Menentukan Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai (Pengayaan)

C. Menentukan Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai (Pengayaan)

Aturan rantai adalah suatu metode atau cara untuk menentukan turunan fungsi komposisi atau fungsi majemuk. Untuk itu, kita mulai pembahasan ini dengan mengingat kembali pengertian fungsi kom- posisi.

214 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

Pada bab sebelumnya, kalian telah mem-

pelajari tentang fungsi komposisi. Jika diketahui

fungsi f: A A B dan g: B A C seperti pada

gambar di samping, fungsi F: A A C disebut

fungsi komposisi dari f dan g dengan rumus

F (a) = (g º f)(a) = g(f(a))

g f F = g(f(a)) º

Notasi ”g º f” dibaca g bundaran f, yaitu

Gambar 5.2

komposisi fungsi yang mengerjakan fungsi f lebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g.

Seperti yang telah disinggung sebelum-

g nya, aturan rantai dapat digunakan untuk f menentukan turunan fungsi-fungsi komposisi.

f Misalkan terdapat fungsi komposisi (y) = f(g(x))

g (x) = y

f F (y + k) = f(g(x + h)) (x) = f(g(x)) seperti pada diagram di samping. Dengan mengingat definisi turunan suatu

x+h

g (x + h) = y + k

g fungsi, dapat ditentukan f Fx ( + h ) < Fx ()

F '(x) = lim h A 0

h Gambar 5.3

h Tes Mandiri

Karena g(x + h) = y + k maka k = g(x + h) – y ‹ k = g(x + h) – g(x) Kerjakan di buku tugas sehingga diperoleh

Turunan fungsi f (x) =

fy ( + k ) < fy () gx ( + h ) < gx ()

4 ( 2 3 2 x < 3 ) adalah ....

F '(x) = lim h A 0 ×

= f '(y) × g'(x)

b. 4 2 x 2 < 3

= f '(g(x)) × g'(x)

16 x

Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita peroleh kesimpulan sebagai c. 4

berikut.

3 2 x < 3 d. < 3x 4 2 2 x < 3

Jika F(x) = f(g(x)) maka F '(x) = f '(g(x)) g'(x). e. 3 x 4 2 2 x < 3

Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) maka

Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 2001

dy dy du

× dx du dx

Rumus penurunan fungsi komposisi seperti inilah yang disebut aturan rantai .

Turunan 215

Contoh:

Tentukan turunan fungsi f(x) = 2(3x + 1) 2 .

Penyelesaian:

Cara 1 :

f (x) = 2(3x + 1) 2 = 2(9x 2 + 6x + 1) = 18x 2 + 12x + 2 Oleh karena itu, f '(x) = 36x + 12. Cara 2:

dy

du

Misalkan y = f(x) = 2u 2

, dengan u = 3x + 1. Berarti,

= 4u dan

dx Dengan aturan rantai, diperoleh dy dy du

du

f '(x) = = × = 4u × 3 = 4(3x + 1) × 3 = 12(3x + 1) = 36x + 12. dx du dx

Problem Solving

Tentukan turunan fungsi F(x) = 3(x 2 – 2x) 5 .

Penyelesaian:

Misalkan y = F(x) = 3u 5 , dengan u = x 2 – 2x. Dengan demikian,

dy du = 15u 4 dan

= 2x – 2. du

dx Dengan aturan rantai, diperoleh

dy dy du =

× dx

du dx = 15u 4 × (2x – 2) = 15(x 2 – 2x) 4 (2x – 2) = 30(x – 1)(x 2 – 2x) 4

Rumus penurunan fungsi dengan aturan rantai dapat dikembangkan untuk komposisi lebih dari dua fungsi. Misalkan untuk tiga fungsi f, g, dan h. Jika F(x) = f(g(h(x))) maka F '(x) = f(g(h(x))) × g'(h(x)) × h'(x). Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) maka

dy dy du dv

× × dx du dv dx

216 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS

Contoh:

Tentukan turunan fungsi F(x) = ((2x 3 –x 2 ) + 1) 5 .

Penyelesaian:

F (x) = ((2x 3 –x 2 ) + 1) 5

Misalkan y = u 5 , u = v + 1, dan v = 2x 3 –x 2 . Dengan demikian,

= 6x 2 – 2x = 2x(3x – 1)

du dv dx = 5u 4 × 1 × 2x(3x – 1)

= 5((2x 3 –x 2 ) + 1) 4 )(2x (3x – 1) = 10x(3x – 1)((2x 3 –x 2 ) + 1) 4

Uji Kompetensi 5

Kerjakan di buku tugas

Dengan aturan rantai, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini.

4. F (x) = ( 2 + 3 x ) x < 1 10. F(x) =

( 2 x < 1 ) ( x <2 )

5. F (x) = 3x 2 +

11. F(x) =

6. F (x) = ((x 5 – 7x + 1) 5 – 1) 2 12. F(x) =