Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
4. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
dalam Interval Tertutup
Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mempelajari baik cara menentukan nilai maksimum maupun nilai minimum suatu fungsi f(x). Sekarang, jika fungsi f(x) terletak dalam interval
tertutup, bagaimana cara menentukan nilai maksimum atau nilai minimumnya? Untuk dapat menjawab permasalahan tersebut, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x 3 Y
f (x) = x3
dalam interval –2 8 ) x ) 2.
Penyelesaian:
Grafik fungsi f(x) = x 3 adalah seperti di samping.
Dengan memperhatikan grafik fungsi di samping, tampak bahwa pada interval –2 ) x ) 2 nilai maksimum fungsi di atas adalah 8, yaitu untuk x = 2, sedangkan nilai minimumnya
adalah –8, yaitu untuk x = –2. -2 -1 O 12 Perhatikan pula bahwa nilai maksimum dalam interval X
tersebut, yaitu f(2) merupakan nilai fungsi pada ujung kanan -1 interval, sedangkan nilai minimumnya, yaitu f(–2),
merupakan nilai fungsi pada ujung kiri interval.
Gambar 5.15
224 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Dengan memerhatikan contoh tersebut, dapat kita ketahui
Tes Mandiri
bahwa nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi pada interval tertutup merupakan nilai fungsi pada ujung-ujung inter- Kerjakan di buku tugas
val. Jadi, nilai maksimum atau minimum fungsi dalam interval
Titik belok dari fungsi y = x 3 + 6x 2 + 9x + 7
tertutup tidak selalu merupakan nilai balik maksimum atau nilai
adalah ....
minimumnya. Hal ini dapat kita rangkum sebagai berikut.
a. (–2, 3) b. (–2, 7)
Nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup
c. (–2, 5)
dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu
d. (2, 10) e. (2, 5)
a. nilai-nilai stasioner fungsi (nilai balik maksimum atau nilai
Soal UMPTN, Kemam-
balik minimum);
puan Dasar, 1997
b. nilai-nilai fungsi pada ujung interval.
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = x 4 + 4x 3 – 2x 2 – 12x + 4 pada interval –2 ) x ) 0.
Penyelesaian:
Diketahui f(x) = x 4 + 4x 3 – 2x 2 – 12x + 4.
Nilai-nilai fungsi pada ujung interval adalah sebagai berikut.
Selanjutnya, turunan fungsi f adalah f '(x) = 4x 3 + 12x 2 – 4x – 12 = 4(x 3 + 3x 2 – x – 3). Titik stasioner terjadi jika f '(x) = 0 sehingga 4(x 3 + 3x 2 – x – 3) = 0 x 3 + 3x 2 –x–3=0 (x – 1)(x + 1)(x + 3) = 0 x = 1 atau x = –1 atau x = –3.
Untuk x = 1 maka f(1) = 1 4 + 4(1) 3 – 2(1) 2 – 12(1) + 4 = –5,
untuk x = –1 maka f(–1) = (–1) 4 + 4(–1) 3 – 2(–1) 2 – 12(–1) + 4 = 11, dan untuk x = –3 maka f(–3) = (–3) 4 + 4(–3) 3 – 2(–3) 2 – 12(–3) + 4 = –5. Oleh karena itu, titik stasionernya adalah titik (1, –5), (–1, 11), dan (–3, –5). Untuk menyelidiki jenis stasioner titik-titik tersebut, dibuat garis bilangan untuk
f '(x) = 4(x – 1)(x + 1)(x + 3).
Dari garis bilangan tersebut, tampak bahwa (–3, –5) adalah titik balik minimum, (–1, 11) merupakan titik balik maksimum, dan (1, –5) merupakan titik balik minimum. Sketsa grafiknya tampak seperti pada Gambar 5.17.
Turunan 225
Dengan memerhatikan sketsa tersebut, nilai minimum Y
(-1, 11)
fungsi f(x) = x 4 + 4x 3 – 2x 2 –12x + 4 pada interval
–2 ) x ) 0 adalah 4, yaitu untuk x = –2 dan x = 0, sedangkan nilai maksimumnya adalah 11, yaitu untuk x = –1.
(-3, -5)
(1, -5)
Gambar 5.17
Uji Kompetensi 7
Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan interval yang menunjukkan fungsi berikut naik dan interval yang menunjuk- kan fungsi berikut turun.
2. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut selalu naik untuk setiap x bilangan real.
3. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut selalu turun untuk setiap x bilangan real.
a. f (x) = – 1 x 3 – 8x + 6
c. f (x) = –x 5 – 3x 3 – 15x + 7 3
b. f (x) = –x 3 – 12x + 1
d. f (x) = – 3 x 5 – 1 x 3 – x + 36
226 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
4. Tentukan titik stasioner, jenis titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum dari fungsi-fungsi berikut.
5. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi-fungsi berikut dalam interval tertutup I.
a. f (x) = (x – 3) 2 , I = [0, 5]
b. f (x) = x 2 – 2x – 1, I = [–1, 2]
c. f (x) = x 2 + x – 12, I = [–2, 4]
d. f (x) = –x 3 , I = [–1, 1]
e. f (x) = (x – 3) 3 + 4, I = [1, 4]
f. f (x) = x 3 – 3x 2 + 1, I = [–1, 3]
g. f (x) = (x 3 – 12x), I = [–3, 4]
h. f (x) = (2x 3 – 3x 2 – 12x + 8], I = [–3, 4]
i. f (x) = (x + 1) 4 , I = [–2, 1] j. f (x) = x 4 , I = [–2, 5]
6. Penerimaan penjualan barang elekronik sebanyak x unit dinyatakan dengan P (x) = 60x – 0,025x 2 , untuk 0 ) x ) 2.400. P(x) dalam puluh ribuan. Untuk x unit berapakah penerimaan penjualan akan menurun? Berapakah penerimaan maksimum
yang dicapai?