2
setiap mesin, kapan seharusnya masing-masing kegiatan
start
dan
finish
, serta kapan seharusnya keseluruhan proyek produksi selesai dikerjakan. Dengan demikian sistem
penjadwalan sangat berperan dalam pelaksanaan proyek agar proses produksi dapat berjalan dengan efektif dan efisien.
Metode
Branch and Bound
merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan penjadwalan proyek dengan
Generalized Precedence Relations
yang optimal. Metode ini mula-mula dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig pada 1960. Baik program linier maupun program nonlinier dapat diselesaikan
dengan metode
Branch and Bound
.
Berdasarkan permasalahan dari uraian di atas, penulis memberi judul tulisan ini dengan “Metode
Branch and Bound
untuk Penjadwalan Proyek dengan
Generalized Precedence Relations
”.
1.2 Identifikasi Masalah
Permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana metode
Branch and Bound
dalam menentukan penjadwalan proyek dengan
Generalized Precedence Relations
yang optimal.
1.3 Batasan Masalah
Agar tulisan ini terfokus dan tidak menyimpang dari tujuannya, maka diadakan pembatasan masalah, yaitu:
1. Masalah yang dibahas adalah penjadwalan proyek dengan kendala
Generalized Precedence Relations
dengan bobot kecepatan-keterlambatan. 2.
Hasil akhir yang akan dicapai adalah solusi optimal penjadwalan proyek dengan
Generalized Precedence Relations
menggunakan metode
Branch and Bound
dimana
Net Present Value
dari proyek minimum.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana metode
Branch and Bound
dalam mengoptimalkan penjadwalan proyek dengan
Generalized Precedence Relations
.
1.5 Kontribusi Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah menambah referensi yang berhubungan dengan problem penjadwalan yang diharapkan dapat membantu para
pengambil keputusan dalam mengatasi problem penjadwalan proyek.
1.6 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menjelaskan proyek dan penjadwalan proyek dengan
Generalized Precedence Relations
. 2.
Menjelaskan metode
Branch and Bound
untuk pencarian solusi. 3.
Membahas masalah penjadwalan proyek dengan
Generalized Precedence Relations
untuk mendapatkan solusi optimal. 4.
Menarik kesimpulan dan saran.
1.7 Tinjauan Pustaka
Karena tulisan ini adalah studi literatur, maka tinjauan kepustakaan merupakan tolak ukur yang utama untuk menyelesaikan tulisan ini. Beberapa literatur yang mendukung
tulisan ini antara lain:
Universitas Sumatera Utara
4
P. K. Gupta dan D. S. Hira 2007 dalam bukunya menguraikan tentang
jaringan kerja dan analisisnya dalam suatu proyek. Suatu proyek terdiri dari tiga bagian utama, yaitu: perencanaan, penjadwalan, dan pengendalian proyek. Jaringan
kerja menyangkut dua teknik, yaitu:
Critical Path Method
dan
Programm Evaluation and Review Technique.
F. S. Hillier dan G. J. Lieberman 2005 dalam bukunya menguraikan
tentang konsep utama metode
Branch and Bound
adalah dengan membagi dan menyelesaikan. Pembagian atau percabangan dilakukan dengan membagi keseluruhan
penyelesaian layak dari suatu masalah optimasi menjadi beberapa submasalah yang lebih kecil. Penyelesaian atau pembatasan dilakukan dengan memberi batasan
terhadap penyelesaian optimal pada suatu anak percabangan
node.
B. A. Nadjafi dan S. Shadrokh 2008 dalam jurnalnya menguraikan masalah
penjadwalan proyek dengan bobot kecepatan-keterlambatan sebagai pengembangan bentuk di mana nilai waktu dari uang dihitung berdasarkan tingkat diskonto dari aliran
kas yang kontinu. Masalah penjadwalan yang dibahas memuat kendala
General Precedence Relation
dan penyelesaiannya menggunakan metode
Branch and Bound.
