Perbandingan Distribusi Binomial Dan distribusi Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda

(1)

PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI

POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA

SKRIPSI

RAINI MANURUNG

110823011

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

(2)

PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI

POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RAINI MANURUNG

110823011

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(3)

PERSETUJUAN

Judul :Perbandingan Distribusi Binomial Dan distribusi

Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda

Kategori : Skripsi

Nama : Raini Manurung

Nomor Induk Mahasiswa : 110823011

Program Studi : Sarjana (S1) Statistika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Diluluskan di Medan, Juli 2013

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Pasukat Sembiring, M.Si Drs. Suwarno Ariswoyo, M. Si

NIP. 195311131985031002 NIP. 195003121980031001

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr.Tulus, M. Si. Ph. D NIP. 196209011988031002

(4)

PERNYATAAN

PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2013

RAINI MANURUNG 110823011

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Perbandingan Distribusi Binomial Dan Distribusi Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing 1 dan Drs. Pasukat Sembiring, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih kepada Prof. Dr Tulus, M. Si. Ph. D dan Ibu Dra. Mardingsih, M.Sc selaku Ketua Depatermen dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA –USU Medan. Bapak Dr. Sutarman, M. Sc. selaku Dekan FMIPA USU, Seluruh staff dan Dosen Matematika FMIPA USU, Pegawai FMIPA USU dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya tidak terlupakan kepada kedua orangtua penulis Ayahanda (Osten Manurung) dan Ibunda (Serti Helmi Sirait), dan adik penulis (Natanel Manurung, Jumadi Parulian Manurung dan Saider Marsaulina Manurung) serta semua keluarga dan teman-teman yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Tuhan Yang Esa akan membalasnya.

(6)

PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA

ABSTRAK

Kajian ini bertujuan untuk membandingkan Distribusi Binomial Dan Distribusi Poisson. Distribusi Binomial adalah Distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukan sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masing-masing percobaan tidak saling mempengaruhi (indepent). Distribusi Poisson adalah Distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi dari kejadian acak tertentu dapat digunakan sebagai pendekatan Distribusi Binomial. Distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p serta Distribusi Poisson mempunyai parameter λ= n p. Distribusi Binomial dan Distribusi Poisson dapat disajikan dalam bentuk histogram dengan mengunakan Software“R”. Hasil perhitungan diperoleh dengan menggunakan

Microsoft Excel dan tabel. Hasil kajian menunjukkan nilai probabilitas dari kedua distribusi dengan parameter yang berbeda. Dari nilai yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa distribusi Poisson lebih baik digunakan untuk sampel n yang besar (>50) dan probabilitas p yang sangat kecil (<0,1). Hasil kajian juga menunjukkan adanya pendekatan nilai probabilitas distribusi Binomial dengan Poisson untuk n >45 dan0,02 ≤ p ≤1.

(7)

BINOMIALCOMPARATIVEANDDISTRIBUTIONPOISSONDISTRIBUTI ONWITHDIFFERENTPARAMETERS

ABSTRACT

This study aimed to compare the Binomial Distribution and Poisson Distribution by way of generating random data. Binomial distribution is a discrete probability distribution of the the experiments performed n times with each trial have a probability p and each experiment did not influence each other (indepent). Poisson distribution is a discrete The probability distribution that presents a particular frequency of random events can be used as an approach Binomial Distribution. Binomial distribution has parameters n and p, and has the Poisson distribution parameter λ = np Binomial and Poisson distribution of can be presented in the form of a histogram using the software "R". Calculation results obtained using Microsoft Excel and tables. Results of the study showed the value of the probability of the two distributions with different parameters. From the values obtained it can be concluded that the Poisson distribution is better used for a large sample of n (> 50) and a very small probability p (<0,1). Results of the study also indicate a value approach to the Poisson Binomial probability distribution for n> 45 and 0,02 ≤p≤ 1.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Absract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 2

1.3Pembatasan Masalah 2

1.4Tujuan 3

1.5Tinjauan Pustaka 3

1.6Kontribusi Penelitian 5

1.7Metodologi Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 _{Teori Probabilitas ( peluang )} ₇

2.1.1 Definisi Teori Probabilitas 7 2.1.2 Jenis Kejadian 8

2.1.3 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian 10

2.2 Variabel Acak Dan Distribusi Distribusi Peluang 10

2.2.1 Variabel Diskrit 11

2.2.2 Variabel Kontinu 11 2.3 Distribusi Peluang Acak Diskrit 12

2.4 Distribusi Peluang Acak Kontinu 13

2.5 Rata-rata Hitung 14

2.6 Varians dan Standard Deviasi 15

2.7 Distribusi Binomial 15

2.8 Distribusi Poisson 16

2.9 Distribusi Sampling 18

2.9.1 Populasi Dan Sampel 18

2.10 Metode Sampling 19

2.10.1 Sampling Random (Sampling Acak) 20

2.10.1.1 Sampling Random Sederhana 20

2.10.1.2 Sampling Berlapis (Sampling Stratified) 21

(9)

2.10.1.4 Sampling Kelompok 23

2.10.2 Sampling Tidak Acak (Nonrandom) 23

2.10.2.1 Convenience Sampling 24

2.10.2.2 Quota Sampling 25

2.10.2.3 Snowball Sampling – Sampel Bola Salju 25

Bab 3 Pembahasan 26

3.1 Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial26 3.1.1 Menggunakan Tabel Distribusi Binomial 30

3.1.2 Mengunakan MS Excel untuk Distribusi Binomial 30

3.1.3 Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif 31

3.1.4 Mengunakan MS Excel untuk Binomial Kumulatif 31 3.2 Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson32 3.2.1 Menggunakan Tabel Distribusi Poisson 32 3.2.2 Menggunakan MS Excel untuk menghitung Distribusi Poisson 32 3.3 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Binomial dan Poisson 37

3.4 Pengenalan Software R 3.4.1 Mengambarkan Histogram Distribusi Binomial dan Poisson 42

3.5 Contoh Kasus52 3.5.1Contoh kasus membangkitkan Data Acak Pada Distribusi Binomial dan Poisson52 Bab 4 Kesimpulan dan Saran 54 4.1 Kesimpulan 54 4.2 Saran 54 Daftar Pustaka 55 Lampiran 55

(10)

DAFTAR TABEL

Tabel 1 Lambang Parameter dan Statistik 19

Tabel 3.1 Percobaan Binomial dengan n = 10 27

Tabel 3.2 Percobaan Binomial dengan n= 800 27

Tabel 3.3 Percobaan Binomial dengan n = 30 28

Tabel 3.4 Percobaan Binomial dengan n = 20 28

Tabel 3.5 Percobaan Binomial dengan n = 50 29

Tabel 3.6 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 10 34

Tabel 3.7 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 800 34

Tabel 3.8 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 30 35

Tabel 3.9 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 20 35

Tabel 3.10 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 50 36

Tabel 3.11 Membangkitkan Data Acak pada percobaan Binomial dan Poisson 37

Tabel 3.12 Perbandingan nilai Probabilitas dari Distribusi Binomial dan Poisson 39

(11)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Tampilan MS Excel untuk ditribusi binomial 31 Gambar 3.2 Tampilan MS Excel untuk ditribusi poisson 31 Gambar 3.3 Pembangkitkan Data Distribusi Binomial dengan 100 data

acakn = 80 p = 0,02 42 Gambar 3.4 Pembangkitkan Data Distribusi Poisson dengan λ = 2

dan 100 data acak 43 Gambar 3.5 Perintah untuk menggambar grafik Distribusi Binomial

n = 80 p = 0,02 44

Gambar 3.6 Perintah untuk menggambar grafik Distribusi Poissonλ = 2 45 Gambar 3.7 Grafik distribusi Binomial dengan n = 80 p = 0,02 46 Gambar 3.8 Grafik distribusi Poisson dengan λ = 2 46 Gambar 3.9 Grafik distribusi Binomial dengan n = 100 p = 0,02 47

Gambar 3.10 Grafik distribusi Binom dengan λ = 4 47

Gambar 3.11 Grafik Distribusi Binomial dngan n = 45 p = 0,05 48

Gambar 3.12 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 2,25 48

Gambar 3.13 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 500 p = 0,00449

Gambar 3.14 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 3,2 49 Gambar 3.15 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 800 p = 0,008 50 Gambar3.16 Grafik Distribusi Poisson dengan λ = 6,4 50 Gambar 3.17 Grafik distribusi Binomial dengan n = 200 p = 0,009 51

(12)

PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA

ABSTRAK

(13)

BINOMIALCOMPARATIVEANDDISTRIBUTIONPOISSONDISTRIBUTI ONWITHDIFFERENTPARAMETERS

ABSTRACT

(14)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal disebut percobaan Binomial. Dalam menghitung probabilitas nilai-nilai variabel acak yang berdistribusi Binomial dari hasil-hasil percobaan Binomial. Bila bilangan n kecil dan p besar, maka perhitungan probabilitas nilai variabel acak x tidak mengalami masalah, karena nilai probabilitas p dapat dihitung secara langsung atau diperoleh dengan memakai tabel untuk bilangan n, nilai p, dan nilai x tertentu. Akan tetapi, bilamana n besar dan p kecil sekali, maka perhitungan probabilitas nilai x tidak bisa atau sulit dilakukan baik secara langsung maupun dengan memakai tabel distribusi Binomial, sebab tabel hanya menyediakan nilai probabilitas untuk maksimum n = 30 dan nilai minimum p = 0,01.

