisson ... 29

5.2 Nilai Mean Margin of Error dan Uji- ... 34

5.2.1 Sebaran normal. ... 34

5.2.2 Sebaran Poisson... 35

BAB VI SIMPULAN DAN SARAN ... 37

6.1 Simpulan... 37

6.2 Saran ... 37

DAFTAR PUSTAKA ... 39

xiii Halaman

1 Rumus uji- mengenai beda nilai tengah dua populasi ... 17

2 Rerata Margin of Error data normal , ... 27

3 Rerata Margin of Error data normal , .. 29

xiv Halaman 1 Wilayah kritik bagi hipotesis alternatif . ... 13 2 Bagan alur penelitian... 21 3 Plot nilai mean margin of error sebaran normal berbagai ukuran

sampel dari kasus , ... 24 4 Plot nilai Rerata Margin of Error sebaran normal berbagai

kategori dari kasus , ... 25 5 Plot mean margin of error data sebaran normal

.. ... 27

6 Plot fungsi sebaran normal

.. ... 28

7 Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai ukuran

contoh dari kasus ... 30 8 Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai kategori

dari kasus ... 32 9 Plot mean margin of error data Poisson, .. ... 33 10 Plot fungsi sebaran Poisson ... 34

xv Halaman

1 Program Simulasi ... 36

2 Program Plot 3D dan Fit Fungsi ... 48

3 Hasil untuk Kasus 1 (Normal), ), ... 52

BAB I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam banyak survei atau penelitian sosial, para peneliti seringkali dihadapkan pada pengukuran yang bersifat kualitatif atau kategori, bahkan tidak jarang karakteristik objek yang bersifat kontinu diukur dengan menggunakan skala diskret. Hal tersebut disebabkan oleh ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran atau scoring terhadap suatu objek secara tepat. Ketidakmampuan tersebut akan menurunkan derajat ketepatan terhadap kondisi yang sesungguhnya dari hasil pengukuran sehingga diduga akan menyebabkan bias pada hasil uji statistik yang dilakukan. Misalnya ketika seorang mahasiswa ditanya tentang lamanya waktu belajar di luar jam kuliah dalam sehari atau seorang petugas pembayaran tiket jalan tol ditanya tentang banyaknya kendaraan yang melewati loket pembayaran antara pukul 12.00 sampai 13.00 siang setiap hari. Biasanya mahasiswa dan petugas tol tersebut akan menjawab secara perkiraan saja pertanyaan tersebut. Sedangkan disisi lain, peneliti hanya menyediakan pilihan jawaban yang juga hanya perkiraan saja bahwa jawabannya berada pada suatu selang tertentu.

Jika para peneliti ingin melakukan pembandingan dengan informasi (ciri populasi) antar kelompok, uji statistik seperti uji nilai tengah sering digunakan. Uji nilai tengah untuk membandingkan ciri populasi antar kelompok sering digunakan oleh peneliti dan praktisi karena selain banyak aplikasinya, prosedurnya juga relatif mudah. Untuk membandingkan nilai tengah populasi dengan nilai tengah populasi lainnya bisa dilakukan dengan uji . Namun uji hanya bisa digunakan apabila data berdistribusi normal serta ragam populasi diketahui. Pada kenyataannya, jarang sekali untuk bisa mengetahui nilai parameter suatu populasi dengan pasti sehingga parameter populasi tersebut hanya bisa diduga dari contoh yang diambil. Karena nilai simpangan baku populasi , tidak diketahui, maka nilai ini ditaksir dengan simpangan baku contoh , yang dihitung dari contoh. Hanya saja, untuk contoh berukuran kecil, bukanlah nilai taksiran yang akurat untuk sehingga tidak valid lagi apabila digunakan untuk uji .

Untuk ukuran contoh yang kecil, bisa didekati dengan menggunakan uji -student (Walpole 1993).

Sebaran menyerupai sebaran , dalam hal keduanya setangkup di sekitar nilai tengah nol. Kedua sebaran tersebut berbentuk genta, tetapi sebaran lebih bervariasi, berdasarkan kenyataan bahwa nilai bergantung pada fluktuasi dua besaran ̅ dan , sedangkan nilai bergantung hanya pada perubahan ̅ dari satu contoh ke contoh lainnya. Sebaran bagi berbeda dengan sebaran bagi , dalam hal ini ragamnya bergantung pada ukuran contoh dan selalu lebih besar dari 1. Hanya bila ukuran contoh kedua sebaran ini menjadi sama (Walpole 1993).

Mengukur objek yang bersifat kontinu dengan skala diskret kemudian menggunakan hasil pengukuran tersebut untuk melakukan uji menyebabkan syarat penggunaan uji menjadi dilanggar karena uji tersebut mensyaratkan skala datanya bersifat kontinu sehingga diduga akan memberikan hasil yang bias. Skala diskret yang dimaksud adalah banyaknya pilihan jawaban atau kategori pada kuesioner penelitian. Di sisi lain, menggunakan data yang menyebar Poisson untuk uji juga melanggar syarat penggunaan uji tersebut karena uji mensyaratkan datanya menyebar normal sehingga juga diduga akan memberikan hasil yang bias. Tetapi telah banyak dibuktikan melalui teorema limit pusat bahwa semakin besar ukuran contoh maka sebaran Poisson akan menghampiri sebaran normal.

Menurut Dunn-Rankin et al (2004), para peneliti telah membuat konsesus tentang banyaknya kategori atau skala pilihan jawaban yaitu 3 sampai 9 dengan 5 dan 7 adalah banyaknya kategori atau skala yang paling dianjurkan. Namun belum ada yang menyatakan secara eksplisit bahwa anjuran tersebut berlaku untuk setiap parameter, sebaran data, maupun jenis uji statistik. Dengan kata lain, belum terdapat informasi besarnya bias yang ditimbulkan akibat pemilihan banyaknya kategori terkait parameter, sebaran data, jenis uji statistik, serta pengaruhnya terhadap kesimpulan uji statistik yang dilakukan.

1.2 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan permasalahan di atas maka tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengukur bias uji- yang berbasis data kategori, pada berbagai ukuran contoh

dan sebaran data.

2. Menentukan kombinasi optimal antara banyaknya kategori dan banyaknya contoh dalam menghasilkan bias tertentu.

1.3 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi praktisi dan peneliti dalam menentukan ukuran contoh serta banyaknya kategori pilihan jawaban kuesioner terkait dengan besarnya bias yang ditimbulkan ketika akan melakukan uji- untuk membandingkan nilai tengah dua populasi independen dari data yang menyebar normal dan Poisson.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya.

2.1 Teori Peluang

Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.

Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ghahramani 2005)

Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari . Definisi 2.1.3 (Ukuran Peluang) (Ghahramani 2005)

Suatu ukuran peluang pada adalah suatu fungsi yang memenuhi syarat-syarat berikut.

1. dan ;

2. Jika adalah himpunan yang saling lepas, yaitu , untuk setiap dengan , maka ⋃ ∑ .

Pasangan disebut ruang peluang (probability space). Definisi 2.1.4 (Peubah Acak) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable) merupakan fungsi di mana untuk setiap . Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.

Definisi 2.1.5 (Fungsi Distribusi) (Ghahramani 2005)

Jika adalah peubah acak, maka fungsi yang terdefinisi pada oleh disebut fungsi distribusi dari yang memenuhi syarat-syarat berikut.

1. tidak turun; 2. ; 3. ; 4. kontinu kanan.

Definisi 2.1.6 (Fungsi Kepekatan Peluang) (Ghahramani 2005)

Misalnya adalah peubah acak. Misalnya ada fungsi bernilai riil tak negatif sehingga untuk setiap subset bilangan riil dapat dikonstruksi dari interval oleh bilangan terhitung dari operasi himpunan,

∫ .

Maka disebut kontinu mutlak. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang atau fungsi kepekatan dari .

Misalnya fungsi kepekatan dari peubah acak dengan fungsi distribusi maka berlaku syarat-syarat berikut

1. ∫ 2. ∫

3. Jika kontinu mutlak, maka ;

4. Untuk bilangan riil ∫

5. ∫

Teorema 2.1.7 (Metode Transformasi) (Ghahramani 2005)

Misalnya adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan dan himpunan kemungkinan nilai-nilainya disimbolkan dengan . Untuk fungsi yang dapat diinverskan, misalnya adalah peubah acak dengan himpunan nilai-nilainya . Misalnya invers

adalah fungsi , yang terturunkan untuk setiap nilai-nilai . Maka , fungsi kepekatan dari , diberikan oleh

( _{)| |}

Definisi 2.1.8 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) (Ghahramani 2005) Jika adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan peluang

, maka nilai harapan dari didefinisikan oleh ∫

Definisi 2.1.9 (Ragam dan Simpangan Baku) (Ghahramani 2005)

Jika adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan , maka dan yang merupakan ragam dan simpangan baku dari , berturut-turut didefinisikan oleh

, √ .

Definisi 2.1.10 (Peubah Acak Normal) (Ghahramani 2005)

Peubah acak disebut normal, dengan parameter dan , jika fungsi kepekatan peluangnya adalah

√ [

]

Lema 2.1.11 (Peubah Acak Normal Baku) (Ghahramani 2005)

Jika maka adalah Yaitu, jika normal baku adalah .