Secara matematis fungsi tujuan dari masalah penjadwalan tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut:
∑ ∑
∑ dengan kendala:
P. Siagian 1987 dalam bukunya menguraikan tentang program bilangan
cacah dan teori jaringan kerja. Metode
Branch and Bound
pertama kali dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig untuk menyelesaikan program bilangan cacah. Ternyata
Branch and Bound
tidak hanya digunakan untuk program bilangan cacah, tetapi juga dapat digunakan untuk program matematika yang lain. Pembuatan suatu jadwal
Universitas Sumatera Utara
5
merupakan akhir dari suatu jaringan kerja. Jadwal ini berupa diagram waktu yang dituangkan menjadi satu kalender yang sangat dibutuhkan oleh para palaksana.
Wikipedia 2011 dalam situsnya menjelaskan faktor diskonto,
, adalah faktor yang dikalikan dengan suatu aliran kas yang akan datang untuk mendapatkan
nilai sekarang. Secara diskrit dirumuskan faktor diskonto sebagai berikut:
dan secara kontinu dirumuskan sebagai:
untuk tingkat diskonto dan periode .
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
Di dalam bab 2 ini akan diuraikan mengenai landasan teori berdasarkan tinjauan kepustakaan yang berhubungan dengan persoalan penjadwalan proyek dengan GPR.
2. 1 Konsep Penjadwalan Proyek
Suatu proyek dapat dikatakan sebagai suatu rangkaian kegiatan-kegiatan yang mempunyai saat awal dilaksanakan serta diselesaikan dalam jangka waktu tertentu
untuk mencapai suatu tujuan P. Siagian, 1987, hal: 287. Proyek akan dikatakan selesai apabila seluruh kegiatan yang merangkai proyek tersebut selesai. Kegiatan-
kegiatan yang mengisi suatu proyek memiliki keterikatan. Hal ini memungkinkan suatu kegiatan harus diselesaikan lebih dulu sebelum kegiatan yang lain dimulai.
Kegiatan yang harus diselesaikan lebih dulu dari kegiatan lain disebut
predecessor
dan kegiatan yang diselesaikan setelah kegiatan sebelumnya disebut
successor
. Suatu kegiatan dalam suatu proyek biasanya dipandang sebagai suatu pekerjaan
job
yang dalam penyelesaiannya memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Proyek memerlukan
tiga tahapan, yaitu: 1.
Perencanaan Planning, meliputi penetapan sasaran dan strategi, pendefinisian proyek dan ketentuan organisasi.
2. Penjadwalan Scheduling, meliputi pengalokasian sumber daya.
3. Pengendalian Controlling, meliputi pengawasan sumber daya, biaya, kualitas,
dan budget. Tahap pertama dan kedua dilakukan sebelum proyek dimulai dan tahap ketiga
dilakukan setelah proyek dimulai.
Universitas Sumatera Utara
7
Penjadwalan merupakan proses pengalokasian sumber-sumber yang dimiliki
suatu pabrik dalam menyelesaikan suatu pekerjaan. Di samping itu, penjadwalan juga
merupakan suatu teori yang berisi prinsip-prinsip dasar, model, teknik dan kesimpulan logis dalam pengambilan keputusan. Persoalan penjadwalan muncul ketika jumlah
kegiatan yang dapat dikerjakan secara bersama lebih besar dibandingkan dengan jumlah peralatan yang ada. Penjadwalan terdiri dari dua unsur yang penting, yaitu
kegiatan
job
dan sumber daya seperti mesin, waktu, tenaga, dan biaya. Secara ringkas pokok-pokok penjadwalan adalah sebagai berikut J. Supranto, 1988, hal:
234: 1.
Menentukan target, tanpa adanya target sukar untuk membuat evaluasi. 2.
Kegiatan-kegiatan yang harus dilakukan. 3.
Urutan kegiatan. 4.
Jangka waktu yang diperlukan oleh masing-masing kegiatan. 5.
Tersedianya alat ukuranstandar. 6.
Memperhatikan
contingency
factor.
