Model Matematika Nilai Ekstrem Fungsi

H. Model Matematika Nilai Ekstrem Fungsi

Pemodelan matematika yang berkaitan dengan nilai ekstrem (maksimum dan minimum) suatu fungsi dapat ditentukan dari ber- bagai persoalan. Untuk dapat memahami bagaimana memodelkan, menyelesaikan, dan menafsirkannya, perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Jumlah bilangan x dan y adalah 40. Hasil kalinya adalah p.

a. Tulislah persamaan yang menyatakan hubungan x dan y.

b. Nyatakan p dalam x.

c. Tentukan kedua bilangan tersebut agar mempunyai hasil kali terbesar.

Penyelesaian:

a. Secara rinci, permasalahan di atas dapat diselesai-

titik balik

kan sebagai berikut. Dari soal diketahui x + y = 40

maksimum

dan p = xy.

b. Karena x + y = 40 ‹ y = 40 – x maka p = x(40 – x) = 40x – x 2 . Tampak bahwa p merupakan fungsi kuadrat

dalam x sehingga dapat ditulis p(x) = 40x – x 2 .

Gambar 5.25

234 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

c. Karena p(x) merupakan fungsi kuadrat dengan koefisien x 2 adalah –1 < 0, maka kurvanya berbentuk parabola

terbuka ke bawah. Karena terbuka ke bawah, maka titik Y baliknya adalah titik balik maksimum. Perhatikan (20, 400)

f (x) = 0

ilustrasinya. Gradien garis singgung di titik balik maksimum adalah nol

p (x) = 40x – x 2

karena arahnya mendatar. Artinya, p'(x) = 0 ‹

40 – 2x = 0.

Dengan demikian, diperoleh 2x = 40 ‹ x = 20.

20 40 X

Karena x = 20 titik balik maksimum, maka nilai maksimum-

nya adalah p(20) sehingga p(20) = 40(20) – (20) 2 = 400.

Gambar 5.26

Perhatikan grafik di samping. Jadi, hasil kali maksimum yang dimaksud adalah p = 400.

Secara singkat, soal di atas dapat dikerjakan sebagai berikut.

a. Persamaan yang menyatakan hubungan x dan y adalah x + y = 40 atau y = 40 – x.

b. Hasil kalinya p. Dengan demikian, = xy p ‹ p = x(40 – x) ‹ p = 40x – x 2 ‹ p (x) = 40x – x 2

c. Hasil kali terbesar diperoleh jika p'(x) = 0. Berarti,

40 – 2x = 0 ‹ 2x = 40 ‹ x = 20. Karena y = 40 – x maka y = 40 – 20 = 20. Jadi, kedua bilangan tersebut adalah x = 20 dan y = 20.

Problem Solving

Diketahui fungsi biaya total C = Q 3 – 7 Q 2 + 12Q – 5 (dalam jutaan rupiah).

3 2 Fungsi biaya marjinal (dinyatakan M C ) adalah turunan dari fungsi biaya total terhadap Q , dengan Q menyatakan jumlah unit produk. Tentukan

a. fungsi biaya marjinal;

b. unit produksi agar biaya total minimum dan tentukan pula biaya yang minimum itu.

Jadi, fungsi biaya marginal adalah M C =Q 2 – 7Q + 12.

b. Agar biaya total minimum, M C = 0. Dengan kata lain, dC =0

dQ

Turunan 235

Q 2 – 7Q + 12 = 0 ‹ (Q – 5)(Q – 2) = 0

‹ Q – 5 = 0 atau Q – 2 = 0 ‹ Q = 5 atau Q = 2

Jadi, agar biaya total minimum, jumlah produksi adalah 5 unit atau 2 unit. Biaya total minimumnya adalah sebagai berikut.

Untuk Q = 5 maka C = () 5 <

3 2 () 5 + () 12 5 < 5 = 9,1667 atau Rp9.166.700,00.