Definisi 2.1.12 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama) (Ghahramani 2005) Dua peubah acak dan , yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama, memiliki sebaran bersama yang kontinu jika terdapat fungsi dua variabel yang taknegatif, pada sehingga untuk sembarang wilayah pada bidang

yang dapat dibentuk dari persegi-persegi oleh operasi himpunan bilangan-bilangan terhitung,

( ) ∬

Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari dan .

Teorema 2.1.13 (Nilai Harapan dari Fungsi Dua Peubah Acak) (Ghahramani 2005)

Misalnya adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak dan . Jika adalah fungsi dua variabel dari ke maka adalah peubah acak dengan nilai harapan

∫ ∫

jika integralnya konvergen mutlak.

Definisi 2.1.14 (Sebaran Poisson) (Ghahramani 2005)

Peubah acak diskret dengan nilai-nilai disebut Poisson dengan parameter jika

Teorema 2.1.15 (Nilai Harapan dari Penjumlahan Variabel Acak) (Ghahramani 2005)

Untuk variabel acak yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama, (∑

) ∑

Definisi 2.1.16 (Kovarian) (Ghahramani 2005)

Misalnya dan sebaran bersama peubah acak, maka kovarian dan didefinisikan oleh

[( )( )] Jika dan independen (saling bebas) maka

Teorema 2.1.17 (Peubah Acak ) (Walpole 1993)

Bila ̅ dan masing-masing adalah nilai tengah dan ragam suatu contoh acak berukuran yang diambil dari suatu populasi normal dengan nilai tengah dan ragam , maka ̅

√ merupakan sebuah nilai peubah acak T yang mempunyai sebaran dengan derajat bebas.

Teorema 2.1.18 (Limit Pusat Sebaran Peluang Normal) (Brase & Brase 2009) Misalkan adalah variabel acak yang menyebar normal dengan rataan dan standar deviasi . Misalkan ̅ adalah rataan dari contoh yang terkait dengan contoh acak berukuran yang diperoleh dari sebaran . Maka pernyataan berikut ini adalah benar.

1. Sebaran ̅ adalah sebaran normal; 2. Rataan dari sebaran ̅ adalah ;

3. Simpangan baku dari sebaran ̅ adalah √ .

Teorema 2.1.19 (Limit Pusat Sembarang Sebaran Peluang) (Brase & Brase 2009)

Jika merupakan sembarang sebaran dengan rataan dan simpangan baku , maka rataan contoh ̅ yang diperoleh dari contoh acak berukuran akan memiliki sebaran yang menghampiri sebaran normal variabel acak dengan rataan dan simpangan baku √ ketika _{menuju tak hingga.}

2.2 Kekontinuan

Definisi 2.2.1 (Kekontinuan) (Purcell & Varberg 1999)

Suatu fungsi disebut kontinu pada bilangan jika berlaku . Fungsi disebut kontinu kanan pada bilangan jika berlaku , sedangkan fungsi disebut kontinu kiri pada bilangan jika berlaku . Fungsi disebut kontinu pada interval jika kontinu pada bilangan untuk semua Himpunan fungsi-fungsi yang kontinu pada interval dinotasikan sebagai .

BAB III

UJI STATISTIK DAN SIMULASI

3.1 Interval Kepercayaan

Sebuah interval kepercayaan terdiri dari berbagai nilai-nilai bersama-sama dengan persentase yang menentukan seberapa yakin bahwa parameter populasi terletak dalam interval. Estimasi parameter dengan interval menggunakan distribusi sampling dari titik perkiraan. Misalnya, untuk membangun perkiraan interval mengandung digunakan distribusi sampling ̅ (penduga takbias). Menggunakan karakteristik dari distribusi tersebut dan transformasi ̅ kita dapat menyatakan

_√ ̅ _√ = (3.1.1) dengan aljabar sederhana, pernyataan tersebut dapat disusun ulang menjadi:

̅ _√ ̅ _√ = (3.1.2) sehingga interval penduga adalah

̅ _√ sampai ̅ _√ (3.1.3) yang biasa disebut interval kepercayaan. Nilai batas bawah dan atas dari interval disebut limit kepercayaan. Peluang yang digunakan untuk membentuk interval disebut tingkat kepercayaan atau koefisien kepercayaan. Sehingga dapat dinyatakan kita percaya bahwa interval tersebut mengandung true mean atau rerata populasi. Koefisien kepercayaan biasanya dinyatakan dalam persentase (Freund & Wilson 2003).

Teorema 3.1.4

Untuk peubah acak ̅ dan ̅ yang saling bebas dan terdefinisi pada ruang contoh yang sama, jika ̅ dan ̅ maka

Bukti:

Misalnya ̅ ̅ ̅ dan ̅ . ̅ ̅ ̅ ̅ .

̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅ )

̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅ ) ̅ ( ̅ ) ̅ ( ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ̅ )

̅ ̅ ̅ ̅ karena ̅ dan ̅ saling bebas maka ̅ ̅ , sehingga

̅ ̅ ̅ ̅ Kita sering tertarik mencari nila dari untuk nilai peluang yang diberikan ketika menggunakan sebaran normal untuk statistika inferensia. Untuk mempermudah bentuk penulisan, diadopsi notasi yang merupakan nilai dari sedemikian sehingga

atau ekivalen dengan

Karena sebaran normal berbentuk simetris maka dapat ditulis pernyataan

(3.1.5)

(Freund & Wilson 2003).

Dengan menggunakan Teorema 3.1.4, untuk kasus selisih nilai tengah dua populasi dapat digunakan transformasi

̅ ̅ √ sehingga

(

̅ ̅ √

)

√ ̅ ̅ √ Dengan cara yang sama, bila ̅ dan ̅ masing-masing adalah nilai tengah contoh acak bebas berukuran kecil dan yang diambil dari dua populasi yang hampir normal dengan ragam sama tetapi tidak diketahui nilainya, dan transformasi

̅ ̅ √

maka interval kepercayaan bagi diberikan oleh rumus ̅ ̅ √ ̅ ̅ √ (3.1.6)

sedangkan dalam hal ini adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi, dan adalah nilai dengan derajat bebas yang luas daerah disebelah kanannya sebesar (Walpole 1993).

3.2 Margin of Error

Definisi 3.2.1 (Margin of Error) (Freund & Wilson 2003)

Margin of Error atau biasa disebut batas galat adalah indikator dari ketepatan pendugaan yang didefinisikan sebagai setengah panjang interval kepercayaan.

Margin of Error dapat dinyatakan secara mutlak ataupun secara relatif dan dapat didefinisikan untuk tingkat kepercayaan yang diinginkan. Misalkan diketahui true value adalah 50 satuan dan panjang interval kepercayaan adalah 20 satuan dengan tingkat kepercayaan 95%, maka margin of error jika dinyatakan secara mutlak adalah 10 satuan dan jika dinyatakan secara relatif adalah 20%

karena 10 satuan adalah 20% dari 50 satuan. Dengan kata lain, kita percaya 95% bahwa interval 40 sampai 60 satuan mengandung true value. Dalam persamaan (3.1.6) yang disebut margin of error adalah

√ Jika ukuran contoh maka persamaan (3.1.7) menjadi

√ Hubungan antara dan adalah sebagai berikut

1. Jika tingkat kepercayaan meningkat ( menurun) dan ukuran contoh tetap, margin of error akan meningkat (interval kepercayaan akan semakin panjang). Dengan kata lain, semakin tinggi tingkat kepercayaan yang diperlukan, semakin kurang akurat pernyataan yang dapat dibuat, dan sebaliknya.

2. Jika ukuran contoh diperbesar dan tingkat kepercayaan tetap, maka margin of error akan menurun (interval kepercayaan akan semakin pendek). Dengan kata lain, peningkatan ukuran contoh akan meningkatkan keakuratan tanpa mengurangi tingkat kepercayaan, atau sebaliknya.

3. Menurunkan simpangan baku memiliki efek yang sama dengan meningkatkan ukuran contoh.

3.3 Uji Hipotesis

Dalam statistika, hipotesis adalah ide, asumsi, atau teori tentang karakteristik dari satu atau lebih variabel dalam satu atau lebih populasi. Uji hipotesis adalah prosedur statistika yang melibatkan formulasi hipotesis menggunakan contoh data untuk memutuskan validitas dari hipotesis (Pelosi & Sandifer 2003).

3.3.1 Uji Dua-Arah

Uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah, seperti

disebut uji dua-arah, karena wilayah kritiknya dipisah menjadi dua bagian yang ditempatkan di masing-masing ekor sebaran statistik ujinya. Hipotesis alternatif menyatakan bahwa atau (Walpole 1993).

3.3.2 Uji Mengenai Nilai Tengah

Misalkan diberikan suatu populasi yang ragamnya diketahui. Sekarang ingin diuji hipotesis bahwa nilai tengah populasinya sama dengan nilai tertentu lawan hipotesis alternatifnya bahwa nilai tengah populasi itu tidak sama dengan ; artinya ingin diuji

Statistik yang dapat digunakan bagi kriterium uji dalam hal ini adalah peubah acak ̅. Telah diketahui bahwa sebaran penarikan contoh bagi ̅ menghampiri suatu sebaran normal dengan nilai tengah _̅ dan ragam _̅ , sedangkan dan masing-masing adalah nilai tengah dan ragam populasi induknya, dan adalah ukuran contohnya. Dengan mengambil taraf nyata sebesar

, kita dapat menemukan dua nilai kritik ̅ dan ̅ sedemikian sehingga ̅ ̅ ̅ merupakan wilayah penerimaan, dan kedua ekor sebarannya ̅ ̅ dan ̅ ̅ , menyusun wilayah kritiknya.