Dalam perhitungan probabilitas distribusi Binomial dilakukan dengan memakai pendekatan distribusi Poisson. Jika n besar dan p kecil sekali distribusi binomial dapat didekati dengan memakai distribusi poisson. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3...n. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi Binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b (x│n p)

(15)

besar (>50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil < 0,1 maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan probabilitas Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.Berdasarkan latar belakang masalah akan dibahas bagaimana perbandingan distribusi Binomial mempunyai parameter n dan p dengan distribusi Poisson mempunyai parameter λ.

Sehingga kajian ini diberi judul Perbandingan Distribusi Binomial dan

Distribusi Poisson Dengan Parameter yang Berbeda-beda.

1.2Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang dibahas adalah perbandingan distribusi Binomial parameter n dan p dengan distribusi Poisson parameter λ = n p.

1.3Pembatasan Masalah

Yang ingin diketahui adalah harga rata-rata yang merupakan ukuran dari sekelompok data. Tujuannya adalah untuk mengetahui, sekitar mana data yang diamati tersebut bertebar. Ukuran ini juga disebut sebagai statistik, dan apabila ukuran ini dipergunakan untuk menyatakan populasi, maka ukuran tersebut dapat dikatakan sebagai parameter. Jadi dapat dikatakan jika ukuran tersebut dipergunakan untuk menerangkan sampel, maka ukuran tersebut dikatakan sebagai statistik. Sedangkan jika ukuran tersebut menerangkan populasi, maka ukuran tersebut dikatakan sebagai parameter. Harga rata-rata itu merupakan nilai tengah yang dapat mewakili sekelompok data yang diamati.

1.4Tujuan

Kajian ini bertujuan untuk menunjukkan perbandingan distribusi Binomial dan Poisson dengan menggunakan parameter distribusinya masing-masing.

(16)

1.5Tinjauan Pustaka

Beberapa buku, jurnal dan makalah sebelumnya yang menjadi rujukan yang digunakan untuk mewujudkan kajian ini, yang membantu penulis menguraikan tentang metode analisis yang penulis gunakan.

James Bernoulli ( 1654 – 1705 ) : Seorang ahli Matematika selama 20 tahun mempelajari probabilitas mengatakan bahwa jika p adalah probabilitas bahwa suatu peristiwa akan terjadi dalam sembarang percobaan tunggal dari suatu percobaan Binomial yang di ulang sebanyak n kali, dengan p (sukses) dan q (gagal)adalah tetap pada setiap percobaan dan x menyatakan banyaknya sukses dalam percobaan Binomial, maka variabel acak x mempunyai ditribusi Binomial yang dirumuskan sebagai berikut:

f ( x ) = P(X = x) = b(x, n, p) =�_��pxqn-x= n! x! (n −�)! p

qn-x

Dengan: p = probabilitas sukses

q = 1- p

n = jumlah total percobaan

x = jumlah sukses dari n kali percobaan

Distribusi Binomial merupakan distribusi diskrit, karena probabilitas nilai-nilai x dihitung pada setiap titik. Distribusi ini berhubungan dengan suku-suku berurut dari rumus Binomial, atau ekspansi Binomial sabagai berikut:

(q + p)n = qn + �n₁�qn-1 p + �₂n�qn-2 p2 +...+ pn

Di mana 1, ��₁�, ��₂�, ...disebut koefisien - koefisien Binomial. Distribusi ini disebut juga Distribusi Bernoulli, beberapa sifat distribusi Binomial sebagai berikut:

Mean μ = n p

Varians σ2 = n pq

(17)

Ronald E. Walpole (2003) Menyatakan Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 6 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar ½.

Untuk mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali percobaan, untuk melakukan perhitungan perlu menggunakan suatu distribusi acak, distribusi Binomial. Distribusi Binomial dapat diterapkan pada situasi dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan dan masing-masing mempunyai satu dari dua kemungkinan hasil disebut dengan keberhasilan dan kegagalan. Meskipun untuk beberapa kasus mungkin ada penunjukkan yang berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali, x mewakili jumlah keberhasilan, jika probabilitas untuk mendapatkan keberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i keberhasilan suatu formula yang menunjukkan fungsi kepekaan dari variabel acak Binomial, x dikatakan sebagai variabel acak :

P( x = i ) = � n _i�piqn-i

Siemon-Dennis Poisson (1837) : Menyatakan bahwa distribusiBinomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas

menurut satuan waktu. Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial

(18)

percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.

Poisson mengembangkan distribusi yang dikenal dengan Hukum peristiwa langka dengan probabilitas sukses sangat kecil walaupun jumlah n sangat besar.

f (x)=�(�= �) =��_��−�

! x= 0, 1, 2, ...

Dengan: e = 2,71828...

Beberapa sifat dari distribusi Poisson sebagai berikut

Mean �= λ

Varians �2 = λ

Deviasi standar �=√�

1.6Kontribusi Penelitian

Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan kajian, diharapkan:

1. Memudahkan penggunakan Distribusi Binomial mempunyai parameter n

dan p dengan Distribusi Poisson yang mempunyai parameter λ = n p.

2. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis Distribusi Binomial Poisson lebih lagi.

3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan distribusi probabilitas.

(19)

1.7Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n dan p 2. Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson parameter λ = n p 3. Menarik kesimpulan dari hasil kajian.

(20)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Probabilitas (Peluang)

Kehidupan sehari-hari sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus ditentukan memilih yang mana. Biasanya dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi. Statistik yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.

Probabilitas didefinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian, suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa

(event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentang probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah 1, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.

2.1.1 Definisi Teori Probabilitas a. Pendekatan klasik

Probabilitas merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu kejadian berdasarkan frekuensinya. Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta

(21)

masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas bahwa akan terjadi a adalah:

P(A) = �

�+�; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P(A) =

� �+� b. Pendekatan subjektif

Nilai probabilitas adalah tepat apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual (berdasarkan pengalaman).

c. Pendekatan frekuensi relatif

Nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan (pengumpulan data).

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas akan terjadi A untuk N data adalah: P(A) = �

�

Probabilitas disajikan dengan simbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1. Dalam suatu percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi” P(A) atau “tidak terjadi” P(A)’, maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1

2.1.2 Jenis Kejadian

a. Berdasarkan peluang terjadinya

1.Kejadian Saling Meniadakan (Mutually exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

2. Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-mutually exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

b. Berdasarkan pengaruh

1.Kejadian Independen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas kejadian yang lain.

2. Kejadian Dependen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada probabilitas kejadian yang lain.

(22)

Ruang sampel atau semesta merupakan himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Jadi ruang sampel adalah seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan. Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan - kemungkinan yang muncul. Kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang akan terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan. Kejadian menunjukkan hasil yang terjadi dari sutau.

2.1.3 Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika ditinjau pada saat melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain :

1. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.

Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimaksudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti diketahui dari sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna. 2. Dengan teori probabilitasdapat ditarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis

yang terkait tentang karakteristik populasi.Menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang terkait tentang karakteristik populasi.

3. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi

2.2 Variabel Acak dan Distribusi Peluang

Variabel acak (random variabel) biasa ditandai dengan sebuah seperti x

adalah variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas. Jadi x dapat bernilai berapapun tergantung pada keluaran yang mungkin dihasilkan dalam dari eksperimen. Dengan kata lain,

(23)

nilai tertentu dari x dalam sebuah eksperimen adalah suatu kemungkinan keluaran yang acak. Variabel acak dapat dibedakanmenjadi variabel acak diskret dan variabel acak kontinu. Variabel acak diskret adalah variabel yang dapat memiliki sejmlah nilai yang bisa dihitung. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel acak yang dapat memiliki nilai tak terhingga.berkaitan dengan titik-titik dalam suatu interval.

Peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang disebut dengan distribusi. Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang terdistribusi untuk setiap nilai variabel acak. Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak. Terdapat dua jenis distribusi peluang yaitu distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.Ada beberapa istilah yang digunakan dalam sebuah distribusi probabilitas seperti variabel acak/random, diskrit dan kontinu.

2.2.1 Variabel Diskrit

Pada variabel diskrit setiap harga variabel terdapat nilai peluangnya, serta peluang diskrit terbentuk bilamana jumlah semua peluang sama dengan satu. Ini dikatakan wajar karena setiap peristiwa pasti memiliki nilai penjumlahan peluang sama dengan satu dari setiap kejadian yang mungkin terjadi.

Variabel diskrit merupakan variabel yang nilainya dapat diperoleh dengan cara membilang ataupun menghitung. Variabel dari sampel yang diambil dari populasi ini bertujuan untuk mempermudah pemahaman teori sampel dan pembahasan hipotesis pada pengujian selanjutnya

Variabel diskrit x menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai x = x1,x2,x3,…..,xn terdapat peluang P(xi) = P(X=xi). Fungsi f(x,y) adalah fungsi

(24)

1. f(x,y)≥0 untuk seluruh (x,y)

2. ∑ ∑ �_� _� (�,�)= 1

3. P[x,y] ∈ � = ∑ ∑ �(�, y) untuk sebarang nilai A dalam bidang xy

Jika x dan y dua peubah acak diskrit, distribusi peluang terjadinya secara serentak dapat dinyatakan dengan fungsi untuk setiap pasangan nilai dalam rentang peubah acak x dan y dinamakan distribusi peluang gabungan x dan y dalam kasus peubah acak diskrit yaitu nilai menyatakan peluang kejadian x dan y terjadi bersama-sama.

Variabel acak didefinisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara.

2.2.2 Variable Kontinu

Variabel kontinu merupakan kebalikan dari variable acak diskrit, jika pada variable acak diskrit nilainya didapat dari atau diperoleh dengan cara menghitung atau membilang, pada Variabel acak kontinu nilainya diperoleh dari atau diperoleh dengan cara mengukur.

Variabel kontinu biasanya digunakan untuk menyatakan ukuran sebuah waktu dan hasil pengukuran. Jika x merupakan nilai dari variable acak maka Variabel acak dikatakan sebagi variable acak kontinu jika memiliki batas - ~ <x < ~ dan memiliki batas-batas lain yang ditentukan. Serta x merupakan nilai dari variable kontinu, maka kita akan mempunyai fungsi identitas f(x) yang dapat menghasilkan nilai-nilai peluang dari harga-harga x.

Jadi variabel acak merupakan ukuran hasil suatu percobaan yang bersifat acak. Beberapa contoh percobaan acak dan variabel acak.

1. Percobaan melempar uang akan menghasilkan gambar (G) atau angka (A). Apabila dilempar uang dua kali, sisi gambar bisa muncul 2 kali, 1 kali atau 0 (tidak muncul). Percobaan melempar adalah percobaan acak dan nilai hasil muncul gambar seperti 2, 1, dan 0 adalah variabel acak.

(25)

2. PT Moena Jaya Farm menimbang berat semangka yang akan dikirim ke supermarket.Penimbangan berat adalah merupakan percobaan acak dan nilai berat setiap buah adalah variabel acak.

Variabel acak adalah hasil ukuran dari percobaan yang bersifat acak.

2.3 Distribusi Peluang Acak Diskrit

Peubah Acak (Random Variable) merupakkan sebuah keluaran numerik yang

merupakan hasil dari percobaan (eksperimen). Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata. Untuk setiap anggotadari ruang sampel percobaan, peubah acak bias mengambil tepat satu nilai. Peubah Acak x adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan riil R, X:S. Peubah Acak dituliskan sebagai huruf kapital (X, Y, Z). Nilai-nilai tertentu yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z).

Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai-nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.Seringkali untuk memudahkan suatu perhitungan semua peluang peubah acak dinyatakan dalm suatu fungsi nilai-nilai x seperti f(x) yaitu f (x) = p (X = x). Pada peubah acak diskrit, setiap nilainya dikaitkan dengan peluang. Himpunan pasangan berurutan (x, f(X)) disebut distribusi peluang peubah acak x. Sebuah distribusi yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah diskrit berikut peluangnya disebut peluang diskrit. Suatu peubah acak diskrit dapat dinyatakan sebagai:

f (x) = ∑p(�) (2.1)

Himpunan pasangan terurut (x, f (x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi masa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit x bila, untuk setiap kemungkinan hasil x:

1. f (x)≥0 2. ∑f (�)= 1 3. f (x) = p (X= x)

(26)

Tanpa memperhatikan apakah suatu distribusi probabilitas diskrit disajikan secara grafis dengan sebuah histogram, dalam bentuk tabel atau dengan rumus , tingkah laku suatu peubah acak telah digambarkan. Sering pengamatan yang dihasilkan oleh percobaan statistik yang berbeda mempunyai tingkah laku umum yang sama. Yang paling sederhana dari semua distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi yang peubah acaknya mengambil masing-masing nilai dengan suatu probabilitas yang sama. Distribusi probabilitas semacam ini disebut distribusi seragam diskrit. Bila peubah acak xmengambil nilai x1, x2,

x3...xk,dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan

oleh f(x;k) =1

� denganx=x1,x2, x3...xk. Digunakan notasi f(x;k) bukan f(x) untuk

menunjukkan bahwa distribusi tersebut bergantung pada parameter k.

2.4 Distribusi Peubah Acak Kontinu

Distribusi peluang bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva.

Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu x, yang didefinisikan atas himpunan semua bilangan riil R, bila

1. f(x)≥0 untuk semua x∈ � 2. ∫ �_−∞∞ (�)�� = 1

3. �(�<� <�) =∫ �_−∞∞ _�(�)��

Variabel random kontinu adalah variabel yang nilai-nilainya menghubungkan titik-titik dalam sebuah garis. Sebuah variabel random yang dapat memuat setiap nilai di dalam sebuah interval angka-angka. Probabilitas kumulatif dari sebuah variabel random kontinu, f(x), sama seperti defenisi probabilitas kumulatif pada variabel random diskrit.

(27)

Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random kontinu:

f(x)=P(X ≤ x) = luas area di bawah kurva f(x) antara nilai yang kecil dariX(-∞) sampai dengan titik X.

2.5 Rata-rata Hitung

Dengan mempelajari ukuran pemusatan berupa nilai rat-rata hitung yang dilambangkan dengan μ=∑ �_� , nilai rata-rata tersebut mewakili sejumlah data dari

X1 sampai Xn. Ukuran penyebaran, untuk melihat seberapa besar data menyebar

dari nilai tengahnya. Varians dan standar deviasi dirumuskan �2=∑( �−� )

� dan

standar deviasi dirumuskan akar dari variansnya yaitu σ = √�2_{. Nilai rata-rata} hitung pada distribusi probabilitas sebagaimana pada nilai rata-rata hitung digunakan sebagai nilai untuk mewakili nilai-nilai probabilitas yang ada pada distribusi probabilitas. Nilai rata-rata hitung juga merupakan nilai harapan

(expected value) yang dilambangkan E(x). Nilai rata-rata hitung dalam probabilitas juga merupakan nilai rata-rata hitung tertimbang karena seluruh kemungkinan diberikan bobot berupa probabilitas pada setiap kejadi masing-masing.