2. 2 Jaringan Kerja
Network
Jaringan kerja
network
merupakan salah satu teknik penjadwalan selain teknik
Gantt Chart.
Teknik
Gantt Chart
adalah teknik perencanaan yang paling sederhana untuk penjadwalan proyek.
Gantt Chart
bersifat dinamis dengan penampilan yang selalu berubah-ubah. Kelebihannya adalah
Gantt Chart
mempergunakan skala waktu dan kekurangannya adalah
Gantt Chart
tidak dapat menunjukkan relasi antara kegiatan- kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan. Sedangkan kelebihan teknik jaringan kerja
adalah mampu mengatasi kelemahan
Gantt Chart
dalam hal menunjukkan relasi antara kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan. Kekurangan jaringan kerja
adalah tidak memiliki skala waktu. Teknik jaringan kerja dan teknik
Gantt Chart
dapat dikolaborasikan untuk pencapaian yang optimal. Jaringan kerja digunakan untuk melihat relasi antara kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan dan
Gantt Chart
digunakan untuk melihat posisi kegiatan-kegiatan dalam rencana penjadwalan itu.
Universitas Sumatera Utara
8
Penjadwalan merupakan bagian terakhir dari suatu rencana jaringan kerja. Penjadwalan proyek dapat digambarkan dengan diagram jaringan kerja dengan
menggunakan beberapa simbol, yaitu: 1.
Anak panah
Edge
, menyatakan hubungan GPR antara dua kegiatan yang berpasangan.
edge
dapat berbentuk horizontal, diagonal, dan lengkungan. Panjang
edge
tidak berpengaruh dengan besarnya GPR. Pada umumnya GPR dicantumkan di atas, di bawah, atau di samping anak panah. Pangkal anak panah
menandakan kegiatan
predecessor
dan ujung anak panah menandakan kegiatan
successor
. Untuk jaringan kerja standar proyek, GPR diganti dengan .
Gambar 2.1 Simbol GPR
2. Lingkaran
Node
, menyatakan kegiatan yang dalam penyelesaiannya memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Pada umumnya nomor urut kegiatan
dibubuhkan di dalam
node
. Di atas
node
biasanya dicantumkan durasi kegiatan.
Gambar 2.2 Simbol kegiatan
3. Lingkaran terputus-putus, menyatakan kegiatan boneka
Dummy
yang pada penyelesaiannya tidak memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Tujuan dari
menggunakan
dummy
adalah untuk menghindari keraguan dalam hal pengindikasian dan menunjukkan gambaran urutan logika yang benar. Dalam
penelitian ini,
dummy
ditempatkan di awal dan di akhir jaringan kerja proyek.
Gambar 2.3 Simbol kegiatan
dummy
Hubungan antara dua kegiatan dengan GPR dapat dilihat pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Hubungan antara kegiatan dengan kejadian
Universitas Sumatera Utara
9
Dalam analisis jaringan kerja dikenal dua metode, yaitu
Critical Path Method
dan
Program Evaluation and Review Technique
. Kedua teknik tersebut dikembangkan
oleh kelompok yang berbeda secara simultan pada waktu yang bersamaan.
2.2.1
Critical Path Method
CPM
Pada awalnya CPM dikenal dengan sebutan
William-Kelly Method.
Pada tahun 1956 Morgan Walker dari E.I. du Pont de Nemours Company bekerjasama dengan James E.
Kelly dari kelompok perencanaan proyek konstruksi internal Remington Rand dalam menggunakan komputer Univac untuk melakukan penjadwalan konstruksi yang
menghasilkan metode yang rasional, tertib, dan mudah untuk menggambarkan proyek dalam komputer. Kemudian CPM dilanjutkan oleh Mauchly Associates. Karakteristik
khusus dari CPM adalah memperkirakan waktu dengan pasti Deterministik.