Nilai kritik itu dapat diucapkan dalam nilai melalui transformasi ̅

√

Dengan demikian, untuk taraf nyata sebesar , kedua nilai kritik padanan bagi ̅ dan ̅ , ditunjukkan dalam Gambar 1 sebagai

̅

√ dan

̅ √

Gambar 1 Wilayah kritik bagi hipotesis alternatif .

Dari populasi tersebut diambil sebuah contoh acak berukuran n _dan

dihitung nilai tengah contohnya ̅. Bila ̅ jatuh dalam wilayah penerimaan ̅ ̅ ̅ , maka ̅

√ akan jatuh dalam wilayah dan disimpulkan bahwa ; bila jatuh di luar wilayah itu maka tolak dan terima hipotesis alternatifnya bahwa . Wilayah kritik biasanya diucapkan dalam dan bukan dalam ̅.

3.4 Hubungan Antara Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis

Prosedur uji dua-arah yang diuraikan di atas ekivalen dengan mencari selang kepercayaan bagi , dan menerima bila terletak dalam selang tersebut. Bila terletak di luar selang itu, tolak dan terima . Akibatnya bila ditarik kesimpulan mengenai nilai tengah dari populasi yang ragamnya diketahui, apakah dengan menggunakan selang kepercayaan ataupun melalui pengujian hipotesis, maka kita gunakan nilai yang sama.

Secara umum, bila digunakan nilai atau yang tepat untuk membuat selang kepercayaan bagi nilai tengah , suatu populasi, atau mungkin selisih nilai tengah kedua populasi , maka kita dapat juga menggunakan nilai atau yang sama untuk menguji hipotesis atau lawan alternatif yang sesuai. Ini berarti bahwa contoh harus diambil dari populasi normal atau ukurannya , dalam hal yang terakhir ini kita dapat menggunakan Dalil Limit Pusat untuk membenarkan digunakannya statistik uji normal (Walpole 1993).

̅ ̅ ̅

2 z_

Dalam Tabel 1 dicantumkan nilai statistik yang biasa digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda nilai tengah dari dua populasi terkait dengan sebaran , berikut wilayah kritiknya untuk hipotesis alternatif yang bersifat dua-arah.

Tabel 1 Rumus uji mengenai beda nilai tengah dua populasi (Walpole 1993) Nilai Statistik Uji Wilayah Kritik ̅ ̅

√ tetapi tidak diketahui

dan

3.5 Simulasi

Simulasi komputer adalah proses mendesain model logika matematika dari sistem nyata dan bereksperimen dengan model tersebut menggunakan komputer. Dengan demikian simulasi meliputi proses pembentukan model serta desain dan implementasi sebuah eksperimen yang sesuai yang melibatkan model tersebut. Percobaan atau simulasi tersebut mengizinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang sistem:

 Tanpa membuatnya, jika sistem tersebut hanya sistem yang baru diusulkan.

 Tanpa mengganggunya jika sistem tersebut adalah sistem operasi yang mahal atau tidak aman untuk bereksperimen dengannya.

 Tanpa menghancurkan mereka jika objek dari eksperimen adalah untuk menentukan batas-batas dari tekanan.

Dengan cara ini model simulasi dapat digunakan untuk desain, analisis prosedural dan penilaian kinerja (Pritsker & O’Reilly 1999).

BAB IV

METODE PENELITIAN

4.1 Pendekatan Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui bias hasil uji statistik yang ditimbulkan karena dilanggarnya syarat uji statistik tersebut. Penelitian difokuskan pada uji statistik untuk membandingkan karakteristik antar kelompok atau populasi yang independen, menyebar normal dan Poisson sehingga digunakan uji statistik seperti uji nilai tengah. Uji nilai tengah yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah uji- dengan ragam populasi sama tetapi tidak diketahui. Uji- sendiri mensyaratkan skala datanya bersifat kontinu dan menyebar normal.

Nilai bias ditentukan dari konsep interval kepercayaan yaitu peluang sebuah interval mengandung true parameter dengan tingkat kepercayaan tertentu. Biasnya merupakan nilai galat yang tidak akan melebihi batas atas dari interval kepercayaan atau margin of error yaitu batas atas dari selisih antara parameter populasi dengan penduganya. Selanjutnya akan ditunjukkan hubungan antara konsep interval kepercayaan dengan uji agar bias yang diperoleh dari konsep interval kepercayaandapat diklaim berlaku untuk uji pada nilai yang sama.

Dalam tulisan ini terdapat dua istilah data yaitu data awal dan data hasil kategorisasi. Data awal adalah data yang sebenarnya, atau jawaban sebenarnya dari pertanyaan yang diajukan kepada responden, data awal dapat bersifat kontinu atau diskret. Sedangkan data hasil kategorisasi adalah data yang diperoleh dari jawaban responden yang berupa perkiraan bahwa jawaban tersebut berada pada suatu interval atau kategori, dengan kata lain, data hasil kategorisasi bersifat diskret. Banyaknya kategorisasi atau skala data merupakan banyaknya pilihan jawaban dalam kuesioner. Jika data awal dikategorikan menjadi 2 kelompok maka data awal tersebut dibuat menjadi tabel distribusi frekuensi dengan panjang interval sama sebanyak 2 kelas dan masing-masing interval diwakili oleh titik tengahnya, dengan cara yang sama dibuat tabel distribusi frekuensi untuk data awal yang dikategorikan menjadi 3 sampai 15 kelompok. Data awal dibangkitkan

dengan program komputer dan data hasil kategorisasi dibuat berdasarkan data awal juga menggunakan program komputer untuk selanjutnya dilakukan simulasi. 4.2 Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi yang dibangkitkan menggunakan Software Mathematica 8.0.

4.3 Tahapan Penelitian

Penelitian ini dilakukan terhadap data yang menyebar normal dan Poisson dengan kasus 1 yaitu data menyebar normal, , kasus 2 yaitu data menyebar normal, , kasus 3 yaitu data menyebar Poisson, . Untuk mencapai tujuan penelitian yang telah ditetapkan, maka tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 2. Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Membangkitkan dua kelompok contoh acak sederhana masing-masing sebanyak 1000 set data, memiliki nilai dari 0 sampai 100, menyebar normal dan Poisson, berukuran 10, 20, 30, 100, 200, 300, 400, 500, untuk kasus 1 dan kasus 2.

2. Menghitung nilai pendugaan galat maksimum rerata margin of error dari selang kepercayaan untuk kasus selisih nilai tengah dua populasi dari maksimum 1000 set data pada masing-masing ukuran contoh dan sebaran kemudian dicari rerata nya.

3. Menghitung banyaknya interval yang mengandung atau tidak mengandung pada data awal.

4. Melakukan uji- pada maksimum 1000 set data awal, kemudian dihitung yang terima atau tolak .

5. Setiap sebaran data dikonversi menjadi 2 hingga 15 kategori. Kategorisasi dilakukan menggunakan panjang interval yang sama.

6. Pada sebaran data dengan kategori-kategori yang baru terbentuk selanjutnya dihitung kembali rerata margin of error.

7. Menghitung banyaknya interval yang mengandung atau tidak mengandung pada data kategori.

8. Melakukan uji- pada maksimum 1000 set data kategori, kemudian dihitung yang terima atau tolak .

9. Nilai rerata margin of error untuk data awal dan kategori di plotkan ke dalam grafik, kemudian ditentukan fungsi pendekatannya.

10.Membandingkan nilai rerata margin of error untuk data awal dan kategori menggunakan koefisien keragaman.

11.Interpretasi hasil dan kesimpulan.

Gambar 2 Bagan alur penelitian.

Pembangkitan Dua Kelompok Contoh Acak Independen (Menyebar Normal dan Poisson, Memiliki Nilai 0 sampai 100)

Berukuran: 10, 20, 30, 100, 200, 300, 400 & 500 Sebanyak 1000 kali

Menggunakan Software Mathematica 8.0

Uji- untuk kasus 1 dan 3.

Konversi data menjadi 2 sampai 15 kategori

Hasil Hasil Bandingkan

Interpretasi

Kesimpulan Mencari true parameter dan

rerata mean margin of error untuk kasus 1 dan 3.

BAB V

HASIL DAN PEMBAHASAN

Simulasi dari penelitian ini dilakukan untuk menentukan nilai margin of error sesuai dengan batasan parameter dan sebaran data yang telah diberikan. Program komputer ditulis menggunakan Software Mathematica 8.0 dengan parameter dan banyaknya kategori yang nilainya dibatasi dari 2 sampai 15 serta ukuran contoh yang dapat diubah sesuai kebutuhan penelitian telah disiapkan untuk menjalankan simulasi tersebut (lihat Lampiran 1). Hasil akhir dari penelitian ini adalah diperolehnya suatu fungsi margin of error yang nilainya ditentukan oleh dua peubah yaitu banyaknya kategori dan ukuran contoh . Untuk keperluan tersebut, akan dibangkitkan nilai margin of error dari setiap kasus, kemudian melakukan fit terhadap nilai-nilainya agar diperoleh suatu fungsi pendekatan.

5.1 Uji Nilai Tengah dari Dua Kelompok Data yang Menyebar Normal 5.1.1 Kasus 1: , .

Menggunakan Software Mathematica 8.0, dibangkitkan dua kelompok data (masing-masing 1000 set data) yang menyebar normal antara 0 sampai 100 dengan nilai tengah populasi , dan simpangan baku .

