Menentukan Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai (Pengayaan)
C. Menentukan Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai (Pengayaan)
Aturan rantai adalah suatu metode atau cara untuk menentukan turunan fungsi komposisi atau fungsi majemuk. Untuk itu, kita mulai pembahasan ini dengan mengingat kembali pengertian fungsi kom- posisi.
214 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Pada bab sebelumnya, kalian telah mem-
pelajari tentang fungsi komposisi. Jika diketahui
fungsi f: A A B dan g: B A C seperti pada
gambar di samping, fungsi F: A A C disebut
fungsi komposisi dari f dan g dengan rumus
F (a) = (g º f)(a) = g(f(a))
g f F = g(f(a)) º
Notasi ”g º f” dibaca g bundaran f, yaitu
Gambar 5.2
komposisi fungsi yang mengerjakan fungsi f lebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g.
Seperti yang telah disinggung sebelum-
g nya, aturan rantai dapat digunakan untuk f menentukan turunan fungsi-fungsi komposisi.
f Misalkan terdapat fungsi komposisi (y) = f(g(x))
g (x) = y
f F (y + k) = f(g(x + h)) (x) = f(g(x)) seperti pada diagram di samping. Dengan mengingat definisi turunan suatu
x+h
g (x + h) = y + k
g fungsi, dapat ditentukan f Fx ( + h ) < Fx ()
F '(x) = lim h A 0
h Gambar 5.3
h Tes Mandiri
Karena g(x + h) = y + k maka k = g(x + h) – y k = g(x + h) – g(x) Kerjakan di buku tugas sehingga diperoleh
Turunan fungsi f (x) =
fy ( + k ) < fy () gx ( + h ) < gx ()
4 ( 2 3 2 x < 3 ) adalah ....
F '(x) = lim h A 0 ×
= f '(y) × g'(x)
b. 4 2 x 2 < 3
= f '(g(x)) × g'(x)
16 x
Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita peroleh kesimpulan sebagai c. 4
berikut.
3 2 x < 3 d. < 3x 4 2 2 x < 3
Jika F(x) = f(g(x)) maka F '(x) = f '(g(x)) g'(x). e. 3 x 4 2 2 x < 3
Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) maka
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 2001
dy dy du
× dx du dx
Rumus penurunan fungsi komposisi seperti inilah yang disebut aturan rantai .
Turunan 215
Contoh:
Tentukan turunan fungsi f(x) = 2(3x + 1) 2 .
Penyelesaian:
Cara 1 :
f (x) = 2(3x + 1) 2 = 2(9x 2 + 6x + 1) = 18x 2 + 12x + 2 Oleh karena itu, f '(x) = 36x + 12. Cara 2:
dy
du
Misalkan y = f(x) = 2u 2
, dengan u = 3x + 1. Berarti,
= 4u dan
dx Dengan aturan rantai, diperoleh dy dy du
du
f '(x) = = × = 4u × 3 = 4(3x + 1) × 3 = 12(3x + 1) = 36x + 12. dx du dx
Problem Solving
Tentukan turunan fungsi F(x) = 3(x 2 – 2x) 5 .
Penyelesaian:
Misalkan y = F(x) = 3u 5 , dengan u = x 2 – 2x. Dengan demikian,
dy du = 15u 4 dan
= 2x – 2. du
dx Dengan aturan rantai, diperoleh
dy dy du =
× dx
du dx = 15u 4 × (2x – 2) = 15(x 2 – 2x) 4 (2x – 2) = 30(x – 1)(x 2 – 2x) 4
Rumus penurunan fungsi dengan aturan rantai dapat dikembangkan untuk komposisi lebih dari dua fungsi. Misalkan untuk tiga fungsi f, g, dan h. Jika F(x) = f(g(h(x))) maka F '(x) = f(g(h(x))) × g'(h(x)) × h'(x). Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) maka
dy dy du dv
× × dx du dv dx
216 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Contoh:
Tentukan turunan fungsi F(x) = ((2x 3 –x 2 ) + 1) 5 .
Penyelesaian:
F (x) = ((2x 3 –x 2 ) + 1) 5
Misalkan y = u 5 , u = v + 1, dan v = 2x 3 –x 2 . Dengan demikian,
= 6x 2 – 2x = 2x(3x – 1)
du dv dx = 5u 4 × 1 × 2x(3x – 1)
= 5((2x 3 –x 2 ) + 1) 4 )(2x (3x – 1) = 10x(3x – 1)((2x 3 –x 2 ) + 1) 4
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Dengan aturan rantai, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini.
4. F (x) = ( 2 + 3 x ) x < 1 10. F(x) =
( 2 x < 1 ) ( x <2 )
5. F (x) = 3x 2 +
11. F(x) =
6. F (x) = ((x 5 – 7x + 1) 5 – 1) 2 12. F(x) =