2.2.2
Program Evaluation and Review Technique
PERT
PERT pertama kali dikembangkan oleh U. S. Navy dari
Special Project Office
yaitu Biro Proyek Khusus Angkatan Laut Amerika Serikat bekerja sama dengan Allen dan
Hamilton dari perusahaan jasa konsultasi manajemen Booz untuk jadwal penelitian dan pengembangan kegiatan program peluru kendali Polaris. Teknik ini bersifat
probabilistik yaitu memperkirakan waktu dengan kemungkinan.
2.2.3 Lintasan Kritis
Lintasan kritis adalah lintasan di mana setiap kejadian pada lintasan tersebut kegiatan kritis mempunyai waktu kejadian paling cepat sama dengan waktu kejadian paling
lambat P. Siagian, 1987, hal: 302. Jumlah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu lintasan kritis adalah sama dengan jumlah waktu yang diperlukan
untuk menyelesaikan seluruh proyek.
Universitas Sumatera Utara
10
Ketentuan-ketentuan lain dari lintasan kritis adalah P. Siagian, 1987, hal: 302:
1. Lintasan kritis juga diperkenankan melalui
dummy
. 2.
Lintasan kritis tidak perlu hanya terdiri dari satu lintasan melainkan boleh terdiri dari dua atau lebih.
3. Waktu penyelesaian satu kegiatan kritis tidak boleh melebihi waktu yang sudah
ditentukan, karena keterlambatan kegiatan kritis dapat mengganggu atau memperpanjang waktu penyelesaian seluruh proyek.
2. 3 Model Penjadwalan Proyek dengan GPR
GPR menyangkut dua teknik, yaitu CPM dan PERT yang sangat dibutuhkan dalam penjadwalan proyek. GPR dibedakan dalam empat jenis, yaitu:
Start-Start
SS,
Start- Finish
SF,
Finish-Start
FS, dan
Finish-Finish
FF. GPR menyajikan nilai maksimum atau minimum
time-lag
antara dua kegiatan yang berpasangan. Misalkan waktu
start
dari kegiatan disimbolkan dengan
, waktu
finish
dari kegiatan disimbolkan dengan
, dan meyatakan durasi kegiatan
, di mana , maka nilai maksimum dan minimum
time-lag
antara dua kegiatan, dan disajikan dalam
bentuk:
GPR menjelaskan bahwa maksimal
time-lag
dapat disajikan sebagai minimial
time- lag
pada arah yang berlawanan. Ada beberapa simbol yang digunakan dalam kendala GPR dan hubungannya antarkegiatan seperti dalam tabel berikut.
Tabel 2.1 Notasi yang Digunakan dalam Kendala GPR
Notasi Kendala
Universitas Sumatera Utara
11
Graf yang menggambarkan kendala GPR tersebut ditampilkan dalam gambar-
gambar berikut.
Gambar 2.5 Kendala
Gambar 2.6 Kendala
Gambar 2.7 Kendala
Gambar 2.8 Kendala
Universitas Sumatera Utara
12
Gambar 2.9 Kendala
Gambar 2.10 Kendala
Gambar 2.11 Kendala
Jika didefinisikan sebagai
due date
dari kegiatan , yang
bersifat deterministik, maka nilai kecepatan dari kegiatan dapat dihitung dengan
rumus dan nilai keterlambatan dari kegiatan dapat dihitung
dengan rumus Sehingga total nilai kecepatan-keterlambatan
dari kegiatan adalah
dengan meyatakan bobot kecepatan kegiatan
dan meyatakan bobot keterlambatan kegiatan
, .
Kemudian, diasumsikan bahwa ,
, , dan
sehingga masalah kecepatan-keterlambatan menjadi: ∑
dengan kendala:
Universitas Sumatera Utara
13
di mana: 1
Menyatakan fungsi tujuan untuk meminimumkan bobot nilai kecepatan- keterlambatan dari proyek.
2 Menyatakan hubungan urutan
finish-start
di antara kegiatan. 3
Menyatakan nilai kecepatan setiap kegiatan. 4
Menyatakan nilai keterlambatan setiap kegiatan. 5
Menyatakan kegiatan
dummy
awal
finish
pada waktu nol. 6
Menyatakan waktu
finish
, nilai kecepatan, dan nilai keterlambatan dari setiap kegiatan adalah integer nonnegatif.