Dengan mengaplikasikan rumus margin of error persamaan (3.2.2) diperoleh hasil rerata margin of error seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3, Gambar 4, dan Tabel 2.

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 10

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 20 data awal data kategori

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 30

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 100

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 200

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 300

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 400

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 500

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 2 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 3 kategori

Gambar 3 Plot nilai mean margin of error sebaran normal berbagai ukuran sampel dari kasus , .

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 4 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 5 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 6 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 7 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 8 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 9 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 10 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 11 kategori

4 kategori 5 kategori

6 kategori 7 kategori

8 kategori 9 kategori

Pada Gambar 3 sampai 4, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka nilai mean margin of error nya akan semakin kecil dan konvergen ke data awalnya. Demikian juga untuk setiap kategori, semakin banyak ukuran contoh maka mean margin of error nya akan semakin kecil.

Nilai rerata margin of error pada Tabel 2 selanjutnya di plot ke ruang tiga dimensi agar dapat ditentukan fungsi pendekatan untuk melakukan fit terhadap data tersebut seperti yang terlihat pada Gambar 5. Dari data yang terlihat pada Gambar 5 maka fungsi yang sesuai untuk melakukan fit adalah fungsi eksponen dengan dua peubah yang independen dan konvergen ke nol, sehingga dipilih fungsi

dengan adalah banyaknya kategori, adalah ukuran contoh, dan adalah konstanta taknegatif.

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 12 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 13 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 14 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 15 kategori

Gambar 4 Plot nilai Rerata Margin of Error sebaran normal berbagai kategori dari kasus ,

Tabel 2 Rerata Margin of Errordata normal, ,

Kategori Ukuran Contoh

10 20 30 100 200 300 400 500

2 23,421 15,495 12,651 6,931 4,899 4,000 3,464 3,099

3 16,245 10,598 8,678 4,736 3,364 2,754 2,379 2,128

4 15,339 10,183 8,353 4,582 3,246 2,653 2,294 2,055

5 14,823 9,827 8,089 4,425 3,129 2,559 2,213 1,981

6 14,483 9,686 7,922 4,329 3,070 2,510 2,170 1,942

7 14,305 9,521 7,827 4,281 3,035 2,479 2,142 1,919

8 14,192 9,447 7,750 4,243 3,007 2,456 2,124 1,902

9 14,093 9,417 7,715 4,214 2,989 2,443 2,113 1,891

10 14,045 9,360 7,691 4,204 2,978 2,434 2,104 2,884

11 13,984 9,339 7,658 4,185 2,969 2,426 2,098 1,878

12 13,975 9,314 7,637 4,176 2,961 2,420 2,093 1,873

13 13,926 9,292 7,628 4,167 2,957 2,415 2,089 1,871

14 13,942 9,281 7,616 4,163 2,952 2,412 2,086 1,867

15 13,922 9,262 7,611 4,157 2,948 2,409 2,083 1,865

Data

Awal 13,791 9,194 7,547 4,123 2,924 2,390 2,066 1,850

Gambar 5 Plot mean margin of error data sebaran normal , .

Dengan melakukan fit data nilai rerata mean margin of error pada Tabel 2 menggunakan fungsi pada persamaan (5.1) maka diperoleh fungsi seperti berikut:

dengan adalah banyaknya kategori dan adalah banyaknya ukuran contoh. Jika persamaan (5.2) diplotkan pada grafik maka akan diperoleh Gambar 6.

Gambar 6 Plot fungsi sebaran normal , .

5.1.2 Kasus 2: , , dari data yang menyebar normal Sesuai dengan persamaan (3.2.2) bahwa nilai margin of error hanya dipengaruhi oleh simpangan baku dan ukuran contoh saja maka berapapun selisih

, jika ragamnya sama maka fungsi nya akan sama dengan persamaan (5.2). Hal tersebut dapat ditunjukkan oleh teorema berikut.

Teorema 5.5

Untuk peubah acak ̅ dan ̅ yang saling bebas dan terdefinisi pada ruang contoh yang sama dengan c adalah konstanta positif, jika ̅ ̅

maka ̅ ̅ . Bukti.

̅ ̅ ̅ ̅ . ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅

Sebagai contoh, menggunakan Software Mathematica 8.0, dibangkitkan dua kelompok data (masing-masing 1000 set data) yang menyebar normal antara 0

sampai 100 dengan nilai tengah populasi , dan simpangan baku

. Dengan mengaplikasikan rumus margin of error persamaan (3.2.2) diperoleh hasil rerata margin of error seperti yang dapat dilihat pada Tabel 3.

Tabel 3 Rerata Margin of Errordata normal, ,

Kategori Ukuran Contoh

10 20 30 100 200 300 400 500

2 22,210 14,538 11,835 6,499 4,593 3,748 3,247 2,905

3 16,155 10,663 8,780 4,819 3,415 2,786 2,412 2,160

4 15,201 10,145 8,252 4,552 3,222 2,629 2,275 2,038

5 14,636 9,814 7,995 4,403 3,111 2,538 2,198 1,969

6 14,320 9,594 7,835 4,311 3,053 2,488 2,155 1,931

7 14,184 9,472 7,747 4,256 3,012 2,458 2,129 1,907

8 14,062 9,418 7,658 4,221 2,990 2,437 2,111 1,891

9 13,945 333 7,633 4,201 2,974 2,424 2,100 1,881

10 13,908 9,318 7,599 4,183 2,959 2,414 2,090 1,872

11 13,861 9,294 7,576 4,169 2,951 2,406 2,085 1,867

12 13,829 9,265 7,555 4,159 2,945 2,400 2,079 1,863

13 13,828 9,246 7,543 4,153 2,939 2,396 2,075 1,859

14 13,786 9,226 7,532 4,145 2,935 2,393 2,073 1,857

15 13,755 9,223 7,525 4,141 2,932 2,390 2,070 1,854

Data

Awal 13,661 9,150 7,464 4,108 2,908 2,371 2,053 1,840

Jika data pada Tabel 2 dibandingkan dengan data pada Tabel 3 maka terlihat nilai mean margin of error nya cenderung sama seperti yang telah dibuktikan oleh Teorema 5.5 bahwa perubahan selisih nilai tengah tidak akan mengubah ragam sehingga nilai mean margin of error nya cenderung sama.

5.1.3 Kasus 3: , dari data yang meyebar Poisson

Sebaran Poisson hanya dipengaruhi oleh satu parameter yaitu nilai tengah populasi dengan . Menggunakan Software Mathematica 8.0, dibangkitkan dua kelompok data (masing-masing 1000 set data) yang menyebar Poisson antara 0 sampai 100 dengan nilai tengah populasi Dengan mengaplikasikan rumus margin of error persamaan (3.2.2) diperoleh hasil rerata margin of error seperti yang dapat dilihat pada Gambar 7, Gambar 8, dan Tabel 4.

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 10

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 20

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 30

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 100

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 200

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 300

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 400

2 4 6 8 10 12 14

0 5 10 15 20 25 Kategori M ea n M ar gi n of E rr or n 500 data awal data kategori

Gambar 7 Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai ukuran contoh dari kasus .

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 2 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 3 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 4 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 5 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 6 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 7 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 8 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 9 kategori 7 kategori 6 kategori

8 kategori 9 kategori 2 kategori 3 kategori

Pada Gambar 7 sampai 8, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka nilai mean margin of error nya akan semakin kecil dan konvergen ke data awalnya. Demikian juga untuk setiap kategori, semakin banyak ukuran contoh maka mean margin of error nya akan semakin kecil.

Nilai rerata margin of error pada Tabel 3 selanjutnya di plot ke ruang tiga dimensi agar dapat ditentukan fungsi pendekatan untuk melakukan fit terhadap data tersebut seperti yang terlihat pada Gambar 9. Dari data yang terlihat pada Gambar 9 maka fungsi yang sesuai untuk melakukan fit adalah fungsi eksponen

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 10 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 11 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 12 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 13 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 14 kategori

0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 Ukuran Sampel M ea n M ar g in of E rr o r 15 kategori

Gambar 8 Plot nilai rerata margin of error sebaran Poisson berbagai kategori dari kasus .

10 kategori 11 kategori

12 kategori 13 kategori

dengan dua peubah yang independen dan konvergen ke nol, sehingga dipilih fungsi pada persamaan (5.1).

Tabel 4 Rerata Margin of Errordata Poisson,

Kategori Ukuran Contoh

10 20 30 100 200 300 400 500

2 23,368 15,482 12,608 6,911 4,885 3,989 3,455 3,090

3 10,254 5,009 3,494 1,361 0,918 0,734 0,641 0,573

4 11,708 7,750 6,319 3,462 2,446 1,998 1,730 1,548

5 7,998 4,948 3,993 2,198 1,560 1,271 1,102 0,985

6 8,356 5,547 4,517 2,477 1,755 1,430 1,240 1,108

7 7,281 4,783 3,921 2,147 1,523 1,244 1,077 0,962

8 7,339 4,917 3,992 2,202 1,557 1,269 1,101 0,984

9 7,231 4,826 3,959 2,162 1,536 1,251 1,084 0,970

10 7,034 4,707 3,848 2,112 1,498 1,221 1,058 0,945

11 7,016 4,706 3,826 2,106 1,493 1,216 1,053 0,942

12 6,820 4,569 3,733 2,044 1,451 1,182 1,025 0,916

13 6,958 4,664 3,808 2,089 1,480 1,206 1,045 0,935

14 6,610 4,419 3,600 1,977 1,400 1,143 0,990 0,885

15 6,727 4,507 3,683 2,021 1,433 1,168 1,012 0,905

Data

Awal 6,523 4,368 3,568 1,957 1,388 1,131 0,980 0,876

Gambar 9 Plot mean margin of error data Poisson, .