Rumus nilai rata-rata hitung disajikan sebagai berikut: μ =E(x) = ∑(�)P(X) (2.2)

Dengan: μ : Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas E(x) : Nilai harapan (expected value)

x : Kejadian

(28)

2.6 Varians dan Deviasi Standar

Varians dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya. Semakin kecil sebaran data. Maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompokkan pada nilai rata-rata hitung. Ini juga menunjukkan adanya kehomogenan yang lebih tinggi dan perbedaaan antara data tidak terlalu tinggi. Varians dan standar deviasi dirumuskan sebagai berikut:

Varians = �2 = ∑[(� − �)2_�₍_�_)]

Standar Deviasi = σ = √�2 _(2.3)

Dengan: �2 = Varians

σ = Standar deviasi

x= Nilai suatu kejadian

� = Nilai rata-rata hitung distribusi probabilitas P(x)= Probabilitas suatu kejadian x

2.7 Distribusi Binomial

Ada tiga macam distribusi variabel random diskrit yang paling dikenal, yaitu distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi geometriks. Untuk menjelaskan distribusi binomial digunakan eksperimen-eksperimen dengan melakukan pelemparan mata uang logam. Eksperimen ini telah dilakukan oleh James Bernoulli dan keluarganya sehingga disebut eksperimen Bernoulli.

(29)

1. Setiap eksperimen memiliki 2 (dua) kemungkinan hasil (outcomes), yakni Sukses dan Gagal yang saling meniadakan (mutually axclusive)

2. Kemungkinan sukses ditunjukkan dengan simbol p, dan pini tetap

(konstan) dari eksperimen ke eksperimen. Kemungkinan gagal ditunjukkan oleh simbol q.

3. Eksperimen-eksperimen sebanyak n kali adalah bersifat bebas

(independent), artinya hasil setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.

Istilah sukses dan gagal merupakan istilah statistik dan tidak perlu disama-artikan dengan istilah sehari-hari yang sering didengar mengingat dalam pengertian ini kondisi cacat (defective items) hasil dari suatu proses produksi bisa dikatakan sebagai kondisi sukses.

Besarnya nilai probabilitas setiap x peristiwa sukses dari n kali eksperimen ditunjukkan oleh probabilitas sukses p dan probabilitas kegagalan 1-p

f(x) = P(X = x) = b(x,n,p) =�_��pxqn-x= �!

�!(�−�)! p

z n-x (2.4)

Dengan: p = probabilitas sukses

q = 1-p

n = jumlah total percobaan

x = jumlah sukses dari n kali percobaan

2.8 Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas lainnya adalah distribusi Poisson. Distribusi Poisson menunjukkan perilaku sebuah variabel random Binomial dengan jumlah eksperimen yang begitu besar dan dengan keberhasilan (sukses) yang begitu kecil.

Percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai-nilai numerik suatu peubah acak x, jumlah hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu yang

(30)

diketahui atau di dalam suatu daerah yang ditentukan, disebut percobaan Poisson. Selang waktu yang diketahui. Sehingga sebuah percobaan Poisson dapat memunculkan pengamatan untuk peubah acak x. Sebuah percobaan Poisson dijabarkan dari proses dan memiliki sifat-sifat sebagai berikut

Sifat-sifat Distribusi Poisson :

1. Jumlah hasil percobaan yang terjadi di dalam satu selang waktu atau

daerah yang ditentukan tidak tergantung dari jumlah yang terjadi di dalam setiap selang waktu atau daerah ruang yang tidak berhubungan lainnya. Dalam cara ini dikatakan bahwa proses Poisson tidak mempunyai memori. 2. Probabilitas bahwa sebuah hasil percobaan tunggal akan terjadi selama

suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah kecil sebanding dengan lama selang waktu atau ukuran daerah itu dan tidak bergantung pada jumlah hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah ini.

3. Probabilitas bahwa lebih dari suatu hasil percobaan akan terjadi di dalam satu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil seperti itu dapat diabaikan.

a. Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

f(x)= �(�=�) =��−�

�! (2.5) Dengan : e =

2,71828...

x= 0, 1, 2, ...

Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses Poisson dirumuskan:

�(�= �) =( �� )_��−��

! (2.6)

Dengan : t = banyaknya satuan waktu

x = banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu

(31)

Probabilitas poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan rumus:

PPK = ∑ ��−�

�!

�

�=0 (2.7)

=∑�_�₌₀�(�=�)

= P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2) + ...+ P(X=n) c. Distribusi Poisson sebagai pendekatan Distribusi Binomial

ditribusi Poisson sebagai pendekatan Distribusi Binomial dirumuskan: P(X = x) = (��)��−��

�! (2.8)

Dengan : n p = rata-rata distribusi Binomial.

2.9 Distribusi Sampling

Distribusi probabilitas teoritis dari rata-rata sampel hasil dari penarikan semua kemungkinan sampel berukuran sama dari sebuah populsi. Sebuah distribusi sampel bisa berupa distribusi rata-rata atau distribusi deviasi standar atau distribusi proporsi.

2.9.1 Populasi dan Sampel

Populasi (universe) adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti (bahan penelitian). Objek atau nilai disebut unit analisis atau elemen populasi. Unit analisis dapat berupa orang, perusahaan, hasil produksi, rumah tangga dan tanah pertaniaan.

Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang dianggap bisa mewakili populasi. Objek atau nilai yang akan diteliti dalam sampel disebut unit sampel.

(32)

Untuk menerangkan karakteristik dari populasi dan sampel, digunakan istilah parameter dan statistik. Parameter dan statistik adalah besaran yang berupa data ringkasan atau angka ringkasan yang menunjukkan suatu ciri dari populasi dan sampel. Parameter dan statistik merupakan hasil hitungan nilai dari semua unit di dalam populasi dan sampel bersangkutan.

Berikut ini tabel lambang yang digunakan untuk parameter dan statistik. Tabel 2.1 Lambang Parameter dan Statistik

Besaran Lambang Parameter (Populasi) Lambang Statistik (Sampel) Rata-rata Varians Simpangan Baku Jumlah Observasi Proporsi μ σ2 σ N P X � S2 S n p

2.10 Metode Sampling

Metode sampling adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. Cara pengumpulan data yang lain adalah sensus. Sensus adalah cara pengumpulan data yang mengambil setiap elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.

Untuk sesuatu hal maka sensus dilaksanakan, tetapi karena sesuatu hal pula mungkin sensus tidak dapat dilaksanakan dan kemudian dipilih sampling. Alasan-alasan dipilihnya sampling antara lain sebagai berikut:

1. Objek penelitian yang homogen 2. Objek penelitian yang mudah rusak

(33)

3. Penghemat biaya dan waktu 4. Masalah ketelitian

5. Ukuran populasi

Metode sampling pada dasarnya dapat dibedakan atas dua macam,yaitusampling random dan sampling nonrandom

2.10.1Sampling Random (Sampling Acak)

Sampling random atau sampling probabilitas adalah cara pengambilan sampel dengan semua objek atau elemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel. Hasil dari sampling random memiliki sifat yang objektif.

Yang termasuk sampling random, antara lain sampling random sederhana, sampling berlapis, sampling sistematis, dan sampling kelompok.

2.10.1.1 Sampling Random Sederhana

Sampling random sederhana adalah bentuk sampling random yang sifatnya sederhana, tiap sampel yang berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk terpilih dari populasi sampling:

a. elemen-elemen populasi yang bersangkutan homogen

b. hanya diketahui identitas-identitas dari satuan-satuan individu (elemen) dalam populasi, sedangkan keterangan lain mengenai populasi, seperti derajat keseragaman, pembagian dalam golongan-golongan tidak diketahui, dan sebagianya.

Sampling random sederhana dapat dilakukan dengan menggunakan dua metode, yaitu metode undian dan metode tabel random.

1. Metode undian adalah yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan pola pengundian.

(34)

a. Memberi kode nomor urut pada semua elemen populasi pada lembar kertas-kertas kecil.

b. Menggulung lembar kertas-kertas kecil kemudian memasukkannya ke

dalam kotak, mengocoknya dengan rata, dan mengambilnya satu persatu.

c. Hasil undian itu merupakan sampel yang terpilih. Metode undian hanya

cocok untuk jumlah populasi yang kecil. 2. Metode tabel random

Metode tabel random adalah metode yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan tabel bilangan random. Tabel bilangan random adalah tabel yang dibentuk dari bilangan biasa yang diperoleh secara berturut-turut dengan sebuah proses random serta disusun ke dalam suatu tabel.

a. Memberi nomor urut (mulai dari 1) pada semua elemen populasi, sebanyak elemen tersebut.

b. Secara acak, memilih salah satu halaman tabel bilangan random, demikian pula dengan pemilikan kolom dan barisnya.

c. Nomor-nomor yang terpilih dari tabel tersebut merupakan nomor-nomor

dari sampel. Apabila nomor sampel sudah terpilih atau muncul, kemudian muncul lagi, maka nomor itu dilewati.