Net Present Value
NPV atau nilai bersih sekarang adalah analisis manfaat finansial yang digunakan untuk mengukur kelayakan suatu proyek berdasarkan nilai
sekarang aliran kas bersih dari pendapatan yang akan datang dipotong modal dan biaya investasi. Aliran kas bersih adalah laba bersih ditambah penyusutan. Biaya
investasi adalah total dana yang dikeluarkan untuk pengadaan seluruh sumber daya yang dibutuhkan dalam menjalankan suatu proyek. Pada kriteria NPV, nilai waktu
uang dihitung dengan mendiskonto aliran kas. Nilai uang sebagai manfaat finansial dari usaha yang diperkirakan akan diterima di masa yang akan datang tidak sama
dengan nilai uang yang diterima sekarang karena adanya faktor tingkat diskonto yang disimbolkan dengan
. Dengan menggunakan , nilai sekarang yang harus dibayar pada akhir periode
diperoleh dari
Fungsi tujuan dalam penelitian ini, disimbolkan dengan , adalah
menjadwalkan proyek dengan kendala GPR dan batas waktu yang ditentukan, dengan tujuan meminimumkan NPV dari proyek. Secara matematis fungsi tujuan dapat
ditulis: ∑
∑ ∑
dengan kendala:
Universitas Sumatera Utara
14
10
di mana: 7
Menyatakan fungsi tujuan dengan tujuan meminimumkan NPV dari proyek. 8
Menyatakan kegiatan dapat
start
jika
predecessor
-nya, kegiatan , telah
start
selama satuan waktu.
9 Menyatakan batas dari durasi proyek dengan menambahkan batas waktu
proyek, disimbolkan dengan , untuk kegiatan
dummy
akhir .
10 menyatakan kegiatan
dummy
awal
start
dan
finish
pada waktu nol. 11
menyatakan waktu
start
setiap kegiatan bernilai integer nonnegatif.
Suatu jadwal, , dikatakan optimal jika waktu
start
setiap kegiatan memenuhi semua kendala GPR. Fungsi tujuan optimal dinyatakan dengan
.
2. 4 Matriks dan Operasi Matriks
2.4.1 Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris arah horizontal dan kolom arah vertikal. Bilangan-bilangan yang terdapat di
dalam matriks tersebut disebut elemen atau entri dari matriks. Ukuran suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris dan kolom yang dimilikinya. Suatu matriks yang hanya
terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom dan suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks baris. Jika
adalah sebuah matriks, maka menyatakan entri yang terdapat di dalam baris
dan kolom dari matriks . Secara umum matriks dituliskan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
15
[ ]
Matriks di atas disebut matriks berukuran kali ditulis karena memiliki baris
dan kolom.
Dalam tulisan ini, matriks akan digunakan untuk menguji kelayakan dari
suatu jadwal. Anggota-anggota dari matriks tersebut dapat diperoleh dengan mengikuti ketentuan berikut:
{ di mana
menyatakan minimal
time-lag
antara waktu
start
dari kegiatan dan .
Dalam matriks ini kegiatan merupakan
predecessor
bagi kegiatan . Suatu jadwal
dikatakan tidak layak apabila terdapat paling tidak satu dari elemen matriks yang mewakili jadwal tersebut bernilai negatif. Elemen yang bernilai negatif tersebut
menunjukkan pasangan kegiatan yang bermasalah dan himpunan pasangan kegiatan yang bermasalah dinyatakan dengan
.