Dengan melakukan fit data nilai rerata mean margin of error pada Tabel 4 menggunakan fungsi pada persamaan (5.1) maka diperoleh fungsi seperti berikut:

dengan adalah banyaknya kategori dan adalah banyaknya ukuran contoh. Jika persamaan (5.3) diplotkan pada grafik maka akan diperoleh Gambar 10.

Gambar 10 Plot fungsi sebaran Poisson .

5.2 Nilai Mean Margin of Error dan Uji-5.2.1 Sebaran normal

Secara umum, bila digunakan nilai yang tepat untuk membuat selang kepercayaan bagi selisih nilai tengah kedua populasi , maka dapat juga digunakan nilai yang sama untuk menguji hipotesis lawan alternatif yang sesuai. Ini berarti bahwa contoh harus diambil dari populasi normal atau ukurannya , dalam hal yang terakhir ini kita dapat menggunakan Dalil Limit Pusat untuk membenarkan digunakannya statistik uji normal (Walpole 1993). Dari hal tersebut berarti uji- mensyaratkan datanya menyebar normal dengan skala data kontinu. Dalam penelitian ini data kontinu dibuat menjadi data kategori sehingga menyebabkan skala datanya menjadi diskret.

Setelah disimulasikan menggunakan parameter dengan , diperoleh informasi bahwa banyaknya true parameter yang berada pada selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya terima pada uji- . Sedangkan banyaknya true parameter yang berada di luar selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya tolak pada uji- . Untuk setiap kategori,

banyaknya terima berada di sekitar atau tepat banyaknya set data yang disimulasikan, sedangkan yang tolak berada di sekitar atau tepat banyaknya set data, dengan adalah taraf nyata (lihat Lampiran 3). Hal ini berarti pengkategorian data akan menyebabkan peningkatan nilai mean margin of error, tetapi peningkatan nilai tersebut tidak sampai mengubah kesimpulan uji- .

5.2.2 Sebaran Poisson

Penggunaan data yang menyebar Poisson pada uji- jelas melanggar syarat penggunaan uji tersebut seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Tetapi setelah disimulasikan menggunakan sembarang parameter diperoleh informasi bahwa banyaknya true parameter yang berada pada selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya terima pada uji- . Sedangkan banyaknya true parameter yang berada di luar selang kepercayaan akan sama dengan banyaknya tolak pada uji- . Untuk setiap kategori, banyaknya terima berada di sekitar atau tepat banyaknya set data yang disimulasikan, sedangkan yang tolak berada di sekitar atau tepat banyaknya set data, dengan adalah taraf nyata (lihat Lampiran 4). Hal ini berarti pengkategorian data akan menyebabkan peningkatan nilai mean margin of error, tetapi peningkatan nilai tersebut tidak sampai mengubah kesimpulan uji- .

BAB VI

SIMPULAN DAN SARAN

6.1 Simpulan

Berdasarkan kajian sensitivitas skala data terhadap uji menggunakan rerata margin of error dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Untuk data yang menyebar normal, dengan parameter dan dengan , serta , maka fungsi bias yang merupakan nilai meanmargin of error nya adalah

dengan adalah banyaknya kategori dan adalah ukuran contoh.

2. Untuk data yang menyebar Poisson, dengan parameter maka fungsi bias yangmerupakan nilai meanmargin of error nya adalah

dengan adalah banyaknya kategori dan adalah ukuran contoh.

3. Untuk setiap kategori, semakin besar ukuran contoh maka biasnya semakin kecil. Demikian juga sebaliknya, untuk setiap ukuran contoh, semakin banyak kategori maka biasnya semakin kecil.

4. Pengkategorian data dapat memperbesar bias pada selang kepercayaan, tetapi biasnya tidak sampai mengubah kesimpulan dari uji- .

6.2 Saran

Dalam penelitian ini, uji hipotesis disusun agar yang terjadi adalah galat jenis 1 yaitu menolak yang benar. Penelitian lanjutan dapat dikembangkan terhadap galat jenis 2, terhadap berbagai sebaran data, ukuran contoh, ragam populasi yang tidak sama, menggunakan sebaran normal baku sebagai data yang dibangkitkan, serta menggunakan selisih antara nilai t hitung kontinu dan t hitung kategori sebagai biasnya. Simulasi dalam penelitian ini masih menggunakan

pemrograman berbasis prosedural sehingga kurang efisien (memerlukan memori yang besar dan waktu eksekusi yang lama). Untuk pemrograman yang lebih efisien, penelitian lanjutan disarankan pemrogramannya berbasis fungsional, suatu istilah pemrograman yang dikenal ketika menggunakan Software Mathematica 8.0.

DAFTAR PUSTAKA

Agresti A. 2002. Categorical Data Analysis. Second Edition. John Wiley & Son. USA

Billingsley P. 1991. Probability and Measure. New York: John Willey & Sons. Brace I. 2004. Questionnaire design: how to plan, structure and write survei

material for effective market research. London & Sterling, VA. USA Brase CH, Brase CP. 2009. Understandable Statistics: Concept and Methods.

Ninth Edition. Brooks/Cole. Boston-USA

Dunn-Rankin et al. 2004. Scaling Methods. Second Edition. Lawrence Erlbaum Associates, Publisher. New Jersey-USA.

Freund RJ, Wilson WJ. 2003. Statistical Methods. Second Edition. Elsevier Science (USA).

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability dengan Stochastic Process. New Jersey: Pearson Prentice Hall.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: University Press.

Pelosi MK, Sandifer TM. 2003. Elementary Statistics. John Wiley & Sons. USA Purcell EJ, Varberg D. 1999. Kalkulus dan Geometri Analisis, Ed ke-2. Susila IN,

Kartasasmita B, Ruwuh, Terjemahan; Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus With Analytic Geometry, 2nd Edition.

Pritsker AA, O’Reilly JJ. 1999. Simulation with Visual Slam and Awesim. John Wiley & Sons. USA

Ross SM. 2000. Stochastic Process. New York: Macmillan Publishing Company. Triola MF. 2006. Elementary Statistics. Tenth Edition. Pearson Education, Inc. Walpole RE. 1993. Pengantar Statistika. Edisi ke-3. PT. Gramedia Pustaka

Lampiran 1. Program Simulasi

kategorimaks=15;q=1000;1=50;2=50;1=15;2=15;=0.05;

talphaperdua=2.101;

Membangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan nilai tengah  dan simpangan baku .

acak[mu_,sigma_,n_,a_,b_]:=Module[{lis,nd},lis={};

While[Length[lis]<n,nd=RandomVariate[NormalDistribution[mu,sigma]];

If[andb,lis=Append[lis,nd]]];lis]

Kasus 1. ukuran contoh 10 , menyebar normal.

Membangkitkan populasi kelompok 1 sebanyak 1000 contoh (bernilai 0 sampai 100) berdistribusi normal dengan nilai tengah 50 dan simpangan baku 15.

pt1=q;pt2=q;n1=10;n2=n1;For[i=1,ipt1,i++,contoh1[i]=acak[1,1,n1,0,100]]

For[i=1,iq,i++,{contoh[1,i]=contoh1[i];xmean[1,i]=Mean[contoh[1,i]];

ragam[1,i] = Variance[contoh[1,i]]}]

rerata1=Mean[Flatten[Array[xmean,{1,q},{1,1}]]]; sb1=Sqrt[Mean[Flatten[Array[ragam,{1,q},{1,1}]]]]; sbnol1=Count[Flatten[Sqrt[Array[ragam,{1,q},{1,1}]],1],0];

Membangkitkan populasi kelompok 2 sebanyak 1000 contoh (bernilai 0 sampai 100) berdistribusi normal dengan nilai tengah 50 dan simpangan baku 15.

For[i=1,ipt2,i++,contoh2[i]=acak[2,2,n2,0,100]]

For[i=1,iq,i++,{contoh[2,i]=contoh2[i];xmean[2,i]=Mean[contoh[2,i]];

ragam[2,i]=Variance[contoh[2,i]]}];

rerata2=N[Mean[Flatten[Array[xmean,{1,q},{2,1}]]]]; sb2=N[Sqrt[Mean[Flatten[Array[ragam,{1,q},{2,1}]]]]]; sbnol2=Count[Flatten[Sqrt[Array[ragam,{1,q},{2,1}]],1],0];

Peluang Nilai P Value data awal  Taraf Nyata

For[i=1,iq,i++,PValue[i]=TTest[{contoh[1,i],contoh[2,i]},1-2,

"PValue",SignificanceLevel0.05,VerifyTestAssumptionsNone,

AlternativeHypothesis"Unequal"]]

reratapv=Mean[Array[PValue,q]];

For[i=1,iq,i++,PValue[i]=TTest[{contoh[1,i],contoh[2,i]},1-2,

"ShortTestConclusion",SignificanceLevel0.05,VerifyTestAssumptionsNone,

AlternativeHypothesis"Unequal"]]

tolakk=Count[Array[PValue,q],"Reject"]; terimak=Count[Array[PValue,q],"Do not reject"];