2.10.1.2 Sampling Berlapis (Sampling Stratified)

Sering menghadapi sebuah populasi yang memiliki karakteristik bagian-bagian yang berbeda di dalam populasi itu. Bagian-bagian itu disebut dengan strata-strata. Proses sampling diawali dengan membuat stratifikasi, yaitu membagi populasi ke dalam strata-strata yang saling mutually exclusive dan tiap-tiap strata memiliki karakteristik yang sama. Langkah selanjutnya adalah mengambil dengan cara memilih secara random subjek-subjek dari tiap-tiap strata.

(35)

Sampling berlapis adalah bentuk sampling random yang populasi atau elemen populasinya dibagi dalam kelompok-kelompok yang disebut srata. Sampling stratified dilakukan apabila:

a. elemen-elemen populasi heterogen

b. ada kriteria yang akan dipergunakan sebagai dasar untuk menstratifikasi populasi ke dalam stratum-stratum, misalnya variabel yang akan diteliti

c. ada data pendahuluan dari populasi mengenai kriteria yang akan

digunakan untuk stratifikasi

d. dapat diketahui dengan tepat jumlah satuan-satuan individu dari setiap stratum dalam populasi.

2.10.1.3 Sampling Sistematis

Sampling sistematis adalah bentuk sampling random yang mengambil elemen-elemen yang akan diselidiki berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang telah disusun secara teratur. Sampling sistematis dilakukan apabila:

a. identifikasi atau nama dari elemen-elemen dalam populasi itu terdapat dalam suatu daftar, sehingga elemen-elemen tersebut dapat diberi nomor urut

b. populasi memiliki pola beraturan, seperti blok-blok dalam kota atau rumah-rumah pada suatu ruas jalan.

Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut:

1. Jumlah elemen dalam populasi dibagi dengan jumlah unsur yang

diinginkan dalam sampel, sehingga terdapat subpopulasi-subpopulasi yang memiliki jumlah elemen yang sama (memiliki interval yang sama).

2. Dari subpopulasi pertama dipilih sebuah anggota dari sampel yang dikehendaki, biasanya dengan menggunakan tabel bilangan random.

(36)

3. Anggota dari subsampel pertama yang terpilih digunakan sebagai titik acuan (awal) untuk memilih sampel berikutnya, pada setiap jarak interval tertentu.

2.10.1.4 Sampling Kelompok (Sampling Cluster)

Sampling kelompok adalah bentuk sampling random yang populasinya dibagi

menjadi beberapa kelompok (cluster) dengan menggunakan aturan-aturan

tertentu, seperti batas-batas alam dan wilayah administrasi pemerintahan. Proses pengerjaanya ialah sebagai berikut.

1. Membagi populasi ke dalam beberapa subkelompok

2. Memilih satu atau sejumlah kelompok dari kelompok-kelompok tersebut. Pemilihan kelompok-kelompok itu dilakukan secara random.

3. Menentukan sampel dari satu atau sejumlah kelompok yang terpilih secara random

Antara sampling cluster dan sampling stratified terdapat perbedaan dari cara pengambilan sampelnya. Pada sampling cluster sampelnya diambil dari cluster

yang terpilih, sedangkan pada sampling stratified samplenya diambil dari seluruh stratum.

2.10.2 Sampling Tidak Acak (Nonrandom)

Jenis sampel tidak dipilih secara acak. Tidak semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Unsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau karena faktor lain yang sebelumnya sudah direncanakan oleh peneliti.

(37)

2.10.2.1 Convenience Sampling

Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu ada beberapa penulis menggunakan istilah accidental sampling (tidak disengaja) atau juga captive sample (man-on-the-street). Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.

1. Purposive Sampling

Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu. Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi penelitiannya. Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling.

2. Judgment Sampling

Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. Misalnya untuk memperoleh data tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan, maka manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan informasi. Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel karena mereka mempunyai information rich.

Dalam program pengembangan produk (product development), biasanya

yang dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalau karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik. (Cooper dan Emory, 1992).

(38)

Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara proposional, namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja.Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40% . Jika seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.

2.10.2.3 Snowball Sampling – Sampel Bola Salju

Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu peneliti minta kepada sampel pertama untuk menunjukkan orang lain yang kira-kira bisa dijadikan sampel. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan wawancara. Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-kelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup)

BAB 3

(39)

3.1 Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial

Distribusi probabilitas menunjukkan hasil yang diharapkan terjadi dari suatu percobaan atau kejadian dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut. Percobaan statistik dapat dilakukan secara berulang. Hasil-hasil yang muncul dalam percobaan statistik tersebut dapat dibedakan manjadi dua jenis yaitu kejadian sukses dan gagal, di mana probabilitas kejadian sukses dan gagal adalah tetap. Selain itu, juga dapat diamati bahwa kejadian sukses dan kejadian gagal dari suatu percobaan ke percobaan berikutnya adalah saling bebas.

Adapun implementasi sistem yang digunakan untuk penyelesaian permasalahan pada distribusi Binomia dan Poisson adalah dengan menggunakan

“software” R dan Microsoft Excel. Diharapkan dengan menggunakan software ini dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan dalam membuat grafik dan histogram dengan kualitas publikasi yang dapat memuat simbol matematika. Selain itu sintaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistik.

Fungsi probabilitas Binomial adalah fungsi dengan parameter n dan p,

berikut ditunjukkan perhitungan fungsi probabilitas Binomial dan visual teorema batas pusat suatu peubah acak x dengan variasi nilai parameter n dan p.

(40)

Tabel 3.1 Percobaan Binomial dengan n = 10

x N p q

�!

�! (� − �)! _px

n – x (q)n-x

�! �! (� − �)!�

�₍_�₎�−�

5 10 0,10 0,90 252 0,00001 5 0,590 0,001

5 10 0,50 0,50 252 0,0312 5 0,031 0,246

5 10 0,02 0,98 252 3,200 5 0,903 7,289

5 10 0,005 0,995 252 3,125 5 0,975 7,680

5 10 0,009 0,991 252 5,904 5 0,955 1,422

Tabel 3.2 Percobaan Binomial dengan n = 800

x N p q �!

�! (� − �)! p

n – x (q)n-x � ! �! (� − �)!�

�₍_�₎�−�

5 800 0,10 0,90 2,69668 0,00001 795 4,195 1,131

5 800 0,50 0,50 2,69668 0,031 795 4,799 4,044

5 800 0,02 0,98 2,69668 3,200 795 1,058 0,0009

5 800 0,005 0,995 2,69668 3,125 795 0,018 0,156

(41)

Tabel 3.3 Percobaan Binomial dengan n = 30

x n p q � !

�! (� − �)! p

n -x (q)n-x � !

�! (� − �)!��( � )�−�

5 30 0,10 0,90 142506 0,00001 25 0,071 0,102

5 30 0,50 0,50 142506 0,031 25 2,980 0,0001

5 30 0,02 0,98 142506 3,200 25 0,603 0,0002

5 30 0,005 0,995 142506 3,125 25 0,882 3,928

5 30 0,009 0,991 142506 5,904 25 0,797 6,712

Tabel 3.4 Percobaan Binomial dengan n = 20

x

n

p

q

�

!

�

! (

� − �

)!

p

n - x

( q )

n - x

�

!

�

! (

�

−

�

) !

�

₍

_�

₎

�−�

5

20 0,10

0,90

15504

0,00001

15 0,205

0,031

5

20 0,50

15504

0,031

15 3,051

0,014

5

20 0,02

0,98

15504

3,200

15 0,738

3,664

5

20 0,005

0,995

15504

3,125

15 0,927

4,494

(42)

Tabel 3.5 Percobaan Binomial dengan n = 50

x p q � !

�! (� − �)! p

n -x (q)n-x � !

�! (� − �)!��(�)�−�

5 50 0,10 0,90 2118760 0,00001 45 0,008 0,184

5 50 0,50 0,50 2118760 0,0312 45 2,842 1,881

5 50 0,02 0,98 2118760 3,200 45 0,402 0,002

5 50 0,005 0,995 2118760 3,125 45 0,798 5,284

(43)

3.1.1 Menggunakan Tabel Distribusi Binomial

Untuk mengetahui probabilitas Binomial, dapat dihitung dengan cara manual. Namun demikian, suatu distribusi seperti distribusi Binomial merupakan suatu distribusi teoritis, sehingga distribusinya dapat disusun secara matematis. Tabel distribusi binomial telah disusun untuk membantu mengetahui suatu probabilitas secara tepat. Tabel distribusi Binomial secara keseluruhan dilampirkan. Dalam tabel ditribusi terdapat jumlah percobaan (n), probabilitas sukses (p), dan kejadian (x).