2.4.2 Operasi Matriks
2.4.2.1 Penjumlahan Matriks
Jika [
] dan [ ] adalah dua matriks sebarang berukuran , maka
adalah suatu matriks [ ] berukuran di mana
R. Bronson, 1970, hal: 3. Matriks-matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan.
Contoh : Misalkan
[ ] dan [
] Maka,
Universitas Sumatera Utara
16
[ ] [
]
2.4.2.2 Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika [
] adalah matriks berukuran sebarang dan adalah skalar sebarang, maka
adalah suatu matriks [ ] berukuran di mana
R. Bronson, 1970, hal: 4. Matriks disebut sebagai kelipatan skalar dari
. .
Contoh : Misalkan matriks
[ ]
Maka, [
] [
] [
]
2.4.2.3 Perkalian Matriks
Jika [
] adalah matriks berukuran sebarang dan [ ] adalah matriks
berukuran sebarang, maka didefinisikan sebagai suatu matriks [
] berukuran
di mana ∑
R. Bronson, 1970, hal: 8.
Contoh : Diketahui
[ ]
, dan [
]
Universitas Sumatera Utara
17
Karena adalah matriks berukuran dan adalah matriks berukuran ,
maka adalah matriks berukuran . Perhitungan untuk hasilkali-hasilkalinya
adalah:
Dengan demikian diperoleh [
] .
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
Dalam Bab 3 ini akan dibahas mengenai metode
Branch and Bound
yang akan
digunakan pada pencarian solusi optimal dan contoh masalah beserta penyelesaiannya.
3.1 Metode
Branch and Bound
Metode
Branch and Bound
adalah suatu metode pencarian solusi yang ditransformasikan dalam bentuk pohon percabangan dan pembatasan. Metode ini
mula-mula dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig pada tahun 1960. Metode
Branch and bound
merupakan suatu metode yang paling umum digunakan untuk mencari solusi optimal pada masalah optimasi kombinatorial seperti penjadwalan proyek.
Branch and bound
terdiri atas tiga bagian utama, yaitu batas bawah, strategi pencarian, dan percabangan. Baik program linier maupun program nonlinier dapat
diselesaikan dengan metode
Branch and Bound
.
3.1.1 Algoritma Dasar
Ada dua yang menjadi dasar dari algoritma
Branch and bound
, yaitu algoritma
Breadht First Search
dan algoritma
Depth First Search.
3.1.1.1
Breadht First Search
BFS
Prinsip BFS adalah selalu membangkitkan semua
node
dari
node
awal pada pohon ru-
Universitas Sumatera Utara
19
ang status
.
Langkah-langkah yang dilakukan pada implementasi
Branch and Bound
adalah: 1.
Membangkitkan
node
baru dari semua
node
awal. 2.
Memberikan
cost
tertentu untuk setiap
node
pada pohon percabangan. 3.
Memilih
node
yang memiliki
cost
terkecil untuk dibangkitkan.
3.1.1.2
Depth First Search
DFS
Prinsip DFS adalah selalu membangkitkan
node
pertama dari
node
awal pada pohon percabangan. Langkah-langkah yang dilakukan pada implementasi
Branch and Bound
adalah: 1.
Membangkitkan setiap
node
pertama dari
node
awal hingga tidak ada lagi
node
yang dapat dibangkitkan. 2.
Kembali menelusuri
node-node
calon solusi yang telah dibangkitkan untuk menemukan jalur solusi lain yang lebih baik.
3. Berhenti setelah menemukan solusi yang optimal.
3.1.2 Jadwal awal
Hal pertama yang harus dilakukan sebelum membangun pohon percabangan adalah menentukan jadwal awal. Apabila tingkat pohon
Branch and Bound
disimbolkan dengan
maka jadwal awal berada pada tingkat . Untuk menentukan jadwal awal, waktu
start
dari masing-masing kegiatan harus ditentukan terlebih dahulu dengan mengikuti persyaratan berikut:
{ di mana
meyatakan waktu
start
paling awal kegiatan dan
meyatakan waktu
finish
paling akhir kegiatan . dari kegiatan dapat dihitung dengan
menentukan jarak terjauh dari
node
1 ke
node
dan dari kegiatan dapat dihitung dengan menentukan jarak terdekat dari
node
ke
node
.