Melakukan uji nilai tengah & mencari true value

For[i = 1, i <= q, i++,

deltakontinu[i] = N[talphaperdua*spkontinu[i]* Sqrt[1/n1 + 1/n2]]; thkontinu[i] =

N[((xmean[1, i] - xmean[2, i]) - (Subscript[, 1] -

Subscript[, 2]))/(spkontinu[i]*Sqrt[1/n1 + 1/n2])];

deltarerata[i] = Abs[xmean[1, i] - xmean[2, i]]; batasatas[i] = deltarerata[i] + deltakontinu[i]; batasbawah[i] = deltarerata[i] - deltakontinu[i]; keputusankontinuTrue[i] = If[batasbawah[i] <

Subscript[, 1] - Subscript[, 2] < batasatas[i], True,

False]; keputusankontinuFalse[i] =

If[batasbawah[i] > Subscript[, 1] - Subscript[, 2] ||

Subscript[, 1] - Subscript[, 2] > batasatas[i],

False, True]}]

reratagalat=Mean[Array[deltakontinu,q]];

dalamkontinu=Count[Array[keputusankontinuTrue,q],True]; luarkontinu=Count[Array[keputusankontinuFalse,q],False]; reratathkontinu=Mean[Array[thkontinu,q]];

reratabatasatas=Mean[Array[batasatas,q]]; reratabatasbawah=Mean[Array[batasbawah,q]];

Masing-masing 1000 pasangan contoh data kontinu dikonversi ke data kategori berukuran 2 sampai 15. Kemudian masing-masing pasangan data kategori dilakukan uji nilai tengah.

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,For[kategorimin=2,kategoriminkategorimaks,kategorimin++,For

[k=1,kkategorimin,k++,bbkelas[j,l,kategorimin,1]=0]]]]

For[j = 1, j <= 2, j++, For[l = 1, l <= q, l++, For[kategorimin = 2,

kategorimin <= kategorimaks, kategorimin++, For[k = 1, k <= kategorimin, k++, selisih[j, l, kategorimin, k] = N[100/kategorimin, 4]]]]];

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,For[kategorimin=2,kategoriminkategorimaks,kategorimin++,For

[k=1,kkategorimin,k++,{bakelas[j,l,kategorimin,k]=bbkelas[j,l,kategorimin,k]+selisih[j,l,kategori

min,k]+0.0005,bbkelas[j,l,kategorimin,k+1]=bakelas[j,l,kategorimin,k]}]]]];

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,For[kategorimin=2,kategoriminkategorimaks,kategorimin++,For

[k=1,kkategorimin,k++,fkelas[j,l,kategorimin,k]=Length[Select[contoh[j,l],bbkelas[j,l,kategorimi

n,k]#< bakelas[j,l,kategorimin,k]&]]]]]]

For[j = 1, j <= 2, j++, For[l = 1, l <= q, l++, For[kategorimin = 2,

kategorimin <= kategorimaks, kategorimin++, jumlahfkelas[j, l, kategorimin] = Sum[fkelas[j, l, kategorimin, k], {k, 1, kategorimin}]]]]

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,For[kategorimin=2,kategoriminkategorimaks,kategorimin++,For

[k=1,kkategorimin,k++,xtengah[j,l,kategorimin,k]=1/2

(bbkelas[j,l,kategorimin,k]+bakelas[j,l,kategorimin,k])]]]] For[j = 1, j <= 2, j++, For[l = 1, l <= q, l++, For[kategorimin = 2,

kategorimin <= kategorimaks, kategorimin++, For[k = 1, k <= kategorimin, k++,xmean[j, l, kategorimin] =

N[Sum[xtengah[j, l, kategorimin, p]*fkelas[j, l, kategorimin, p], {p, 1, kategorimin}]/Sum[fkelas[j, l, kategorimin, p], {p, 1, kategorimin}]]]]]]

For[j = 1, j <= 2, j++, For[l = 1, l <= q, l++, For[kategorimin = 2,

kategorimin <= kategorimaks, kategorimin++, For[k = 1, k <= kategorimin, k++,{ragam[j, l, kategorimin] =

N[(1/(Sum[fkelas[j, l, kategorimin, p], {p, 1, kategorimin}] - 1))* Sum[fkelas[j, l, kategorimin, p]*(xtengah[j, l, kategorimin, p] - xmean[j, l, kategorimin])^2, {p, 1, kategorimin}]]}]]]]

kategorimin++,For[k=1,kkategorimin,k++,datakat[j,l,kategorimin,k]={xtengah[j,l,kategorimin,k] ,fkelas[j,l,kategorimin,k]}]]]]

datakl=Array[datakat,{2,q,kategorimaks-1,kategorimin-1},{1,1,2,1}];

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,For[i=2,ikategorimaks,i++,datakl1[j,l,i]=

Take[datakl[[j]][[l]][[i-1]],i]]]]

2 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,2]=Flatten[Append[ConstantArray

[datakl1[j,l,2][[1]][[1]],datakl1[j,l,2][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,2][[2]][[1]],datakl1[j,l,2][[2]][[2]]]]]]]

3 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,3]=Flatten[Append[{ConstantArray

[datakl1[j,l,3][[1]][[1]],datakl1[j,l,3][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,3][[2]][[1]],datakl1[j,l,3][[2]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,3][[3]][[1]],datakl1[j,l,3][[3]][[2]]]]]]]

4 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,4]=Flatten[Append[{{ConstantArray[datakl1[j,l,4][[1]]

[[1]],datakl1[j,l,4][[1]][[2]]],ConstantArray

[datakl1[j,l,4][[2]][[1]],datakl1[j,l,4][[2]][[2]]]},ConstantArray[datakl1[j,l,4][[3]][[1]],datakl1[j,l,4 ][[3]][[2]]]},ConstantArray[datakl1[j,l,4][[4]][[1]],

datakl1[j,l,4][[4]][[2]]]]]]]

5 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,5]=Flatten[Append[{{{ConstantArray[datakl1[j,l,5][[1]

][[1]],datakl1[j,l,5][[1]][[2]]],ConstantArray

[datakl1[j,l,5][[2]][[1]],datakl1[j,l,5][[2]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,5][[3]][[1]],datakl1[j,l,5][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,5][[4]][[1]],datakl1[j,l,5][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,5][[5]][[1]],datakl1[j,l,5][[5]][[2]]]]]]]

6 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,6]=Flatten[Append[{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,6][[1]][[1]],datakl1[j,l,6][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,6][[2]][[1]],datakl1[j,l,6][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,6][[3]][[1]],datakl1[j,l,6][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,6][[4]][[1]],datakl1[j,l,6][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,6][[5]][[1]],datakl1[j,l,6][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,6][[6]][[1]],datakl1[j,l,6][[6]][[2]]]]]]]

7 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,7]=Flatten[Append[{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,7][[1]][[1]],datakl1[j,l,7][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,7][[2]][[1]],datakl1[j,l,7][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,7][[3]][[1]],datakl1[j,l,7][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,7][[4]][[1]],datakl1[j,l,7][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,7][[5]][[1]],datakl1[j,l,7][[5]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,7][[6]][[1]],datakl1[j,l,7][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,7][[7]][[1]],datakl1[j,l,7][[7]][[2]]]]]]]

8 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,8]=Flatten[Append[{{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,8][[1]][[1]],datakl1[j,l,8][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,8][[2]][[1]],datakl1[j,l,8][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,8][[3]][[1]],datakl1[j,l,8][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,8][[4]][[1]],datakl1[j,l,8][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,8][[5]][[1]],datakl1[j,l,8][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,8][[6]][[1]],datakl1[j,l,8][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,8][[7]][[1]],datakl1[j,l,8][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,8][[8]][[1]],datakl1[j,l,8][[8]][[2]]]]]]]

9 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,9]=Flatten[Append[{{{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,9][[1]][[1]],datakl1[j,l,9][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,9][[2]][[1]],datakl1[j,l,9][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,9][[3]][[1]],datakl1[j,l,9][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,9][[4]][[1]],datakl1[j,l,9][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,9][[5]][[1]],datakl1[j,l,9][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,9][[6]][[1]],datakl1[j,l,9][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,9][[7]][[1]],datakl1[j,l,9][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,9][[8]][[1]],datakl1[j,l,9][[8]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,9][[9]][[1]],datakl1[j,l,9][[9]][[2]]]]]]]

10 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,10]=Flatten[Append[{{{{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,10][[1]][[1]],datakl1[j,l,10][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,10][[2]][[1]],datakl1[j,l,10][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,10][[3]][[1]],datakl1[j,l,10][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,10][[4]][[1]],datakl1[j,l,10][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,10][[5]][[1]],datakl1[j,l,10][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,10][[6]][[1]],datakl1[j,l,10][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,10][[7]][[1]],datakl1[j,l,10][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,10][[8]][[1]],datakl1[j,l,10][[8]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,10][[9]][[1]],datakl1[j,l,10][[9]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,10][[10]][[1]],datakl1[j,l,10][[10]][[2]]]]]]]

11 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,11]=Flatten[Append[{{{{{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,11][[1]][[1]],datakl1[j,l,11][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,11][[2]][[1]],datakl1[j,l,11][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,11][[3]][[1]],datakl1[j,l,11][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,11][[4]][[1]],datakl1[j,l,11][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,11][[5]][[1]],datakl1[j,l,11][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,11][[6]][[1]],datakl1[j,l,11][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,11][[7]][[1]],datakl1[j,l,11][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,11][[8]][[1]],datakl1[j,l,11][[8]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,11][[9]][[1]],datakl1[j,l,11][[9]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,11][[10]][[1]],datakl1[j,l,11][[10]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,11][[11]][[1]],datakl1[j,l,11][[11]][[2]]]]]]]

