14
Persamaan diferensial bisa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sembarang y terhadap peubah
variabel x, persamaan ini dapat pula melibatkan y itu sendiri, fungsi x yang diberikan, dan konstanta. Contoh persamaan diferensial biasa sebagai berikut :
1 16
4 +
= x dx
dy .
2 dx
ydx xdy
6 =
+ .
Persamaan diferensial biasa dibagi menjadi dua, yakni persamaan diferensial linier orde satu dan persamaan linier orde dua.
2.2.1 Definisi 8
Persamaan diferensial orde satu secara umum dinyatakan sebagai ,
, =
y y
x F
. Jika dx
dy y
= , maka
, ,
= y
y x
F dapat ditulis
, ,
= dx
dy y
x F
. 2.1
Persamaan 2.1 merupakan persamaan diferensial yang dinyatakan secara implisit. Persamaan 2.1 dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai
, y
x f
dx dy =
. 2.2
Waluya 2006 Contoh persamaan diferensial orde satu sebagai berikut.
Contoh 5:
1. 2
2 1
= −
+
x
e y
y 2.
2 =
− −
+ x
e y
y
x
15
2.2.2 Solusi Persamaan
Diferensial Linier Orde Satu
Suatu fungsi
x y
y =
dinyatakan solusi persamaan diferensial ,
, =
y y
x F
apabila x
y y
= atau turunannya yakni y’ memenuhi persamaan
diferensial tersebut.
Contoh 6:
1
2
+ = x
y adalah solusi persamaan diferensial
x y
2 =
. Demikian pula
c x
y +
=
2
untuk c adalah konstanta, merupakan solusi persamaan diferensial
x y
2 =
. Solusi 1
2
+ = x
y disebut solusi khusus dan
c x
y +
=
2
disebut solusi umum.
2.2.3 Persamaan Diferensial Linier Orde Dua
Persamaan diferensial
berbentuk ,
, ,
= y
y y
x f
disebut persamaan orde dua, dimana
dx dy
y =
dan
2 2
dx y
d y
= Hutahean, 1993.
Contoh 7:
1. 0 sin
tan 1
2
= −
+ +
x y
x y
y x
merupakan persamaan diferensial orde dua. 2.
2 sin
= +
+ −
+ x
y xy
xy xy
bukan merupakan persamaan diferensial orde dua.
2.2.4 Definisi 9
Bila ,
, ,
= y
y y
x f
linier dalam y, y’, dan y’’ maka persamaan diferensial
, ,
, =
y y
y x
f disebut persamaan diferensial linier orde dua.
Secara umum persamaan diferensial orde dua berbentuk : ;
x g
y x
c y
x b
y x
a =
+ +
2.3 dimana ax, bx, cx dan gx merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada suatu
selang I dengan ≠
x a
, dan dx
dy y
= . Waluya, 2006.
16
2.2.5 Definisi 10
Persamaan diferensial linier orde dua 2.3 disebut homogen apabila =
x g
dan disebut tidak homogen apabila ≠
x g
Waluya, 2006.
Contoh 8:
1. Persamaan diferensial 3
sin =
+ +
y x
y xy
adalah persamaan diferensial linier orde dua homogen karena gx = 0.
2. Persamaan diferensial x
y y
x xy
sin 5
2
= +
+ adalah persamaan diferensial
linier orde dua tidak homogen karena ≠
x g
.
2.2.6 Solusi Persamaan
Diferensial Linier Orde Dua
Fungsi x
φ dikatakan solusi persamaan diferensial 2.3 pada selang I,
apabila x
φ mempunyai turunan kedua dan memenuhi hubungan 2.3 pada
selang I, yakni x
g x
x c
x x
b x
x a
= +
+ φ
φ φ
untuk setiap I
x ∈ .
2.2.7 Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Homogen dengan Koefisien Konstanta
