45
x l
n t
l c
n B
t l
c n
A t
x u
n n
n
π π
π ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + =
∑
∞ =
2 1
cos 2
1 sin
2 1
cos ,
1
Dengan konversi deret Fourier
x l
n x
l A
l n
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
= 2
1 cos
2 π
φ
n = 1, 2,...
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
=
l n
x l
n x
c n
B 2
1 cos
2 1
2 π
ψ π
. n = 1, 2,...
4.2 Visualisasi Deret Fourier Dalam Penerapan Solusi Persamaan Gelombang Satu Dimensi.
4.2.1 Kasus persamaan gelombang dengan kondisi Dirichlet.
Contoh 4.1: Sebuah gelombang
xx tt
u u
144 =
dengan kondisi awal x +2 dan kecepatan awal 0. Gelombang tersebut digetarkan pada
4 x
dan
t
dalam kondisi Dirichlet
, ,
t l
u t
u =
=
. Penyelesaian:
Dipunyai
xx tt
u u
144 =
untuk
1 x
,
, ,
t l
u t
u =
=
,
2 ,
+ =
= x
x x
u φ
, dan
, =
= x
x u
t
ψ
Misalkan solusi persamaan gelombang di atas adalah ux,t=Xx.Tt. Diperoleh
. t
T x
X u
t T
x X
u
xx x
= =
dan
. t
T x
X u
t T
x X
u
tt t
= =
.
46
Diperoleh
T T
X X
T X
T X
u u
xx tt
144 .
144 .
144 =
⇔ =
⇔ =
. 4.21
Tulis
λ −
= =
X X
T T
144
dengan
2
β λ =
dan
β
konstan. 4.22
Dari persamaan
λ −
= =
X X
T T
144
ada dua persamaan diferensial biasa Xx dan Tt yaitu :
1.
= +
⇔ =
− X
X X
X λ
λ
2.
144 144
= +
⇔ =
− T
T T
T λ
λ
. Berdasarkan landasan teori 2.2.7 diperoleh solusi persamaan diferensial biasa
homogen yaitu : 1.
x D
x C
x X
β β
sin cos
+ =
2.
t B
t A
t T
β β
12 sin
12 cos
+ =
. A, B, C, D konstan.
Dari kondisi Dirichlet
, ,
t l
u t
u =
=
Diperoleh
, =
t u
. cos
= ⇔
= +
⇔ =
+ ⇔
= ⇔
C C
DSin C
X
dan
, =
t l
u
47
. sin
sin sin
cos =
⇔ =
+ ⇔
= +
⇔ =
⇔
l D
l D
l D
l C
l X
β β
β β
Dari persamaan di atas
≠ D
, sehingga
sin =
l β
. l
n n
l π
β π
β =
⇔ =
⇔
Dari persamaan 4.22 diperoleh
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= l
n
n
π λ
.
sehingga
x l
n D
x X
n
π sin
=
, ambil D = 1.
Diperoleh
x l
n D
x X
n
π sin
=
.
