Menggambar Grafik Suatu Fungsi

G. Menggambar Grafik Suatu Fungsi

Secara umum, untuk menggambar grafik suatu fungsi diperlukan beberapa titik yang memenuhi fungsi tersebut. Kemudian jika kita hubungkan beberapa titik tersebut dengan kurva mulus maka akan diperoleh grafik fungsi yang dimaksud. Setelah kita mempelajari turunan sebuah fungsi, cara menentukan titik stasioner dan jenisnya, serta mengetahui interval di mana fungsi naik dan fungsi turun, maka kita akan dapat menggambarkan fungsi aljabar y = f(x). Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut.

1. Tentukan titik potong kurva y = f(x) dengan sumbu-sumbu

Tes Mandiri

koordinat (jika mudah ditentukan).

Kerjakan di buku tugas

a. Titik potong kurva dengan sumbu X, syaratnya y = 0.

Grafik fungsi

b. Titik potong kurva dengan sumbu Y, syaratnya x = 0. f(x) = 5 + 15x + 9x 2 +x 3 2. Tentukan titik stasioner dan jenisnya.

naik untuk x yang memenuhi ....

3. Tentukan interval di mana fungsi naik dan fungsi turun.

a. x < 1 atau x > 5

4. Tentukan nilai fungsi f(x) untuk x besar positif dan untuk x besar

b. 1 < x < 5

negatif.

c. –5 < x < –1 d. x < –5 atau x > –1

5. Tentukan titik-titik bantu apabila diperlukan.

e. –5 < x < 1

6. Hubungkan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1, 2, dan 5 de-

Soal SPMB, Kemam-

ngan kurva mulus dengan tetap memerhatikan langkah 3 dan 4.

puan Dasar, 2002

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh:

Gambarlah kurva y = 4 – x 2 .

Penyelesaian:

a. Titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat

1) Titik potong kurva dengan sumbu X syaratnya y = 0

sehingga 0 = 4 – x 2 ‹ x 2 =4 ‹ x = 2 atau x = –2. Jadi,

titik potong kurva dengan sumbu X adalah (–2, 0) dan (2, 0).

2) Titik potong kurva dengan sumbu Y syaratnya x = 0

sehingga y = 4 – 0 --- = 4. Jadi, titik potong kurva dengan

f (x)

sumbu Y adalah (0, 4).

Gambar 5.21

b. Titik stasioner dan jenisnya Titik stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga –2x = 0 atau x = 0. Untuk x = 0, nilai

f (0) = 4. Jadi, titik stasioner tersebut dapat adalah (0, 4). Jenis titik stasionernya ditentukan dengan membuat garis bilangan seperti Gambar 5.21. Dari garis bilangan itu tampak bahwa titik stasioner itu adalah titik balik maksimum.

c. Pada interval x < 0, nilai f '(x) positif, berarti fungsi f(x) naik, sedangkan untuk interval x > 0, nilai f '(x) negatif, berarti fungsi f(x) turun.

d. Untuk x = + ' , nilai f(x) = 4 –(+ ' ) 2 = – ' (besar negatif) dan untuk x = – ' , nilai

f (x) = 4 – (– ' ) 2 =– ' (besar negatif).

232 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

e. Titik bantu

Untuk x = 1 maka y = 4 – 1 2 = 3 dan untuk x = –1

y = 4 – (–1) 2 = 3. Jadi, diperoleh titik bantu (1, 3)

dan (–1, 3).

(-2, 0) (2, 0)

f. Dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh

OX

pada langkah a, b, dan e, tetapi tetap memerhatikan

langkah c dan d diperoleh grafik y = 4 – x 2 seperti Gambar 5.22. Gambar 5.22

Problem Solving

Gambarlah kurva y = (x – 1) 2 (x + 2).

Penyelesaian:

a. Titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat

1) Titik potong kurva dengan sumbu X syaratnya y = 0 sehingga 0 = (x – 1) 2 (x +2) ‹ x = 1 atau x = –2. Jadi, titik potong kurva dengan sumbu X adalah (1, 0) dan (–2, 0).

2) Titik potong kurva dengan sumbu Y syaratnya x = 0 sehingga y = (0 – 1) 2 (0 + 2) = 2. Jadi, titik potong kurva dengan sumbu Y adalah (0, 2).

b. Titik stasioner dan jenisnya Titik stasioner diperoleh jika f '(x) = 0. Misalkan u(x) = (x – 1) 2 =x 2 – 2x + 1 dan v (x) = x + 2 maka u'(x) = 2x – 2 dan v'(x) = 1. Oleh karena itu, f '(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

= (2x – 2)(x + 2) + x 2 – 2x + 1

turun

= 2x 2 + 2x – 4 + x 2 – 2x + 1

naik naik

= 3x 2 –3

+++ --- +++

f Jika f '(x) = 0 maka 3x (x) –3=0 ‹ x = 1 atau x = –1.

Untuk x = 1 maka f(1) = (1 – 1) 2 (1 + 2) = 0.

Gambar 5.23

Untuk x = –1 maka f(–1) = (–1 – 1) 2 (–1 + 2) = (–2) 2 (1) = 4. Jadi, titik stasionernya adalah (1, 0) dan (–1, 4). Jenis titik stasionernya dapat ditentukan dengan membuat garis bilangan seperti Gambar 5.23. Dari garis bilangan tersebut, tampak bahwa titik (–1, 4) adalah titik balik maksimum, sedangkan titik (1, 0) adalah titik balik minimum.

c. Pada interval x < –1 dan x > 1, nilai f '(x) positif, berarti fungsi f(x) naik, sedangkan untuk interval –1 < x < 1, nilai f '(x) negatif berarti fungsi f(x) turun.

d. Untuk x = + ' , nilai f(x) = ((+ ' ) – 1) 2 ((+ ' ) + 2) = + ' (besar positif), untuk x = – ' ,

nilai f(x) = ((– ' ) – 1) 2 ((– ' ) + 2) = – ' (besar negatif).

e. Titik bantu

Untuk x = 2 maka y = (2 – 1) 2 (2 + 2) = 4.

Jadi, diperoleh titik bantu (2, 4).

Turunan 233

f. Dengan menghubungkan titik-titik yang

diperoleh pada langkah a, b, dan e, tetapi

tetap memerhatikan langkah c dan d, (2, 4)

(-1, 4)

diperoleh grafik y = (x – 1) 2 (x + 2) seperti

Uji Kompetensi 9

Kerjakan di buku tugas

Gambarlah kurva dari fungsi-fungsi berikut.

10. f(x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 8