12 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,12]=Flatten[Append[{{{{{{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,12][[1]][[1]],datakl1[j,l,12][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,12][[2]][[1]],datakl1[j,l,12][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,12][[3]][[1]],datakl1[j,l,12][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[4]][[1]],datakl1[j,l,12][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[5]][[1]],datakl1[j,l,12][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[6]][[1]],datakl1[j,l,12][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[7]][[1]],datakl1[j,l,12][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[8]][[1]],datakl1[j,l,12][[8]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[9]][[1]],datakl1[j,l,12][[9]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[10]][[1]],datakl1[j,l,12][[10]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[11]][[1]],datakl1[j,l,12][[11]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,12][[12]][[1]],datakl1[j,l,12][[12]][[2]]]]]]]

13 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,13]=Flatten[Append[{{{{{{{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,13][[1]][[1]],datakl1[j,l,13][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,13][[2]][[1]],datakl1[j,l,13][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,13][[3]][[1]],datakl1[j,l,13][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[4]][[1]],datakl1[j,l,13][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[5]][[1]],datakl1[j,l,13][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[6]][[1]],datakl1[j,l,13][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[7]][[1]],datakl1[j,l,13][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[8]][[1]],datakl1[j,l,13][[8]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[9]][[1]],datakl1[j,l,13][[9]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[10]][[1]],datakl1[j,l,13][[10]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[11]][[1]],datakl1[j,l,13][[11]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[12]][[1]],datakl1[j,l,13][[12]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,13][[13]][[1]],datakl1[j,l,13][[13]][[2]]]]]]]

14 kategori dari q contoh

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,14]=Flatten[Append[{{{{{{{{{{{{

ConstantArray[datakl1[j,l,14][[1]][[1]],datakl1[j,l,14][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,14][[2]][[1]],datakl1[j,l,14][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,14][[3]][[1]],datakl1[j,l,14][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[4]][[1]],datakl1[j,l,14][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[5]][[1]],datakl1[j,l,14][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[6]][[1]],datakl1[j,l,14][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[7]][[1]],datakl1[j,l,14][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[8]][[1]],datakl1[j,l,14][[8]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[9]][[1]],datakl1[j,l,14][[9]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[10]][[1]],datakl1[j,l,14][[10]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[11]][[1]],datakl1[j,l,14][[11]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[12]][[1]],datakl1[j,l,14][[12]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[13]][[1]],datakl1[j,l,14][[13]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,14][[13]][[1]],datakl1[j,l,14][[14]][[2]]]]]]]

For[j=1,j2,j++,For[l=1,lq,l++,contoh[j,l,15]=Flatten[Append[{{{{{{{{{{{{{ ConstantArray[datakl1[j,l,15][[1]][[1]],datakl1[j,l,15][[1]][[2]]],ConstantArray [datakl1[j,l,15][[2]][[1]],datakl1[j,l,15][[2]][[2]]]},ConstantArray

[datakl1[j,l,15][[3]][[1]],datakl1[j,l,15][[3]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[4]][[1]],datakl1[j,l,15][[4]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[5]][[1]],datakl1[j,l,15][[5]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[6]][[1]],datakl1[j,l,15][[6]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[7]][[1]],datakl1[j,l,15][[7]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[8]][[1]],datakl1[j,l,15][[8]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[9]][[1]],datakl1[j,l,15][[9]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[10]][[1]],datakl1[j,l,15][[10]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[11]][[1]],datakl1[j,l,15][[11]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[12]][[1]],datakl1[j,l,15][[12]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[13]][[1]],datakl1[j,l,15][[13]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[13]][[1]],datakl1[j,l,15][[14]][[2]]]},ConstantArray [datakl1[j,l,15][[13]][[1]],datakl1[j,l,15][[15]][[2]]]]]]]

Posisi Contoh dengan Ragam Nol

For[i=1,iq,i++,ragam21[i]=Variance[contoh[1,i,2]]];For[i=1,iq,i++,ragam31[i]=Variance[conto

h[1,i,3]]];For[i=1,iq,i++,ragam41[i]=Variance[contoh[1,i,4]]];

For[i=1,iq,i++,ragam51[i]=Variance[contoh[1,i,5]]];For[i=1,iq,i++,ragam61[i]=Variance[conto

h[1,i,6]]];For[i=1,iq,i++,ragam71[i]=Variance[contoh[1,i,7]]];

For[i=1,iq,i++,ragam81[i]=Variance[contoh[1,i,8]]];For[i=1,iq,i++,ragam91[i]=Variance[conto

h[1,i,9]]];For[i=1,iq,i++,ragam101[i]=Variance

[contoh[1,i,10]]];For[i=1,iq,i++,ragam111[i]=Variance[contoh[1,i,11]]];For[i=1,iq,i++,ragam12

1[i]=Variance[contoh[1,i,12]]];For[i=1,iq,i++,

ragam131[i]=Variance[contoh[1,i,13]]];For[i=1,iq,i++,ragam141[i]=

Variance[contoh[1,i,14]]];

For[i=1,iq,i++,ragam151[i]=Variance[contoh[1,i,15]]];

For[i=1,iq,i++,ragam22[i]=Variance[contoh[2,i,2]]];For[i=1,iq,i++,

ragam32[i]=Variance[contoh[2,i,3]]];For[i=1,iq,i++,ragam42[i]=Variance

[contoh[2,i,4]]];For[i=1,iq,i++,ragam52[i]=Variance[contoh[2,i,5]]];

For[i=1,iq,i++,ragam62[i]=Variance[contoh[2,i,6]]];For[i=1,iq,i++,ragam72[i]=Variance[conto

h[2,i,7]]];For[i=1,iq,i++,ragam82[i]=Variance[contoh[2,i,8]]];

For[i=1,iq,i++,ragam92[i]=Variance[contoh[2,i,9]]];For[i=1,iq,i++,

ragam102[i]=Variance[contoh[2,i,10]]];For[i=1,iq,i++,ragam112[i]=Variance

[contoh[2,i,11]]];For[i=1,iq,i++,ragam122[i]=Variance[contoh[2,i,12]]];

For[i=1,iq,i++,ragam132[i]=Variance[contoh[2,i,13]]];For[i=1,iq,i++,

ragam142[i]=Variance[contoh[2,i,14]]];For[i=1,iq,i++,ragam152[i]=

Variance[contoh[2,i,15]]];

rg12=Array[ragam21,q];rg13=Array[ragam31,q];rg14=Array[ragam41,q];rg15= Array[ragam51,q];rg16=Array[ragam61,q];rg17=Array[ragam71,q];rg18=Array [ragam81,q];rg19=Array[ragam91,q];rg110=Array[ragam101,q];rg111=Array

[ragam111,q];rg112=Array[ragam121,q];rg113=Array[ragam131,q];rg114=Array[ragam141,q];rg 115=Array[ragam151,q];

rg22=Array[ragam22,q];rg23=Array[ragam32,q];rg24=Array[ragam42,q];rg25= Array[ragam52,q];rg26=Array[ragam62,q];rg27=Array[ragam72,q];rg28=Array [ragam82,q];rg29=Array[ragam92,q];rg210=Array[ragam102,q];rg211=Array

[ragam112,q];rg212=Array[ragam122,q];rg213=Array[ragam132,q];rg214=Array[ragam142,q];rg 215=Array[ragam152,q];

ragamnol1={Position[rg12,0`],Position[rg13,0`],Position[rg14,0`],Position [rg15,0`],Position[rg16,0`],Position[rg17,0`],Position[rg18,0`],Position[rg19,0`], Position[rg110,0`],Position[rg111,0`],Position[rg112,0`],Position[rg113,0`], Position[rg114,0`],Position[rg115,0`]}

2 40 960 1000 28 972 1000 0 0

3 1 113 114 1 113 114 683 659

4 40 960 1000 29 971 1000 0 0

5 64 879 943 55 888 943 30 28

6 47 953 1000 40 960 1000 0 0

7 60 939 999 49 950 999 1 0

8 41 959 1000 39 961 1000 0 0

9 61 939 1000 55 945 1000 0 0

10 54 946 1000 44 956 1000 0 0

11 54 946 1000 49 951 1000 0 0

12 54 946 1000 41 959 1000 0 0

13 58 942 1000 49 951 1000 0 0

14 54 946 1000 46 954 1000 0 0

15 67 933 1000 59 941 1000 0 0

Data

Awal 61 939 1000 51 949 1000 0 0

Tabel 24 Rerata panjang interval kepercayaan

Kategori Rerata Batas Bawah

Rerata Batas Atas

Panjang Interval 2 -15,467 15,497 30,964 3 -4,716 5,301 10,018 4 -7,742 7,757 15,500

5 -5,004 4,893 9,897

6 -5,517 5,577 11,095

7 -4,798 4,767 9,566

8 -4,892 4,943 9,835

9 -4,779 4,874 9,653

10 -4,724 4,690 9,415 11 -4,653 4,759 9,413 12 -4,557 4,581 9,138 13 -4,663 4,666 9,329 14 -4,407 4,431 8,838 15 -4,512 4,503 9,015

