Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi (Pengayaan)

D. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi (Pengayaan)

Fungsi invers dari fungsi komposisi dapat didefinisikan sebagai

Tes Mandiri

berikut.

Kerjakan di buku tugas

Jika h merupakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g (ditulis

h NJika f (x ) = x = g º f), invers dari fungsi h merupakan fungsi invers dari +1

dan g(x) = x 2 – 1 maka

fungsi komposisi f dan g yang ditulis h –1

= (g º f) –1 .

(g º f )(x) adalah .... a. x

d. 2x – 1 b. x – 1

e. x 2 Misalnya f dan g adalah fungsi-fungsi pada bilangan real dan g º f +1 adalah komposisi fungsi f dan g. Salah satu cara untuk menentukan c. x + 1

Soal UMPTN, Kemam-

nilai (g º f) adalah dengan langkah-langkah berikut.

puan Dasar, 1997

Langkah 1 : Menentukan terlebih dahulu fungsi komposisi g º f. Langkah 2 : Dari hasil fungsi komposisi itu, kemudian ditentukan

fungsi inversnya.

Contoh:

Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada bilangan real yang didefinisikan f(x) = 3x + 2 dan

g (x) = 2x. Tentukan

a. (f º g)(x);

b. (f º g) –1 (x).

Penyelesaian:

a. (f º g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 3(2x) + 2 = 6x + 2.

b. Misalkan y = (f º g)(x) ‹ y = 6x + 2

Jadi, fungsi invers dari (f º g)(x) adalah (f º g) (x) =

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 163

–1 =g –1 1. Memahami (f º g) –1 ºf

(g o f) –1

Perhatikan gambar di samping. Jika f

g o f dan g adalah fungsi-fungsi bijektif dengan

f g f :A A B dan g : B A C maka g º f adalah fungsi komposisi yang memetakan A ke C.

x f (x)

g (f(x))

Invers dari fungsi komposisi g º f atau –1 (g º f) pada gambar tersebut dapat dinyata-

f –1

g –1

kan sebagai komposisi antara g –1 dan f –1 ,

yaitu f ºg . Dengan demikian, diperoleh

(g º f) –1 (x) = (f –1 –1 ºg )(x) Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh (f º g) –1 (x) = (g –1 –1 ºf )(x).

Oleh karena itu, secara umum dapat kita simpulkan sebagai berikut. Jika f –1 dan g –1 adalah invers dari fungsi-fungsi f dan g, berlaku

(g º f) –1 (x) = (f ºg )(x); (f º g) –1 (x) = (g –1 –1 ºf )(x).

Diketahui fungsi f : R A R dan g : R A R (R = himpunan bilangan real) didefinisikan oleh f(x) = 4x – 6 dan g(x) = x + 3. Tentukan fungsi berikut ini.

Misalkan y = f(x).

a. y = 4x – 6

b. y = g(x)

‹ 4x = y – 6

‹ y =x+3

‹ x = y +6

‹ x =y–3

Jadi, f –1 (x) =

Jadi, g –1 (x) = x – 3.

c. Cara 1: (f º g)(x) = f(g(x))

= f(x + 3) = 4(x + 3) – 6 = 4x + 6

164 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

Misalkan y = (f º g)(x) ‹ y = 4x + 6

Cara 2: (f º g) –1 (x) = (g –1 –1 ºf )(x)

=g –1 (f –1 (x))

2. Penggunaan Sifat Fungsi Komposisi

Tes Mandiri

Di antara penerapan invers fungsi komposisi adalah menentukan Kerjakan di buku tugas rumus sebuah fungsi apabila diketahui sebuah fungsi lainnya dan

Jika (f º g)(x) = 4x 2 + 8x

komposisi kedua fungsi itu. Untuk itu, kita ingat kembali sifat komposisi – 3 dan g(x) = 2x + 4 –1

sebuah fungsi dengan fungsi inversnya, antara lain

maka f (x) = ....

–1 )(x) = (f –1

a. x + 9

(f º f º f)(x) = I(x) = x.

Misalkan f dan g adalah fungsi pada bilangan real yang dapat x

dikomposisikan dan g adalah invers dari fungsi g. Berdasarkan sifat

d. 2 +

di atas, dapat diperoleh x +1

f (x) = I(f(x)) = (g –1

º g)(f(x)) x +7 = ((g –1

e. 2 +

º g) º f)(x)

Soal UMPTN, Kemam-

puan Dasar, 2001

º g º f)(x) Karena pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif maka

= (g –1

Tes Mandiri

f (x) = (g –1 º (g º f))(x). Di samping itu,

Kerjakan di buku tugas

f (x) = I(f(x)) = f((g º g –1 )(x))

Jika f (x ) = 1 dan

= (f º (g º g –1 x = (f º g º g )(x)

–1 ))(x)

g(x) = 2x – 1 –1

Karena pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif maka

maka (f º g) (x) = ....

f (x) = ((f º g) º g –1 )(x).

