percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses p sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah
untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial. Poisson mengembangkan distribusi yang dikenal dengan Hukum peristiwa
langka dengan probabilitas sukses sangat kecil walaupun jumlah n sangat besar. f x
= �� = � =
�
�
�
−�
�
x= 0, 1, 2, ... Dengan:
e = 2,71828... Beberapa sifat dari distribusi Poisson sebagai berikut
Mean � = λ
Varians �
2
= λ Deviasi standar
� = √�
1.6 Kontribusi Penelitian
Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan kajian, diharapkan: 1.
Memudahkan penggunakan Distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p dengan Distribusi P
oisson yang mempunyai parameter λ = n p. 2.
Sebagai bahan kajian untuk menganalisis Distribusi Binomial Poisson lebih lagi.
3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan
distribusi probabilitas.
Universitas Sumatera Utara
1.7 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1.
Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n dan p 2.
Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson parameter λ = n p 3.
Menarik kesimpulan dari hasil kajian.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Probabilitas Peluang
Kehidupan sehari-hari sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus ditentukan memilih yang mana. Biasanya dihadapkan dengan kemungkinan-
kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi. Statistik yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.
Probabilitas didefinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa
event yang akan terjadi di masa mendatang. Rentang probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0,
maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut terjadi. Serta
jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah 1, jika kejadian tersebut hanya
memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.
2.1.1 Definisi Teori Probabilitas a. Pendekatan klasik
Probabilitas merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu kejadian berdasarkan frekuensinya. Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi
pada kejadian A dan b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta
Universitas Sumatera Utara
masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas bahwa akan terjadi a adalah:
PA =
� �+�
; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: PA =
� �+�
b. Pendekatan subjektif
Nilai probabilitas adalah tepat apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang
bersifat individual berdasarkan pengalaman.
c. Pendekatan frekuensi relatif
Nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan pengumpulan data.
Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas akan terjadi A untuk N data adalah: PA =
� �
Probabilitas disajikan dengan simbol P, sehingga PA menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan
≤ PA ≤ 1. Dalam suatu percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi” PA atau “tidak terjadi” PA’, maka jumlah probabilitas totalnya adalah PA
+ PA’ = 1
2.1.2 Jenis Kejadian
a. Berdasarkan peluang terjadinya
1.Kejadian Saling Meniadakan Mutually exclusive, yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.
2. Kejadian Tidak Saling Meniadakan Non-mutually exclusive, yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.
b. Berdasarkan pengaruh
1.Kejadian Independen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas kejadian yang lain.
2. Kejadian Dependen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada probabilitas kejadian yang lain.
Universitas Sumatera Utara
Ruang sampel atau semesta merupakan himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Jadi ruang sampel adalah seluruh kemungkinan
peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan. Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan -
kemungkinan yang muncul. Kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang akan terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan
hasil yang terjadi dari sutau.
2.1.3 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian
Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi.
Jika ditinjau pada saat melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain :
1. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.
Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimaksudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti
diketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna. 2.
Dengan teori probabilitasdapat ditarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.Menarik kesimpulan secara tepat
atas hipotesis perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya yang terkait tentang karakteristik populasi.
3. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari
suatu populasi
2.2 Variabel Acak dan Distribusi Peluang
Variabel acak random variabel biasa ditandai dengan sebuah seperti x adalah variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran
dari sebuah eksperimen probabilitas. Jadi x dapat bernilai berapapun tergantung pada keluaran yang mungkin dihasilkan dalam dari eksperimen. Dengan kata lain,
Universitas Sumatera Utara
nilai tertentu dari x dalam sebuah eksperimen adalah suatu kemungkinan keluaran yang acak. Variabel acak dapat dibedakanmenjadi variabel acak diskret dan
variabel acak kontinu. Variabel acak diskret adalah variabel yang dapat memiliki sejmlah nilai yang bisa dihitung. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel
acak yang dapat memiliki nilai tak terhingga.berkaitan dengan titik-titik dalam suatu interval.
Peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang disebut dengan distribusi. Distribusi peluang untuk suatu
variabel acak menggambarkan bagaimana peluang terdistribusi untuk setiap nilai variabel acak. Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang,
dinotasikan dengan px atau fx, yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak. Terdapat dua jenis distribusi peluang yaitu distribusi peluang diskrit
dan distribusi peluang kontinu.Ada beberapa istilah yang digunakan dalam sebuah distribusi probabilitas seperti variabel acakrandom, diskrit dan kontinu.
2.2.1 Variabel Diskrit
Pada variabel diskrit setiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, serta peluang diskrit terbentuk bilamana jumlah semua peluang sama dengan satu. Ini
dikatakan wajar karena setiap peristiwa pasti memiliki nilai penjumlahan peluang sama dengan satu dari setiap kejadian yang mungkin terjadi.