Untuk Q = 2 maka C = () 2 < () 2 + () 12 2 < 5 = 7,6667 atau Rp7.666.700,00.

Soal Terbuka

Kerjakan di buku tugas

1. Suatu parabola dinyatakan

dengan persamaan y = 9 – x 2 .

Daerah di atas sumbu X dan

di bawah parabola dibuat 2 = 9 – 2x

persegi panjang dengan dua

(x, y)

buah titik sudutnya terletak pada sumbu X, sedangkan dua buah titik sudut lainnya terletak pada parabola, seperti -3

pada gambar di samping.

Gambar 5.27

a. Jika L menyatakan luas persegi panjang itu, nyatakanlah L sebagai fungsi x.

dL

b. Tentukanlah

dx

c. Tentukan nilai x yang menyebabkan L maksimum.

d. Berapakah nilai L maksimum yang dapat dicapai?

2. Diketahui fungsi biaya total C = (Q – 2) 3 . Tentukan fungsi biaya marginal dan berapa unit yang harus diproduksi dengan biaya produk minimum.

Uji Kompetensi 10

Kerjakan di buku tugas

1. Diketahui jumlah bilangan x dan y adalah 16. Hasil kalinya adalah p.

a. Tulislah persamaan yang menyatakan hubungan x dan y.

b. Nyatakan p dalam x.

c. Tentukan kedua bilangan tersebut agar mempunyai hasil kali terbesar.

2. Selembar karton berbentuk persegi, dengan panjang sisi 24 cm. Pada keempat titik sudutnya dibuat potongan berbentuk persegi dengan ukuran sama. Sisa potongan dilipat ke atas sehingga diperoleh sebuah bentuk kotak terbuka. Tentukan volume kotak terbesar yang dapat dibuat.

236 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

3. Selembar seng lebarnya 16 meter. Di sepanjang tepinya dilipat ke atas untuk dijadikan sebuah talang dengan sisi-sisi samping tegak ke atas. Berapa meterkah tepi tersebut harus dilipat agar kapasitas talang maksimum?

4. Luas suatu kertas sama dengan 4 cm 2 . Bidang gambar pada kertas itu dibatasi dengan batas atas dan batas bawah masing-masing selebar 15 cm, sedangkan batas kiri dan batas kanan masing-masing selebar 10 cm. Perhatikan gambar di

15 cm

samping.

a. Jika panjang kertas sama dengan x

cm dan L adalah luas bidang 10 cm gambar, nyatakan luas L sebagai

10 cm

fungsi dari x.

15 cm

b. Tentukan panjang dan lebar kertas itu agar luas bidang gambar x

Gambar 5.28

maksimum.

5. Sekeping papan tripleks berbentuk persegi panjang ABCD dengan ukuran panjang

18 cm dan lebar 15 cm. Papan tripleks itu dipotong pada bagian pojok-pojoknya sepanjang garis PQ, QR, RS, dan SP dengan ukuran PB = QC = RD = SA = x cm. Dengan pemotongan itu akan diperoleh

18 cm

bentuk geometri segi empat PQRS

(bagian yang diarsir), seperti pada C

18 – x x

gambar di bawah.

15 – x

a. Q Nyatakan luas segi empat PQRS itu dalam L sebagai fungsi dari x.

15 cm

dL

b. Tentukan

dx

c. Tentukan berapa ukuran x agar L

15 – x

maksimum.

18-x x

d. Tentukan L maksimum yang

dapat dicapai.

Gambar 5.29

6. Segitiga OPQ dilukiskan pada bidang Cartesius seperti pada Gambar 5.30, Y Q (0, q) dengan OP = p cm, dan OQ = q cm. Akan dibuat persegi panjang OKLM, dengan K pada OP, L pada PQ, dan M

L (x, y)

pada OQ. Misalkan titik L mempunyai M koordinat (x, y).

a. Nyatakan luas persegi panjang OKLM sebagai fungsi dari x.

