i i
n i
i n
i i
i
X Y
X SSD
X Y
SSD
1 1
1 1
1
2 2
...
2.4
Dan karenanya
...
2.5
1 1
1 1
i i
n i
i n
i i
i
X Y
X X
Y
dari persamaan 2.5, diperoleh
...
2.6
n i
n i
i i
i n
i i
i n
i n
i i
i
Y X
X X
Y X
n
1 1
2 1
1 1
1
persamaan 2.6 disebut dengan persamaan normal. Dari persamaan 2.6 diperoleh,
n
X X
n Y
X Y
X
i i
i i
i i
2 2
1
ˆ
dan X
Y
1
ˆ ˆ
, dimana Y dan X adalah n
Y
n i
i
1
dan n
X
n i
i
1
. dan
yang diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari
ˆ
1
ˆ
dan
1
. Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai, , yang disebut persamaan prediksi kuadrat terkecil.
X Y
1
ˆ ˆ
ˆ
2.2 Determinan Matriks
Universitas Sumatera Utara
Defenisi 1. Determinan dari suatu matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan |A|
atau detA adalah fungsi skalar yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasil kali unsur- unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi
jumlah unsur- unsur yang sejajar diagonal lain. Contoh 2.1
i ; maka
22 21
12 11
a a
a a
A
ii ; maka
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a A
2.2.1 Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Di bagian ini akan diperlihatkan bahwa determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut kepada bentuk eselon baris. Metode ini penting
karena metode ini menghindari perhitungan yang panjang yang terlibat di dalam pemakaian definisi determinan secara langsung.
Mula-mula ditinjau dua golongan matriks yang determinannya dapat dihitung dengan mudah, tak perduli berapapun besarnya ukuran matriks tersebut.
Teorema 1. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebarisan
bilangan nol, maka detA = 0.
Sebuah matriks kuadrat dinamakan segitiga atas upper triangular jika semua entri di bawah diagonal utama adalah segitiga bawah lower triangular jika semua entri di
atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga bawah dinamakan segitiga triangular.
Contoh 2.2 Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk
Universitas Sumatera Utara
44 34
33 24
23 22
14 13
12 11
a a
a a
a a
a a
a a
A
Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk
44 43
42 41
33 32
31 22
21 11
a a
a a
a a
a a
a a
A
Teorema 2. Jika A adalah sebuah matriks segitiga yang berukuran n x n, maka detA
adalah hasil perkalian entri-entri pada diagonal utama yakni
nn
a a
a A
22 11
det
. Contoh 2.3
4
8 9
6 7
6 1
5 7
3 3
8 3
7 2
A
maka
1296 4
9 6
3 2
4 8
9 6
7 6
1 5
7 3
3 8
3 7
2
A
Teorema 3. Anggap A adalah sebarang matriks n x n.
a Jika
A
adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah baris tunggal dari A dikalikan oleh sebuah konstanta k, maka
A k
A det
det
Universitas Sumatera Utara
b Jika
A
A
adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris dari A dipertukarkan, maka
A det
det
c Jika
A
adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah kelipatan dari satu baris dari A ditambahkan kepada baris lain, maka
A A
det det
2.2.2. Sifat-sifat Fungsi Determinan
Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transposisi dari A transpose of A dinyatakan oleh
dan didefinisikan sebagai matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, yang kolom keduanya adalah baris kedua dari A, yang
kolom ketiganya adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.
t
A
Sifat-sifat Operasi Transposisi
skalar sebarang
adalah k
mana di
kA kA
iii B
A B
A ii
A A
i
t t
t t
t t
t
;
2.2.3. Ekspansi Kofaktor dengan Kaidah Cramer
Definisi 2. Jika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka minor entri dinyatakan
oleh dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tinggal setelah
baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. Bilangan
ij
a
ij
M
ij j
i
M
1 dinyatakan oleh
dinamakan kofaktor entri .
ij
K
ij
a
Contoh 2.4 Andaikan
8 4
1 6
5 2
4 1
3 A
Minor entri adalah
11
a 16
8 4
6 5
11
M Maka kofaktor
adalah
11
a
Universitas Sumatera Utara
16 1
11 11
1 1
11
M M
K
Definisi 3. Jika A adalah sebarang matriks n x n dan
adalah kofaktor , maka
matriks
ij
K
ij
a
nn n
n n
n
K K
K K
K K
K K
K
2 1
2 22
21 1
12 11
dinamakan matriks kofaktor dari A. Transposisi matriks ini dinamakan adjoin dari A dan dinyatakan dengan adjA.
Teorema 4. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka
A adj
A A
det 1
1
Bukti. Mula-mula akan diperlihatkan bahwa
I A
A adj
A det
nn jn
n n
n j
n j
nn n
n in
i i
n n
K K
K K
K K
K K
K K
K K
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A adj
A
2 1
2 2
22 12
1 1
21 11
2 1
2 1
2 22
21 1
12 11
Entri di dalam baris ke i dan kolom ke j dari A adj A adalah
jn in
j i
j i
K a
K a
K a
2 2
1 1
... 2.7
Jika i = j, maka 2.7 adalah ekspansi kofaktor dari detA sepanjang baris ke i
dari A. Sebaliknya, jika j
i , maka koefisien-koefisien dan kofaktor-kofaktor
berasal dari baris-baris A yang berbeda, sehingga nilai dari 2.7 sama dengan nol. Maka
a
Universitas Sumatera Utara
I A
A A
A A
adj A
det det
det det
...
2.8
Karena A dapat dibalik, maka
det
A , maka persamaan 2.8 dapat dituliskan
kembali sebagai
I A
adj A
A
det 1
atau
I A
adj A
A
det 1
Dengan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan maka akan menghasilkan
1
A
A adj
A A
det 1
1
... 2.9
2.3 Multiple Regresi