Variabel diskrit merupakan variabel yang nilainya dapat diperoleh dengan cara membilang ataupun menghitung. Variabel dari sampel yang diambil dari
populasi ini bertujuan untuk mempermudah pemahaman teori sampel dan pembahasan hipotesis pada pengujian selanjutnya
Variabel diskrit x menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai x = x
1
,x
2
,x
3
,…..,x
n
terdapat peluang Px
i
= PX=x
i
. Fungsi fx,y adalah fungsi peluang gabungan dari dua peubah diskrit x, dan y jika :
Universitas Sumatera Utara
1. fx,y ≥ 0 untuk seluruh x,y
2. ∑ ∑ ��, �
� �
= 1 3.
P[x,y] ∈ � = ∑ ∑ ��, y untuk sebarang nilai A dalam bidang xy Jika x dan y dua peubah acak diskrit, distribusi peluang terjadinya secara serentak
dapat dinyatakan dengan fungsi untuk setiap pasangan nilai dalam rentang peubah acak x dan y dinamakan distribusi peluang gabungan x dan y dalam kasus peubah
acak diskrit yaitu nilai menyatakan peluang kejadian x dan y terjadi bersama- sama.
Variabel acak didefinisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara.
2.2.2 Variable Kontinu
Variabel kontinu merupakan kebalikan dari variable acak diskrit, jika pada variable acak diskrit nilainya didapat dari atau diperoleh dengan cara menghitung
atau membilang, pada Variabel acak kontinu nilainya diperoleh dari atau diperoleh dengan cara mengukur.
Variabel kontinu biasanya digunakan untuk menyatakan ukuran sebuah waktu dan hasil pengukuran. Jika x merupakan nilai dari variable acak maka
Variabel acak dikatakan sebagi variable acak kontinu jika memiliki batas - ~ x ~ dan memiliki batas-batas lain yang ditentukan. Serta x merupakan nilai dari
variable kontinu, maka kita akan mempunyai fungsi identitas fx yang dapat menghasilkan nilai-nilai peluang dari harga-harga x.
Jadi variabel acak merupakan ukuran hasil suatu percobaan yang bersifat acak. Beberapa contoh percobaan acak dan variabel acak.
1. Percobaan melempar uang akan menghasilkan gambar G atau angka A.
Apabila dilempar uang dua kali, sisi gambar bisa muncul 2 kali, 1 kali atau 0 tidak muncul. Percobaan melempar adalah percobaan acak dan nilai
hasil muncul gambar seperti 2, 1, dan 0 adalah variabel acak.
Universitas Sumatera Utara
2. PT Moena Jaya Farm menimbang berat semangka yang akan dikirim ke
supermarket.Penimbangan berat adalah merupakan percobaan acak dan nilai berat setiap buah adalah variabel acak.
Variabel acak adalah hasil ukuran dari percobaan yang bersifat acak.
2.3 Distribusi Peluang Acak Diskrit
Peubah Acak Random Variable merupakkan sebuah keluaran numerik yang merupakan hasil dari percobaan eksperimen. Peubah acak adalah suatu fungsi
dari ruang contoh ke bilangan nyata. Untuk setiap anggotadari ruang sampel percobaan, peubah acak bias mengambil tepat satu nilai. Peubah Acak x adalah
fungsi dari S ruang sampel ke bilangan riil R, X:S. Peubah Acak dituliskan sebagai huruf kapital X, Y, Z. Nilai-nilai tertentu yang merupakan keluaran
percobaan dituliskan dengan huruf kecil x, y, z.
Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai-nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.Seringkali untuk
memudahkan suatu perhitungan semua peluang peubah acak dinyatakan dalm suatu fungsi nilai-nilai x seperti fx yaitu f x = p X = x. Pada peubah acak
diskrit, setiap nilainya dikaitkan dengan peluang. Himpunan pasangan berurutan x, fX disebut distribusi peluang peubah acak x. Sebuah distribusi yang
mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah diskrit berikut peluangnya disebut peluang diskrit. Suatu peubah acak diskrit dapat dinyatakan sebagai:
f x = ∑ p�
2.1 Himpunan pasangan terurut x, f x merupakan suatu fungsi peluang, fungsi
masa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit x bila, untuk setiap kemungkinan hasil x:
1. f x ≥ 0
2. ∑ f �= 1
3. f x = p X= x
Universitas Sumatera Utara
Tanpa memperhatikan apakah suatu distribusi probabilitas diskrit disajikan secara grafis dengan sebuah histogram, dalam bentuk tabel atau dengan rumus ,
tingkah laku suatu peubah acak telah digambarkan. Sering pengamatan yang dihasilkan oleh percobaan statistik yang berbeda mempunyai tingkah laku umum
yang sama. Yang paling sederhana dari semua distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi yang peubah acaknya mengambil masing-masing nilai dengan
suatu probabilitas yang sama. Distribusi probabilitas semacam ini disebut distribusi seragam diskrit. Bila peubah acak xmengambil nilai x
1,
x
2,
x
3
.....x
k
,dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh fx;k =
1 �
denganx=x
1,
x
2,
x
3
.....x
k.
Digunakan notasi fx;k bukan fx untuk menunjukkan bahwa distribusi tersebut bergantung pada parameter k.
2.4 Distribusi Peubah Acak Kontinu