Universitas Sumatera Utara
20
Jadwal awal tersebut belum tentu jadwal yang layak sehingga harus diuji kelayakannya dengan matriks
yang telah dijelaskan dalam subbab 2.4.1.
3.1.3 Strategi Pencarian dan Percabangan
Pencarian dimulai dari jadwal awal yang telah ditentukan. Asumsikan terdapat dua kegitan,
dan , yang bermasalah pada tingkat dari pohon percabangan di
mana kegiatan merupakan
predecessor
bagi kegiatan . Suatu masalah akan dipecah
menjadi beberapa submasalah. Misalkan jumlah elemen yang bernilai negatif
adalah , maka terdapat alternatif percabangan sehingga pohon percabangan
ditingkatkan menjadi . Dari masing-masing
node
akan dihitung nilai .
Misalkan elemen matriks pertama yang bernilai negatif adalah
– , maka terdapat
alternatif untuk menentukan nilai suatu
node
. Alternatif yang pertama adalah memajukan waktu
start
kegiatan sebesar satuan waktu. Alternatif
kedua adalah memundurkan waktu
start
kegiatan sebesar 1 satuan waktu dan
memajukan waktu
start
kegiatan sebesar satuan waktu. Alternatif ke-
adalah memundurkan waktu
start
kegiatan sebesar satuan waktu dan
memajukan waktu
start
kegiatan sebesar satuan waktu. Terakhir,
alternatif ke- adalah memundurkan waktu
start
kegiatan sebesar satuan
waktu. Dari semua alternatif yang mungkin akan dipilih nilai yang paling minimum.
Pada proses memundurkan dan atau memajukan waktu
start
kegiatan, , perlu
diperhatikan bahwa waktu
start
kegiatan tidak boleh lebih dari
atau kurang dari .
Lemma
Strategi penggeseran, yang terdiri dari semua penggeseran pada jalur kegiatan, akan menghasilkan enumerasi lengkap dari pohon pencarian.
Bukti: Pada suatu tingkat
dari pohon
Branch and Bound
, untuk menyelesaikan kegiatan dan
yang memiliki konflik waktu sebesar periode, cabang ke- dilakukan dengan
Universitas Sumatera Utara
21
menggeser kegiatan , periode ke kiri dan kegiatan , periode ke kanan.
Misalkan ada kegiatan , , dan , di mana , , dan
, .
Misalkan juga konflik waktu kegiatan dan sebesar
, dan kegiatan dan
sebesar . Kemudian
dan masing-masing didefinisikan sebagai waktu
start
kegiatan pada jadwal tak layak tertentu dan pada suatu jadwal yang layak. Jelas
bahwa pada cabang pertama dari tingkat , terdapat
, , dan
. Demikian juga pada cabang terakhir dari tingkat , terdapat
, , dan
. Lalu, akan diperlihatkan bahwa waktu
start
kegiatan ,
, diperoleh dari interval , dengan
menunjukkan bahwa strategi percabangan akan memperhitungkan semua titik pada interval tersebut. Walaupun pada tingkat pohon
Branch and Bound
ini, diketahui hanya interval tersebut untuk
yang menghasilkan waktu layak untuk kegiatan , ,
dan , tetapi ada kemungkinan
diperoleh dari di luar interval tersebut pada tingkat pohon
Branch and Bound
berikutnya. ,
Seandainya konflik waktu kegiatan dan diselesaikan pada tingkat dari pohon
Branch and Bound
dan konflik waktu kegiatan dan diselesaikan pada tingkat
. Asumsikan
. Kegiatan
start
pada pada cabang ke-
tingkat dan menurut strategi percabangan, konflik waktu kegiatan dan juga
diselesaikan secera otomatis. Asumsikan . Pada cabang
tingkat , konflik waktu kegiatan dan diselesaikan dengan menggeser
sebesar periode ke kiri, sehingga konflik waktu kegiatan
dan tidak terselesaikan. Cabang ke-
tingkat , akan menghasilkan waktu
start
kegiatan pada periode
dan menyelesaikan konflik waktu kegiatan dan .