Langkah-langkah dalam mencari nilai probabilitas dalam tabel : 1. Mencari tabel dengan jumlah percobaan (n) yang sesuai. 2. Mencari nilai x pada kolom x.

3. Mencari nilai probabilitas sukses yang dilambangkan p. Perpotongan antara kolom p dengan baris x, merupakan nilai probabilitasnya.

3.1.2 Mengunakan MS Excel untuk Distribusi Binomial

MS Excel sangat membantu untuk mengetahui nilai probabilitas dalam distribusi probabilitas binomial. Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan yaitu:

1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function. 2. Pilih menu statistical pada function category

3. Pilih menu Binomdist pada function name, tekan ok

4. Setelah tekan ok pada langkah ke-3, maka akan keluar dialog seperti berikut; BINOMDIST

Number_s :...( masukkan nilai x ) Trials : ...( masukkan nilai n ) Probability_s :...( masukkan nilai p ) Cumulative :...( ketik kata False )

(44)

Gambar 3.1 Tampilan MS Excel untuk Ditribusi Binomial

3.1.3 Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif

Probabilitas jumlah sukses dalam dalam jumlah tertentu. Namun, sering kali dihadapkan pada persoalan yang tidak tunggal jumlahnya, tetapi kumulatif. Untuk itu diperlukan adanya tabel distribusi probabilitas Binomial Kumulatif.

3.1.4 Mengunakan MS Excel untuk Binomial Kumulatif

MS Excel akan lebih membantu untuk mengetahui distribusi binomial kumulatif. Langkah-langkahnya tidak ada perbedaan dengan distribusi binomial biasa. Namun ada perbedaan pada kotak dialog, apabila pada binomial ditulis False, maka untuk kumulatif ditulis True

BINOMDIST

Number_s :...( masukkan nilai x) Trials : ...( masukkan nilai n ) Probability_s :...( masukkan nilai p ) Cumulative :...( ketik kata True )

(45)

3.2 Membangkitkan data acak pada percobaan Poisson

Dalam memperlihatkan secara visual dalil pusat dari suatu peubah acak yang mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ = n p maka untuk memperlihatkan pendekatannya terhadap distribusi Binomial akan diperlihatkan juga secara visual distribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana perlakuan n dan peluang p dibuat sama terhadap n dan p pada Distribusi Poisson.

3.2.1 Menggunakan Tabel Distribusi Poisson

Untuk membantu dengan cepat nilai probabilitas distribusi Poisson, tabel hasil distribusi Poisson akan sangat membantu. Cara menggunakan tabel distribusi Poisson, penggunaan tabel ini menghendaki pengetahuan nilai tengah rata-rata hitung (λ = n p) dan jumlah sukses x.

3.2.2 Menggunakan MS Excel untuk menghitung Distribusi Poisson

MS Excel diprogram untuk membantu mengetahui nilai probabilitas distribusi Poisson, selain distribusi Binomial. Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan:

1. Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function.

2. Pilih menu statistical pada function category.

3. pilih menu poisson pada function name. Tekan OK

4. seelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dalog seperti berikut: POISSON.DIST

x :...( masukkan nilai ) Mean : ...( masukkan λ = n p ) Cumulative :...( ketik kata True ) 5. Nilai P ( x ) akan muncul pada baris formula result atau tanda ( = )

(46)

(47)

Tabel 3.6 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 10

X n p Q λ= n .p ��−� _��_�−�

� !

5 10 0,10 0,90 1 0,3678 0,003

5 10 0,50 0,50 5 21,056 0,175

5 10 0,02 0,98 0,2 0,0002 2,183

5 10 0,005 0,995 0,05 2,972 2,477

5 10 0,009 0,991 0,09 5,396 4,497

Tabel 3.7 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 800

x n p q λ = n .p ��−�

��_�−�

� !

5 800 0,10 0,90 80 5,910 4,930

5 800 0,50 0,50 400 1,960 1,630

5 800 0,02 0,98 16 0,118 0,0009

5 800 0,005 0,995 4 18,755 0,156

(48)

Tabel 3.8 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 30

x n p q λ= n .p ��−�

��_�−�

� !

5 30 0,10 0,90 3 12,098 0,100

5 30 0,50 0,50 15 0,232 0,001

5 30 0,02 0,98 0,6 0,042 0,0003

5 30 0,005 0,995 0,15 6,540 5,450

5 30 0,009 0,991 0,27 0,001 9,130

Tabel 3.9 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 20

X n p Q λ= n .p ��−�

��_�−�

� !

5 20 0,10 0,90 2 4,330 0,036

5 20 0,50 0,50 10 4,540 0,037

5 20 0,02 0,98 0,4 0,006 5,720

5 20 0,005 0,995 0,1 9,050 7,540

(49)

Tabel 3.10 Percobaan Distribusi Poisson dengan n = 50

x n p q λ = n .p ��−�

��_�−�

�!

5 50 0,10 0,90 5 21,056 0,175

5 50 0,50 0,50 25 0,0001 1,130

5 50 0,02 0,98 1 0,367 0,003

5 50 0,005 0,995 0,25 0,0007 6,340

(50)

3.3 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Binomial dan Poisson

Untuk membandingkan distribusi Binomial dan distribusi Poisson adalah dengan n dan q = 1 – p yang berbeda

Tabel 3.11: Membangkitkan data acak pada percobaan Binomial parameter n, p dan Poisson Parameter λ Probabilitas

Sukses (p) 0,1 0,4 0,5 0,9 0,02 0,04

Probabilitas

Gagal (q) 0,9 0,6 0,5 0,1 0,98 0,96

Sampel (n) I II III IV V VI

Λ σ λ σ λ σ λ σ λ Σ λ σ

5 0,5 0,67 2 1,09 2,5 1,11 4,5 0,67 0,1 0,31 0,2 0,43

10 1 0,94 4 1,54 5 1,58 9 0,94 0,2 0,44 0,4 0,61

15 1,5 1,16 6 1,89 7,5 1,93 14 1,16 0,3 0,54 0,6 0,75

20 2 1,34 8 2,19 10 2,23 18 1,34 0,4 0,62 0,8 0,87

30 3 1,64 12 2,68 15 2,73 27 1,64 0,6 0,76 1,2 1,07

40 4 1,89 16 3,09 20 3,16 36 1,89 0,8 0,88 1,6 1,23

45 4,5 2,01 18 3,28 22,5 3,35 41 2,01 0,9 0,93 1,8 1,31

80 8 2,68 32 4,38 40 4,47 72 2,68 1,6 1,25 3,2 1,75

100 10 3 40 4,89 50 5 90 3 2 1,4 4 1,95

200 20 4,24 80 6,92 100 7,07 180 4,24 4 1,97 8 2,77

500 50 6,7 200 10,95 250 11,2 450 6,7 10 3,13 20 4,38

(51)

Probabilitas

Sukses (p) 0,05 0,002 0,004 0,005 0,008 0,009

Probabilitas Gagal

(q) 0,95 0,998 0,996 0,995 0,992 0,991

Sampel (n) VII VIII IX X XI XII

Λ σ λ σ λ σ λ σ λ Σ λ σ

5 0 0,5 0 0,09 0 0,1 0 0,2 0 0,19 0 0,21

10 1 0,7 0 0,14 0 0,2 0 0,2 0,1 0,28 0,1 0,29

15 1 0,8 0 0,17 0,1 0,2 0 0,3 0,1 0,34 0,1 0,36

20 1 1 0 0,19 0,1 0,3 0 0,3 0,2 0,39 0,2 0,42

30 2 1,2 0,1 0,24 0,1 0,3 0 0,4 0,2 0,48 0,3 0,51

40 2 1,4 0,1 0,28 0,2 0,4 0 0,4 0,3 0,56 0,4 0,59

45 2 1,5 0,1 0,29 0,2 0,4 0 0,5 0,4 0,59 0,4 0,63

80 4 1,9 0,2 0,39 0,3 0,6 0 0,6 0,6 0,79 0,7 0,84

100 5 2,2 0,2 0,44 0,4 0,6 1 0,7 0,8 0,89 0,9 0,94

200 10 3,1 0,4 0,63 0,8 0,9 1 1 1,6 1,25 1,8 1,33

500 25 4,9 1 0,99 2 1,4 3 1,6 4 1,99 4,5 2,11

(52)