Jadi
x l
n t
l n
B t
l n
A t
x u
n n
n
π π
π sin
12 sin
12 cos
, ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
=
n=1,2,3,.. Jadi solusi umum dari persamaan gelombang dalam kondisi Dirichlet adalah
x l
n t
l n
B t
l n
A t
x u
n n
n
π π
π sin
12 sin
12 cos
,
1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
∑
∞ =
4.23 Dari kondisi awal
2 ,
+ = x
x u
. Diperoleh
∑
∞ =
+ =
+ ⇔
+ =
1
2 sin
sin cos
2 ,
n n
n
x x
l n
B A
x x
u π
2 sin
1
+ =
⇔
∑
∞ =
x x
l n
A
n n
π
Dengan konversi deret Fourier Sinus diperoleh
x d
x n
x A
n
∫
+ =
1
sin 2
2 π
48
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
+ =
∫
π π
n x
n d
x 1
cos 2
2
1
[ ]
1
2 cos
cos 2
2 +
− +
− =
∫
x d
x n
x n
x n
π π
π
1
cos 1
cos 2
2 ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ −
+ −
=
∫
x n
xd n
n x
n x
n π
π π
π π
2 2
1
cos 3
sin 2
2 sin
1 cos
2 2
π π
π π
π π
π π
π n
n n
n n
x n
n x
n x
n +
− −
− =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
− +
− =
Dari persamaan 4.23 diturunkan terhadap t diperoleh
x l
n t
l n
l n
B t
l n
l n
A t
x u
n n
n t
π π
π π
π sin
12 cos
12 12
sin 12
,
1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
=
∑
∞ =
Dari kondisi awal
, =
x u
t
. Diperoleh
sin cos
12 sin
12 ,
1
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− ⇔
=
∑
∞ =
x l
n l
n B
l n
A x
u
n n
n t
π π
π
sin 12
1
= ⇔
∑
∞ =
x l
n l
n B
n n
π π
. Dengan konversi deret Fourier Sinus diperoleh
=
n
B
Jadi solusi persamaan diferensial parsial dari persamaan gelombang dimensi satu dengan kondisi Dirichlet adalah
sin 12
cos cos
3 sin
2 2
,
1 2
2
x n
t n
n n
n n
n t
x u
n
π π
π π
π π
π
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
− −
=
.
Akan ditunjukan
, t
x u
merupakan fungsi periodik. Ambil sembarang
R t
x ∈
,
. Pilih
π
2 =
T
. Diperoleh
2 sin
2 12
cos cos
3 sin
2 2
2 ,
1 2
2
π π
π π
π π
π π
π π
+ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
− −
= +
∑
∞ =
x n
t n
n n
n n
n t
x u
n
49
. ,
sin 12
cos cos
3 sin
2 2
. cos
1 .
sin 1
. 12
cos cos
3 sin
2 2
2 sin
2 12
cos cos
3 sin
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2
t x
u x
n t
n n
n n
n n
x n
x n
t n
n n
n n
n x
n t
n n
n n
n n
n n
n
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− −
− =
+ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
− −
= +
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− −
− =
∑ ∑
∑
∞ =
∞ =
∞ =
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
jadi
sin 12
cos cos
3 sin
2 2
,
1 2
2
x n
t n
n n
n n
n t
x u
n
π π
π π
π π
π
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
− −
=
periodik dengan periode
π
2
. Berikut pergerakan
, t
x u
pada saat
= t
hingga
0009 ,
= t
Gambar 4. Plot persamaan gelombang Contoh 4.1 di dengan kondisi Dirichlet pada berbagai waktu
= t
hingga
0009 ,
= t
Pada Gambar 3 pergerakan gelombang dengan kondisi Dirichlet, x merupakan panjang gelombang. Untuk waktu yang berbeda terlihat satu bentuk, hal ini disebabkan selang
waktu yang sangat pendek sehingga hanya tampak satu bentuk pergerakan gelombang. Untuk waktu yang lebih panjang, misal pada selang
= t
hingga
09 ,
= t
, maka pergerakan
, t
x u
digambarkan sebagai berikut.
Gambar 5. Plot persamaan gelombang contoh 4.1 dengan kondisi Dirichlet pada berbagai
waktu
= t
hingga
09 ,
= t
.
50
Deskripsi Gambar 4 sebagai berikut: 1
Warna merah yang pertama menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
= t
. 2
Warna hijau menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
015 ,
= t
. 3
Warna kuning menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
030 ,
= t
. 4
Warna biru menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
045 ,
= t
5 Warna ungu menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
060 ,
= t
. 6
Warna biru muda menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
075 ,
= t
. 7
Warna merah yang kedua menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
09 ,
= t
. Gambar 3 dan 4 memperlihatkan bahwa gelombang untuk t yang semakin besar,
solusinya akan membentuk solusi yang periodik, hal ini disebabkan karena karakteristik dari gelombang adalah bersifat periodik.
4.2.2 Kasus Persamaan Gelombang dengan kondisi Neuman.
