I A
A A
A A
adj A
det det
det det
...
2.8
Karena A dapat dibalik, maka
det
A , maka persamaan 2.8 dapat dituliskan
kembali sebagai
I A
adj A
A
det 1
atau
I A
adj A
A
det 1
Dengan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan maka akan menghasilkan
1
A
A adj
A A
det 1
1
... 2.9
2.3 Multiple Regresi
Multiple regresi adalah analisis regresi yang meramalkan pengaruh dua variabel bebas atau lebih terhadap satu variabel terikat
. Dapat juga digunakan untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsional antara dua buah variabel
bebas atau lebih dengan sebuah variabel terikat
. Bentuk persamaan umum multiple regresi adalah
n i
i i
X Y
1
i ki
ki i
i
X X
X Y
...
2 2
1 1
…2.10 Apabila dinyatakan dalam bentuk matriks, akan diperoleh rumus berikut
X
Y
dengan
Universitas Sumatera Utara
kn n
n ki
i i
k ki
k i
k i
n i
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X
Y Y
Y Y
Y
2 1
2 1
2 22
12 21
11 2
1 1
2 1
1 1
1 1
Koefisien harus diestimasi berdasarkan data hasil penelitian sampel acak.
Prosedur estimasi tergantung pada asumsi mengenai variabel X dan kesalahan pengganggu
ε. Beberapa asumsi yang penting adalah sebagai berikut: 1. nilai harapan setiap kesalahan pengganggu sama dengan nol
i
E
, untuk semua i.
2 1
n i
E E
E E
2. Kesalahan pengganggu yang satu ε
i
tidak berkorelasi bebas terhadap kesalahan pengganggu lainnya
ε
j
, akan tetapi mempunyai varians yang sama. untuk semua i.
2 2
, ,
i j
i
E j
i E
Apabila dinyatakan dalam bentuk matriks, maka asumsi tersebut menjadi sebagai berikut:
I
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E
n n
n n
i i
i n
i 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2
Universitas Sumatera Utara
= transpos dari vektor kolom
ε, atau dengan kata lain, merupakan vektor baris
= ε ... ε ... ε ... ε . I = matriks identitas, karena setiap kesalahan pengganggu mempunyai varians yang sama.
1 2
i n
3. X
1i
, X
2i
, ... , X
ki
merupakan bilangan real, tanpa mengandung kesalahan. Dengan perkataan lain, matriks merupakan himpunan angka-angka konstan fixed
numbers. 4. Matriks
X mempunyai rank n
k ada k kolom dari matriks X yang bebas linear.
Jumlah observasi n harus lebih banyak dari jumlah variabel, atau lebih banyak dari koefisien regresi linear yang akan diestimasi.
... 2.11
k k
X X
X Y
ˆ ...
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
1 1
Apabila
ˆ
,
ˆ
1
,
ˆ
2
, ... ,
ˆ
k
sudah dihitung sebagai penduga parameter
1
,
2
, ... ,
k
, berdasarkan data dari sampel, maka
Y
dapat digunakan untuk meramalkan
ˆ
, setelah X
1
, X
2
, ... , X
k
diketahui nilainya.
2.3.1 Taksiran atau Pendugaan pada Koefisien Multiple Regresi
Misalkan sebagai penduga
ˆ
merupakan vektor kolom dengan k baris sebagai berikut:
k
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 1
Y
ˆ X
ˆ X
= + e
e =
Y
Universitas Sumatera Utara
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 22
12 1
21 11
2 1
2 1
_
k kn
n n
ki i
i k
k
n i
e n
i
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X
Y Y
Y Y
Y
e e
e e
2 2
2 1
1 2
2 2
1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ki k
i i
i i
ki k
i i
i i
X X
X Y
e X
X X
Y e
... 2.12
Estimasi vektor dengan menggunakan kuadrat terkecil, ialah vektor
sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat kesalahan pengganggu, e
ˆ
’
e =
2 i
e minimum. Caranya ialah dengan melakukan penurunan parsial
2 i
e terhadap setiap komponen vektor dan menyamakannya dengan 0.
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 ˆ
1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ 2
ˆ
1 2
2 1
1 1
2 2
2 1
1 2
i ki
k i
i i
i ki
k i
i i
i
X X
X X
Y e
X X
X Y
e
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 ˆ
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
2 2
ki ki
k i
i i
k i
i ki
k i
i i
i
X X
X X
Y e
X X
X X
Y e
... 2.13
Persamaan diatas, setelah disederhanakan akan menjadi
Universitas Sumatera Utara
i ki
ki k
ki i
ki i
ki i
i ki
i k
i i
i i
i i
ki i
k i
i i
i i
ki k
i i
Y X
X X
X X
X X
Y X
X X
X X
X X
Y X
X X
X X
X X
Y X
X X
n
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1 1
2 1
2 2
1 1
1 2
2 1
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
...
2.14
Persamaan di atas disebut persamaan normal. Dengan meminimumkan
ˆ ˆ
X Y
X Y
e e
maka dihasilkan :
ˆ
ˆ ˆ
2 ˆ
ˆ
1 2
X X
Y X
Y Y
X Y
X Y
e e
e
n i
i
dengan turunan parsial dari persamaan
ˆ
e e
, maka didapatkan : atau
...2.15 ...2.16
ˆ 2
2
X X
Y X
Y X
X X
1
ˆ
Y X
X X
ˆ
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
Seperti disebutkan sebelumnya, bahwa secara umum pendekatan yang dapat digunakan untuk menaksir parameter pada model persamaan simultan ada dua, yaitu
metode persamaan tunggal Single Equation Methods atau dikenal juga dengan metode informasi terbatas Limited Information Methods contohnya adalah 2SLS dan
LIML, dan metode sistem System Methods of Estimation atau metode informasi penuh Full Information Methods contohnya adalah 3SLS dan FIML. Akan tetapi
dalam penulisan skripsi ini hanya dibatasi pada penaksiran dengan pendekatan persamaan tunggal, yaitu metode Kuadrat Terkecil Dua Tahap Two Stage Least
Squares – 2SLS dan metode Informasi Terbatas Kemungkinan Terbesar Limited Information Maximum Likelihood-LIML.
3.1 Kuadrat Terkecil Dua Tahap Two Stage Least Square – 2SLS