K P (p, 0) X

b. Tentukan luas maksimum persegi panjang OKLM itu.

Gambar 5.30

7. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh sebuah persamaan C = 2Q –24Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini akan minimum?

8. Soal analog dengan nomor 7. Hitunglah biaya total minimum perusahaan.

Turunan 237

Refleksi

Tentu kalian memperoleh banyak hal memudahkan kalian? Berikan beberapa yang berkaitan dengan turunan. Ternyata, contoh yang berkaitan dengan nilai ekstrem banyak kasus yang dapat diselesaikan dalam kehidupan di sekitarmu. dengan konsep turunan. Apakah hal ini

Rangkuman

1. Apabila fungsi f diferensiabel untuk setiap x dalam daerah asal D f (D f „ R), turunan fungsi f adalah

fx ( + h ) < fx ()

f '(x) = h lim

, jika limitnya ada.

() df x

dy

Notasi Leibniz dari f '(x) adalah

2. Gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik berabsis x = a adalah m = f '(a).

3. Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(x 1 ,y 1 ) adalah y –y 1 = m(x – x 1 ), dengan m = f '(x 1 ).

4. Misalkan u dan v adalah fungsi dalam variabel x, n bilangan rasional, dan c kon- stanta.

a. Jika f(x) = cu(x), nilai f '(x) = cu'(x).

b. Jika f(x) = u(x) + v(x), nilai f '(x) = u'(x) + v'(x).

c. Jika f(x) = u(x) v(x), nilai f '(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x). ux ()

, nilai f '(x) = v

ux vx ()()

< ux vx v

d. Jika f(x) =

vx ()

( vx () )

e. Jika f(x) = (u(x)) n , nilai f '(x) = n(u(x)) n –1 u '(x).

5. Misalkan fungsi f kontinu pada interval I dan diferensiabel (dapat diturunkan) di setiap titik pada interval tersebut.

a. Jika f '(x) > 0 untuk setiap x pada interval I, fungsi f dikatakan fungsi naik pada interval I.

b. Jika f'(x) < 0 untuk setiap x pada interval I, fungsi f dikatakan fungsi turun pada interval I.

6. Titik stasioner adalah suatu titik pada kurva di mana gradien garis singgung kurva di titik tersebut bernilai nol. Nilai fungsi f di titik tersebut dinamakan nilai stasioner. Jenis-jenis titik stasioner adalah sebagai berikut.

a. Titik balik minimum jika untuk x < a, nilai f '(x) < 0; untuk x = a, nilai f '(a) = 0; untuk x > a nilai f '(x) > 0.

b. Titik balik maksimum jika untuk x < a, nilai f '(x) > 0; untuk x = a, nilai f '(a) = 0; untuk x > a, nilai f '(x) < 0.

c. Titik belok horizontal jika berlaku salah satu • untuk x < a, nilai f '(x) > 0; untuk x = a, nilai f '(a) = 0; untuk x > a nilai f '(x) > 0, • untuk x < a, nilai f '(x) < 0; untuk x = a; nilai f '(a) = 0; untuk x > a nilai f '(x) < 0.

238 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

7. Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dalam interval tertutup dapat diperoleh dari dua kemungkinan.

a. Nilai-nilai stasioner fungsi (nilai balik maksimum atau nilai balik minimum).

b. Nilai-nilai fungsi pada ujung interval.

8. Misalkan fungsi f kontinu dalam interval b < x < c yang memuat x = a. Turunan pertama dan turunan kedua fungsi f terdefinisi pada interval tersebut.

a. Jika f '(a) = 0 dan f ''(a) < 0, titik (a, f(a)) adalah titik balik maksimum.

b. Jika f '(a) = 0 dan f ''(a) > 0, titik (a, f(a)) adalah titik balik minimum.

c. Jika f ''(a) = 0 dan f ''(x) berubah tanda di sekitar a, titik (a, f(a)) merupakan titik belok horizontal .

Latihan Ulangan Harian V