Akibatnya, dengan mengulang strategi percabangan sepanjang pencarian akan menghasilkan enumerasi dari semua solusi yang mungkin.
Pada proses percabangan, mungkin saja suatu
node
yang sama terulang kembali. Dengan kata lain, terdapat dua
node
yang mempresentasikan jaringan kerja penjadwalan proyek yang sama. Hal ini diketahui dari matriks
yang sama. Sehingga, apabila dari suatu
node
baru diperoleh matriks yang sama dengan
Universitas Sumatera Utara
22
matriks dari
node
sebelumnya maka
node
tersebut dapat dipangkas atau perhitungan tidak perlu dilanjutkan. Proses percabangan akan berhenti apabila telah
didapatkan jadwal optimal yaitu suatu jadwal dengan matriks yang semua
elemennya bernilai nonnegatif. Dengan kata lain, proses percabangan akan berhenti apabila tidak terdapat lagi pasangan kegiatan yang bermasalah.
3.1.4 Batas Bawah
Lower Bound
Jika batas bawah tidak digunakan maka segala kemungkinan penyelesaian harus
dienumerasikan satu persatu, sehingga memperlama proses optimasi. Oleh karena itu,
LB
perlu dikalkulasikan pada setiap
node
. Selain itu, apabila percabangan yang dibangkitkan dari suatu
node
tidak mengarah pada solusi, maka
node
tersebut dapat dipangkas.
Terdapat tiga jenis
conflict set
, yaitu: 1.
Apabila kegiatan merupakan
predecessor
bagi kegiatan dan kedua kegiatan
tersebut memiliki konflik waktu . Untuk lebih jelas, dapat dilihat
dalam gambar 3.1.
Gambar 3.1
Conflict set
jenis I
2. Apabila kegiatan merupakan
predecessor
bagi beberapa kegiatan, ,
dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut. Untuk lebih jelas, dapat dilihat dalam gambar 3.2.
Gambar 3.2
Conflict set
jenis II
Universitas Sumatera Utara
23
3. Apabila kegiatan merupakan
successor
bagi beberapa kegiatan, ,
dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut. Untuk lebih jelas, dapat dilihat dalam gambar 3.3.
Gambar3.3
Conflict set
jenis III
Dalil 1
Untuk
conflict set
jenis I, di mana kendala GPR antara kegiatan dan kegiatan
diabaikan, diasumsikan besar konflik waktu adalah satuan waktu. Dengan demikian,
nilai minimum untuk menyelesaikan
conflict set
ke- , ̅ , dapat dihitung dengan
rumus: ̅
di mana diperoleh dari:
{ ∑
∑ }
dengan merupakan nilai minimum untuk menyelesaikan konflik waktu antara
kegiatan dan kegiatan .
Dalil 2
Untuk
conflict set
jenis II, di mana kegiatan merupakan
predecessor
bagi beberapa kegiatan,
, dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut, nilai minimum untuk menyelesaikan
conflict set
ke- , ̅ , dapat dihitung dengan
rumus: ̅
{ }
Universitas Sumatera Utara
24
Dalil 3
Untuk
conflict set
jenis III, di mana kegiatan merupakan
successor
bagi beberapa kegiatan,
, dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut, nilai minimum untuk menyelesaikan
conflict set
ke- , ̅ , dapat dihitung dengan
rumus: ̅
{ }
Dalil 4
Untuk setiap jadwal yang dibangkitkan dari pohon percabangan, LB ditentukan oleh: ∑ ̅
dengan menyatakan solusi sementara dan ̅ menyatakan nilai minimum untuk
menyelesaikan
conflict set
ke- .
Gambar 3.4 Diagram pohon metode
Branch and Bound
Gambar di atas memperlihatkan pohon percabangan dengan nilai solusi sementara,
, batas bawah, , dan himpunan kegiatan yang bermasalah, .
3.2 Contoh Kasus dan Penyelesaiannya