Tabel 3.12: Perbandingan nilai probabilitas dari Distribusi Binomial dan Poisson dengan MS Excel Probabilitas

Sukses (p) 0,1 0,4 0,5 0,9 0,02 0,04

Probabilitas

Gagal (q) 0,9 0,6 0,5 0,1 0,98 0,96

Sampel (n) I II III IV V VI

B P B P B P B P B P B P

5 0,00001 0,0001 0,01 0,036 0,0312 0,66 0,59 0,17 3,2 7,5 1,024 2,183

10 0,0014 0,003 0,2 0,156 0,246 0,06 0,001 0,06 7,28 2,183 2,104 5,72

15 0,01 0,014 0,185 0,16 0,091 0,109 1,773 0,01 7,851 1,5 0,0002 0,0003

20 0,031 0,036 0,074 0,091 0,014 0,37 9,154 9 3,66 5,72 0,0008 0,001

30 0,102 0,1 0,004 0,012 0,0001 0,001 8,41 2,25 0,0002 0,0003 0,005 0,066

40 0,164 0,56 0,0001 0,0009 5,984 5,496 3,885 1,17 0,001 0,012 0,016 0,017

45 0,18 0,17 1,672 0,0002 3,472 8,13 7,214 2,34 0,001 0,002 0,024 0,026

80 0,088 0,091 5,65 3,541 1,988 3,625 1,419 8,68 0,016 0,017 0,115 0,113

100 0,033 0,037 6,477 3,625 5,939 5,022 4,445 4,03 0,035 0,036 0,159 0,156

200 3,029 5,496 1,425 4,928 1,577 3,1 1,497 1,06 0,157 0,156 0,09 0,91

500 5,714 5,022 4,0006 3,69 7,797 2,172 0 5,68 0,037 0,037 4,38 5,49

(53)

Probabilitas

Sukses (p) 0,05 0,002 0,004 0,005 0,008 0,009

Probabilitas

Gagal (q) 0,95 0,998 0,996 0,995 0,992 0,991

Sampel (n) VII VIII IX X XI XII

B P B P B P B P B P B P

5 3,125 6,337 3,2 8,25 1,024 2,613 0 7,94 3,276 8,198 5,9 1,47

10 6,09 0,0001 7,983 2,613 2,529 8,197 7,68 2,48 7,93 2,52 1,4 4,497

15 0,0005 0,0009 9,41 1,965 2,954 6,102 8,925 1,83 9,08 1,839 1,619 3,264

20 0,002 0,003 4,814 5,72 1,49 2,25 4,49 8,25 4,5 7,446 7,94 1,315

30 0,123 0,014 4,337 6,102 1,32 1,839 3,928 5,45 3,82 5,219 6,712 9,128

40 0,034 0,036 1,963 2,52 5,856 7,446 1,725 2,18 1,627 2,03 2,831 3,515

45 0,049 0,05 3,608 4,497 1,065 1,315 3,124 3,84 2,903 3,515 5,025 6,056

80 0,16 0,156 6,62 7,446 1,822 2,03 5,158 5,72 0,0007 0,0004 0,0007 0,0007

100 0,18 0,175 1,991 2,183 5,268 5,72 0,0001 0 0,001 0,001 0,0018 0,002

200 0,035 0,037 5,491 5,72 0,001 0,061 0,002 0,03 0,017 0,017 0,025 0,026

500 7,498 1,13 0,003 0,0003 0,035 0,036 0,066 0,07 0,156 0,156 6,171 0,17

(54)

3.4 Pengenalan Software R

R adalah sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika. Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemen dan Ross Ihaka dari departemen Statistika di Universitas Aukland 1995. Saat ini R ditangani oleh tim inti pengembangan R, yaitu suatu tim internasional yang bekerja keras dengan sukarela untuk

mengembangkan “software” ini. Projek R memiliki web dengan alamat

dan sumber lainnya yang terdapat pada dokumen. R merupakan suatu “software” yang terinegrasi memiliki fasilitas untuk perhitungan dan penampilan grafik. Bahasa R kini menjadi standard de factodiantara statistikawan untuk pengembangan perangkat lunak statistika dan analisis data.

Beberapa kelebihan R :

1. Sebagai “sofware” yang open source, R dapat di download dan dijalankan pada UNIX, Windows dan Macintosh

2. Bahasanya mudah dikembangkan oleh pengguna dengan fungsi tertulis

3. R memiliki kemampuan yang baik dalam membuat grafik yang menghasilkan

grafik dengan kualitas publikasi yang dapat memuat simbol matematika

4. Bahasa R memiliki ketegasan. Sintaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistik

(55)

3.4.1 Mengambarkan Histogram Distribusi Binomial dan Poisson

(56)

(57)

(58)

(59)

Gambar 3.7 Grafik distribusi Binomial dengan n = 80 p = 0,02

(60)

Gambar 3.9 Grafik distribusi Binomial dengan n = 100 p = 0,02

(61)

Gambar 3.11 Grafik Distribusi Binomial dngan n = 45 p = 0,05

(62)

Gambar 3.13 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 500 p = 0,004

(63)

Gambar 3.15 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 800 p = 0,008

(64)

Gambar 3.17 Grafik distribusi Binomial dengan n = 200 p = 0,009

(65)

3.5 Contoh Kasus

Bila jumlah percobaan Binomial besar dan mean dari distribusi Poisson besar, maka penghitungan probabilitas untuk variabel-variabel random tersebut sangat sulit, namun

dengan adanya Central Limit Theorem dapat dilakukan perkiraan normal terhadap

distribusi Binomial dan Poisson. Jika ada n percobaan independen, masing-masing dengan probabilitas untuk sukses p, maka x kali sukses akan memiliki distribusi Binomial dengan mean dan varian. Perkiraan probabilitas binomial dengan menggunakan distribusi normal jika x adalah jumlah sukses yang terjadi dari n kali percobaan independen, masing-masing dengan probabilitas untuk sukses p. Bila n besar dan p tidak terlalu kecil atau besar.

3.5.1 Contoh kasus membangkitkan Data Acak Pada Distribusi Binomial dan Poisson

Sebuah perusahaan komputer menghasilkan chip-chip komputer. Chip-chip ini selalu diuji kualitasnya. Pengalaman menunjukkan bahwa 1

2% dari chip-chip yang diuji rusak (defect). Setiap harinya perusahaan komputer itu menghasilkan 800 buah chip komputer. Berapakah probabilitas bahwa pada hari tertentu lima chip akan rusak?

a.Kelompok X Penyelesaian :

1. Dikerjakan dengan model Distribusi Binomial: n = 800; p=0,005;x=5; q=0,995

P(X=5) = (x;n,p)= n! x ! (n−x )! p

(1-p)n- x

= 800!

5! 795!(0,005)

5_(0,995)795

= 0,157 (15,70 %)

2. Dikerjakan dengan model Distribusi Poisson: n = 800;p=0,005;x=5

(66)

λ=np = 800. 0,005 = 4 P(x=5) =��−�

� ! = ( 4 )

5_{. ( 2,71828 )}− 4

= ( 1024 ) ( 0,0183 ) 120

= 0,156 (15,60%) Analisis

Dengan Jumlah 0,157 atau 15,70 % dari sampel acak sebanyak 800 buah chip komputer dan rata-rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar ½ % dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataanya meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 15,70 %) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian dari perusahaan komputer tersebut.

b. Kelompok V Penyelesaian :

1. Dikerjakan dengan model Distribusi Poisson: n= 20; p=0,02;x =3

λ= np = 20. 0,02 = 0,4 P(x=3)

=

��−�

� !

=

( 0,4 ) 3.( 2,71828 )− 0,4

3 ! = 0,0072

2. Dikerjakan dengan model Distribusi Binomial: n= 20; p=0,02; x=3; q=0,98

P(x=3) = b(x;n,p)= n! x ! ( n − x )! p

(1 – p)n-x

= 20 !

3 ! 17 !(0,02)

3_(0,98) 17 = (1.140) (0,000008) (0,71) = 0,0065

(67)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan kajian yang dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Hasil kajian menunjukkan adanya pendekatan nilai probabilitas distribusi Binomial dengan Poisson untuk semakin besar n (> 45) dan semakin kecil p0,02

≤ p ≤1,maka pendekatan distribusi Poisson terhadap ditribusi Binomial akan semakin baik.