Tabel 25 Kasus 1, Poisson, 1000 set data berukuran 30

Kategori Interval tanpa

Interval dengan

Jumlah Tolak Terima Jumlah nol pop 1

nol pop 2

2 54 946 1000 53 947 1000 0 0

3 2 200 202 2 200 202 551 561

4 55 945 1000 53 947 1000 0 0

5 50 938 988 47 941 988 7 6

6 57 943 1000 51 949 1000 0 0

7 58 942 1000 54 946 1000 0 0

8 55 945 1000 49 951 1000 0 0

9 56 944 1000 54 946 1000 0 0

10 56 944 1000 54 946 1000 0 0

11 65 935 1000 61 939 1000 0 0

12 56 944 1000 50 950 1000 0 0

13 61 939 1000 56 944 1000 0 0

14 58 942 1000 52 948 1000 0 0

15 60 940 1000 57 943 1000 0 0

Data

Awal 59 941 1000 53 947 1000 0 0

Tabel 26 Rerata panjang interval kepercayaan

Kategori Rerata Batas Bawah

Rerata Batas Atas

Panjang Interval

2 -12,813 12,403 25,217

3 -3,301 3,686 6,988

4 -6,428 6,211 12,639

5 -4,016 3,970 7,986

6 -4,568 4,466 9,035

7 -3,898 3,945 7,843

8 -4,071 3,913 7,985

9 -3,965 3,953 7,919

10 -3,896 3,800 7,696 11 -3,867 3,786 7,653 12 -3,749 3,717 7,467 13 -3,872 3,745 7,617 14 -3,613 3,586 7,200 15 -3,727 3,639 7,367

Tabel 27 Kasus 1, Poisson, 1000 set data berukuran 100

Kategori Interval tanpa

Interval dengan

Jumlah Tolak Terima Jumlah nol pop 1

nol pop 2

2 51 949 1000 51 949 1000 0 0

3 43 704 747 43 704 747 146 130

4 49 951 1000 49 951 1000 0 0

5 52 948 1000 48 952 1000 0 0

6 55 945 1000 54 946 1000 0 0

7 54 946 1000 54 946 1000 0 0

8 53 947 1000 52 948 1000 0 0

9 55 945 1000 55 945 1000 0 0

10 45 955 1000 43 957 1000 0 0

11 55 945 1000 53 947 1000 0 0

12 47 953 1000 45 955 1000 0 0

13 45 955 1000 45 955 1000 0 0

14 47 953 1000 46 954 1000 0 0

15 53 947 1000 52 948 1000 0 0

Data

Awal 48 952 1000 47 953 1000 0 0

Tabel 28 Rerata panjang interval kepercayaan

Kategori Rerata Batas Bawah

Rerata Batas Atas

Panjang Interval 2 -6,902 6,920 13,823

3 -1,370 1,353 2,723

4 -3,4660 3,463 6,924

5 -2,149 2,246 4,396

6 -2,473 2,482 4,955

7 -2,145 2,149 4,294

8 -2,188 2,216 4,404

9 -2,162 2,162 4,324

10 -2,088 2,136 4,224 11 -2,104 2,108 4,213 12 -2,030 2,058 4,088 13 -2,072 2,106 4,178 14 -1,976 1,979 3,955 15 -1,997 2,046 4,043

Tabel 29 Kasus 1, Poisson, 1000 set data berukuran 200

Kategori Interval tanpa

Interval dengan

Jumlah Tolak Terima Jumlah nol pop 1

nol pop 2

2 56 944 1000 56 944 1000 0 0

3 52 914 966 52 914 966 13 22

4 55 945 1000 55 945 1000 0 0

5 59 941 1000 59 941 1000 0 0

6 56 944 1000 55 945 1000 0 0

7 49 951 1000 49 951 1000 0 0

8 50 950 1000 50 950 1000 0 0

9 54 946 1000 54 946 1000 0 0

10 56 944 1000 55 945 1000 0 0

11 44 956 1000 43 957 1000 0 0

12 49 951 1000 49 951 1000 0 0

13 47 953 1000 46 954 1000 0 0

14 49 951 1000 47 9533 1000 0 0

15 49 951 1000 49 951 1000 0 0

Data

Awal 47 953 1000 47 953 1000 0 0

Tabel 30 Rerata panjang interval kepercayaan

Kategori Rerata Batas Bawah

Rerata Batas Atas

Panjang Interval

2 -4,866 4,905 9,771

3 -0,925 0,910 1,836

4 -2,436 2,457 4,893

5 -1,538 1,582 3,121

6 -1,751 1,759 3,510

7 -1,496 1,550 3,047

8 -1,542 1,573 3,115

9 -1,531 1,540 3,072

10 -1,484 1,511 2,996 11 -1,481 1,504 2,986 12 -1,444 1,458 2,902 13 -1,462 1,497 2,960 14 -1,385 1,421 2,806 15 -1,411 1,455 2,867

Tabel 31 Kasus 1, Poisson, 1000 set data berukuran 300

Kategori Interval tanpa

Interval dengan

Jumlah Tolak Terima Jumlah nol pop 1

nol pop 2

2 57 943 1000 56 944 1000 0 0

3 61 934 995 61 934 995 1 4

4 56 944 1000 55 945 1000 0 0

5 50 950 1000 49 951 1000 0 0

6 46 954 1000 46 954 1000 0 0

7 55 945 1000 55 945 1000 0 0

8 56 944 1000 53 944 1000 0 0

9 53 947 1000 56 947 1000 0 0

10 55 945 1000 53 947 1000 0 0

11 49 951 1000 49 951 1000 0 0

12 52 948 1000 52 948 1000 0 0

13 62 938 1000 61 939 1000 0 0

14 52 948 1000 52 948 1000 0 0

15 54 946 1000 54 946 1000 0 0

Data

Awal 61 939 1000 59 941 1000 0 0

Tabel 32 Rerata panjang interval kepercayaan

Kategori Rerata Batas Bawah

Rerata Batas Atas

Panjang Interval

3 -0,721 0,747 1,468

4 -1,953 2,043 3,997

5 -1,244 1,299 2,543

6 -1,392 1,467 2,860

7 -1,230 1,257 2,488

8 -1,242 1,296 2,539

9 -1,226 1,276 2,502

10 -1,192 1,249 2,442 11 -1,195 1,237 2,432 12 -1,160 1,204 2,365 13 -1,181 1,232 2,413 14 -1,122 1,165 2,287 15 -1,137 1,198 2,336

Tabel 33 Kasus 1, Poisson, 1000 set data berukuran 400

Kategori Interval tanpa

Interval dengan

Jumlah Tolak Terima Jumlah nol pop 1

nol pop 2

2 47 953 1000 47 953 1000 0 0

3 51 946 997 51 946 997 2 1

4 48 952 1000 48 952 1000 0 0

5 42 958 1000 42 958 1000 0 0

6 43 957 1000 43 957 1000 0 0

7 55 945 1000 55 945 1000 0 0

8 40 960 1000 39 961 1000 0 0

9 43 957 1000 43 957 1000 0 0

10 46 954 1000 45 955 1000 0 0

11 45 955 1000 45 955 1000 0 0

12 43 957 1000 43 957 1000 0 0

13 41 959 1000 41 959 1000 0 0

14 48 952 1000 47 953 1000 0 0

15 45 955 1000 44 956 1000 0 0

Data

Awal 43 957 1000 42 958 1000 0 0

Tabel 34 Rerata panjang interval kepercayaan

Kategori Rerata Batas Bawah

Rerata Batas Atas

Panjang Interval

2 -3,483 3,426 6,910

3 -0,652 0,630 1,283

4 -1,744 1,717 3,461

5 -1,127 1,078 2,205

6 -1,254 1,225 2,480

7 -1,083 1,071 2,154

8 -1,113 1,088 2,202

9 -1,104 1,064 2,168

10 -1,078 1,038 2,116 11 -1,070 1,037 2,107 12 -1,035 1,015 2,050 13 -1,069 1,021 2,091 14 -1,002 0,979 1,981 15 -1,037 0,988 2,025

Tabel 35 Kasus 1, Poisson, 1000 set data berukuran 500

Kategori Interval tanpa

Interval dengan

Jumlah Tolak Terima Jumlah nol pop 1

nol pop 2

2 53 947 1000 53 947 1000 0 0

3 56 944 1000 56 944 1000 0 0

4 49 951 1000 48 952 1000 0 0

5 41 959 1000 41 959 1000 0 0

6 46 954 1000 46 954 1000 0 0

7 43 957 1000 43 957 1000 0 0

8 45 955 1000 45 955 1000 0 0

9 38 962 1000 38 962 1000 0 0

10 37 963 1000 37 963 1000 0 0

11 43 957 1000 42 958 1000 0 0

12 35 965 1000 35 965 1000 0 0

13 43 957 1000 42 958 1000 0 0

14 43 957 1000 42 958 1000 0 0

15 42 958 1000 41 959 1000 0 0

Data

Awal 41 959 1000 41 959 1000 0 0

Tabel 36 Rerata panjang interval kepercayaan

Kategori Rerata Batas Bawah

Rerata Batas Atas

Panjang Interval

2 -3,128 3,052 6,180

3 -0,567 0,579 1,146

4 -1,566 1,529 3,096

5 -0,991 0,980 1,971

6 -1,118 1,099 2,217

7 -0,958 0,967 1,925

8 -1,000 0,968 1,969

9 -0,967 0,972 1,940

10 -0,954 0,937 1,891 11 -0,950 0,934 1,884 12 -0,919 0,913 1,833 13 -0,941 0,929 1,870 14 -0,888 0,882 1,771 15 -0,907 0,903 1,811