2 x a. 2 x < 1 d.

Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut. x x + 1

x b. 2 e. x < 1

1. Apabila diketahui g(x) dan (g º f)(x) maka

f (x) = (g –1 x º (g º f))(x). +1

c.

2 Apabila diketahui g(x) dan (f º g)(x) maka x

f (x) = ((f º g) º g –1 )(x).

Soal UMPTN, Kemam-

puan Dasar 1998

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 165

Contoh:

Diketahui fungsi f dan g terdefinisi pada bilangan real dengan g(x) = x + 5. Tentukan

f (x) jika diketahui

a. (g º f)(x) = 3x 2 + 7x;

b. (f º g)(x) = 3x – 5.

Penyelesaian:

Agar rumus di atas dapat digunakan, kita perlu menentukan invers fungsi g, yaitu g –1 . Misalkan g(x) = y.

y =x+5 ‹ x=y–5 ‹ g –1 (y) = y – 5 Jadi, g –1 (x) = x – 5.

a. f (x) = (g –1

b. º (g º f))(x) –1 f (x) = (f º g) º g )(x) =g –1

((g º f)(x) –1 = (f º g)(g (x)) =g –1 (3x 2 + 7x)

= (f º g)(x – 5) = 3x 2 + 7x + 5

= 3(x – 5) – 5 = 3x – 20

Pada pembahasan fungsi komposisi, kita telah belajar cara menentukan sebuah fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui. Coba kerjakan kembali soal-soal di atas dengan cara yang telah kita pelajari sebelumnya. Bagaimana kesimpulan- mu, cara mana yang lebih praktis digunakan?

Uji Kompetensi 4

Kerjakan di buku tugas

1. Fungsi f dan g terdefinisi pada R (himpunan bilangan real) dengan f(x) = 2x + 5 dan

g (x) = x – 2.

a. Tentukan f –1 (x) dan g –1 (x).

Tentukan (f º g) –1 (x).

b. –1

(x) dan (g º f) –1

c. Tentukan (f –1 –1

ºg )(x) dan (g –1 ºf )(x).

d. Kesimpulan apa yang kalian peroleh?

2. a. Jika fungsi f pada R didefinisikan oleh f(x) = <2 , tentukan f –1 (x) dan

3x

(f –1 ) –1 (x)? Apa kesimpulanmu?

b. Tentukan fungsi f pada R jika diketahui

1) f –1 (x) = 2x – 1;

2) f –1 (x) = 2 – 10x;

, untuk x & –1.

166 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

ax + b d

3. Jika f(x) = , dengan x & < , tentukan rumus f –1 (x).

cx + d c

4. Gunakan rumus pada jawaban soal nomor 3 untuk menentukan invers fungsi-fungsi berikut.

5. Tentukan fungsi f yang didefinisikan pada himpunan bilangan real jika diketahui

a. g (x) = 3x dan (g º f)(x) = 3 – 4x;

b. g (x) = 2x + 1 dan (f º g)(x) = 2x + 5;

c. g (x) = 5 – x dan (f º g)(x) = x 2 – 9x + 12;

d. g (x) = 2x + 5 dan (f º g)(x) = 8x 2 + 40x + 54;

e. g (x) =

x dan (f º g)(x) =

Soal Terbuka

Kerjakan di buku tugas

Tentukan rumus fungsi f yang didefinisikan pada himpunan bilangan real sedemikian rupa sehingga

Masih adakah materi yang belum kah manfaat dari belajar fungsi komposisi kalian kuasai? Jika ada, diskusikan dengan dan fungsi invers jika dikaitkan dengan teman-teman kalian. Menurut kalian, apa- kehidupan sehari-hari?

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 167

Rangkuman

1. Operasi aljabar pada fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut.

a. Penjumlahan: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

b. Pengurangan: (f – g)(x) = f(x) – g(x)

c. Perkalian: (f × g)(x) = f(x) × g(x)

fx ()

d. Pembagian: ² ´ (x) =

, untuk g(x) & 0.

gx ()

2. Komposisi fungsi g º f adalah suatu fungsi yang mengerjakan f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan g, dengan syarat f surjektif.

3. Sifat-sifat komposisi fungsi:

a. pada umumnya tidak komutatif;

b. asosiatif;

c. terdapat fungsi identitas I(x) = x.

4. Jika fungsi bijektif f : A A B yang dinyatakan oleh

f = {(a, b) | a D A dan b D B} maka fungsi f –1 :B A A yang dinyatakan oleh

f –1 = {(b, a) | b D B dan a D A} disebut invers fungsi f.

5. Pada fungsi komposisi g dan f, berlaku

a. (f º g) –1 =g –1 –1 ºf ;

b. –1 =f –1 (g º f) –1 ºg .

Latihan Ulangan Harian III