2. Dalam grafik fungsi Binomial dan Poisson semakin besar n dan semakin kecil p n >45 dan 0,02 ≤ p ≤1, akan membentuk histogram yang hampir mirip.

3. Distribusi Binomial dan Poisson sangat baik digunakan untuk menganalis

kesuksesan dan kegagalan untuk memperkecil persentase kerugiaan.

4. Proses atau tahapan dengan menggunakan bantuan software“R” untuk

menggambarkan histogram dan microsoft excel dalam menentukan nilai

probabilitas Distribusi Binomial dan Poisson lebih cepat dan lebih mudah daripada menggunakan tabel.

4.2 Saran

Saran yang dapat diberikan penulis adalah dengan menggunakan software R dan MS Exceltidak hanya dapat digunakan mensimulasi data acak pada distribusi Binomial, Poisson dan Normal saja, melainkan distribusi-distribusi yang lainnya juga dapat dilihat visualisasinya dengan jelas dan terperinci, untuk itu kreatifitas juga dituntut dalam menggunakan sofware ini.

(68)

DAFTAR PUSTAKA

Adiningsih, Sri. 1993. Statistik. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta

Anto, Dajan, 1991. Pengantar Metode Statistik. Jilid 2. Jakarta : LP3 S Arif, Karseno. 1995. Statistik I. Jakarta: Karunika

Boediono. Koster, Wayan. Statistika dan Probabilitas. Jakarta : PT Remaja Rosdakarya Darnius, Open. 2006. Pengantar Komputasi Statistika dengan R. Medan : Diktat Kuliah Harinaldi. 2005. Statistik Untuk Teknik Dan Sains. Jakarta: Erlangga

Hasan, Iqbal. 2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2(Statistik Inferensif). Edisi 2. Jakarta: Bumi Aksara

Sarwoko. 2007. Statistik Inferensia. Yogyakarta: Andi Yogyakarta

Silaen, Sakti. 2010. Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi. Jakarta: Mitra Wacana Media Sudjana,1989.Metode Statistika.Edisi 5.Bandung:Tarsito

Suharyadi, Purwanto. 2003. Statistika Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern.Jakarta : Salemba Empat

Sumargo.H.Chr .1984. Pendahuluan Teori Kemungkinan Dan Statistika soal dan jawaban.

Bandung : ITB

Surjadi, P.A.1983. Pendahuluan Teori Kemungkinan Dan Statistika. Bandung : ITB Spiegel, Murray R. 2004. Scaum’ Easy Outline. Jakarta: Erlangga

Walpole, Ronald E. Dkk. 2003. Probabilitas dan Statistika untuk Teknik dan Sains.Jakarta: PT Prehallindo

(1)

Gambar 3.15 Grafik Distribusi Binomial dengan n = 800 p = 0,008

(2)

Gambar 3.17 Grafik distribusi Binomial dengan n = 200 p = 0,009

(3)

3.5 Contoh Kasus

Bila jumlah percobaan Binomial besar dan mean dari distribusi Poisson besar, maka penghitungan probabilitas untuk variabel-variabel random tersebut sangat sulit, namun dengan adanya Central Limit Theorem dapat dilakukan perkiraan normal terhadap distribusi Binomial dan Poisson. Jika ada n percobaan independen, masing-masing dengan probabilitas untuk sukses p, maka x kali sukses akan memiliki distribusi Binomial dengan mean dan varian. Perkiraan probabilitas binomial dengan menggunakan distribusi normal jika x adalah jumlah sukses yang terjadi dari n kali percobaan independen, masing-masing dengan probabilitas untuk sukses p. Bila n besar dan p tidak terlalu kecil atau besar.

3.5.1 Contoh kasus membangkitkan Data Acak Pada Distribusi Binomial dan Poisson

Sebuah perusahaan komputer menghasilkan chip-chip komputer. Chip-chip ini selalu diuji kualitasnya. Pengalaman menunjukkan bahwa 1

2% dari chip-chip yang diuji rusak (defect). Setiap harinya perusahaan komputer itu menghasilkan 800 buah chip komputer. Berapakah probabilitas bahwa pada hari tertentu lima chip akan rusak?

a.Kelompok X Penyelesaian :

1. Dikerjakan dengan model Distribusi Binomial: n = 800; p=0,005;x=5; q=0,995

P(X=5) = (x;n,p)= n! x ! (n−x )! p

(1-p)n- x

= 800!

5! 795!(0,005)

5_(0,995)795

= 0,157 (15,70 %)

2. Dikerjakan dengan model Distribusi Poisson: n = 800;p=0,005;x=5

(4)

λ=np = 800. 0,005 = 4 P(x=5) =��−�

� ! = ( 4 )

5_{. ( 2,71828 )}− 4

5! = ( 1024 ) ( 0,0183 )

120

= 0,156 (15,60%) Analisis

b. Kelompok V Penyelesaian :

1. Dikerjakan dengan model Distribusi Poisson: n= 20; p=0,02;x =3

λ= np = 20. 0,02 = 0,4 P(x=3)

=

��−�

� !

=

( 0,4 ) 3.( 2,71828 )− 0,4

3 !

= 0,0072

2. Dikerjakan dengan model Distribusi Binomial: n= 20; p=0,02; x=3; q=0,98

P(x=3) = b(x;n,p)= n! x ! ( n − x )! p

(1 – p)n-x

= 20 !

3 ! 17 !(0,02)

3_(0,98) 17 = (1.140) (0,000008) (0,71) = 0,0065

(5)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan kajian yang dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Hasil kajian menunjukkan adanya pendekatan nilai probabilitas distribusi Binomial dengan Poisson untuk semakin besar n (> 45) dan semakin kecil p0,02

≤ p ≤ 1,maka pendekatan distribusi Poisson terhadap ditribusi Binomial akan semakin baik.

2. Dalam grafik fungsi Binomial dan Poisson semakin besar n dan semakin kecil p n >45 dan 0,02 ≤ p ≤1, akan membentuk histogram yang hampir mirip.

3. Distribusi Binomial dan Poisson sangat baik digunakan untuk menganalis kesuksesan dan kegagalan untuk memperkecil persentase kerugiaan.

4. Proses atau tahapan dengan menggunakan bantuan software“R” untuk menggambarkan histogram dan microsoft excel dalam menentukan nilai probabilitas Distribusi Binomial dan Poisson lebih cepat dan lebih mudah daripada menggunakan tabel.

4.2 Saran

Saran yang dapat diberikan penulis adalah dengan menggunakan software R dan MS Exceltidak hanya dapat digunakan mensimulasi data acak pada distribusi Binomial, Poisson dan Normal saja, melainkan distribusi-distribusi yang lainnya juga dapat dilihat visualisasinya dengan jelas dan terperinci, untuk itu kreatifitas juga dituntut dalam menggunakan sofware ini.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Adiningsih, Sri. 1993. Statistik. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta

Anto, Dajan, 1991. Pengantar Metode Statistik. Jilid 2. Jakarta : LP3 S Arif, Karseno. 1995. Statistik I. Jakarta: Karunika

Boediono. Koster, Wayan. Statistika dan Probabilitas. Jakarta : PT Remaja Rosdakarya Darnius, Open. 2006. Pengantar Komputasi Statistika dengan R. Medan : Diktat Kuliah Harinaldi. 2005. Statistik Untuk Teknik Dan Sains. Jakarta: Erlangga

Hasan, Iqbal. 2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2(Statistik Inferensif). Edisi 2. Jakarta: Bumi Aksara

Sarwoko. 2007. Statistik Inferensia. Yogyakarta: Andi Yogyakarta

Silaen, Sakti. 2010. Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi. Jakarta: Mitra Wacana Media Sudjana,1989.Metode Statistika.Edisi 5.Bandung:Tarsito

Suharyadi, Purwanto. 2003. Statistika Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern.Jakarta : Salemba Empat

Sumargo.H.Chr .1984. Pendahuluan Teori Kemungkinan Dan Statistika soal dan jawaban.

Bandung : ITB

Surjadi, P.A.1983. Pendahuluan Teori Kemungkinan Dan Statistika. Bandung : ITB Spiegel, Murray R. 2004. Scaum’ Easy Outline. Jakarta: Erlangga

Walpole, Ronald E. Dkk. 2003. Probabilitas dan Statistika untuk Teknik dan Sains.Jakarta: PT Prehallindo