Definisi 11 Definisi 12 Definisi 13 Deret

23

2.5.1 Definisi 11

Misalkan f fungsi kontinu pada interval L x L − dengan periode π 2 . Maka deret Fourier dari fx didefinisikan ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 1 sin cos 2 1 n n n L x n b L x n a a x f π π 2.7 dengan koefisien dx L x n x f L b dx L x n x f L a dx x f L a L L n L L n L L π π sin 1 cos 1 1 ∫ ∫ ∫ − − − = = = Edwards, 1989, 538. Contoh 10: Tentukan deret Fourier dari fungsi { . , , 1 − = x x x f π ρ , pada interval π π − x . Penyelesaian : Dipunyai { . , , 1 − = x x x f π ρ , pada interval π π − x . Diperoleh π π = ⇔ = L L 2 2 . Selanjutnya menghitung nilai ∫ − = L L dx x f L a 1 Untuk π = L , Diperoleh ∫ − = π π π dx x f a 1 24 [ ] 1 ] [ 1 1 . 1 1 1 = − = + = + = ∫ ∫ − π π π π π π π π x dx dx Jadi 1 = a . Selanjutnya menghitung nilai dx x n x f L a L L n ∫ − = π π cos 1 . Untuk π = L , didapat dx x n x f a n ∫ − = π π π π π cos 1 [ ] [ ] ] [ 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos . 1 1 cos . 1 = − = − = = + = + = ∫ ∫ ∫ − π π π π π π π π π π π π π π π n n n nx n nxdx dx x n dx x n Jadi = n a . Selanjutnya menghitung nilai dx x n x f L b L L n ∫ − = π π sin 1 . Diperoleh dx x n x f b n ∫ − = π π π π π sin 1 25 [ ] [ ] ] cos 1 [ 1 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin . 1 1 sin . 1 π π π π π π π π π π π π π π π π n n n n nx n nxdx dx x n dx x n − = + − = − = + = + = ∫ ∫ ∫ − Jadi [ ] π π n n b n cos 1 1 − = Jadi deret Fourier dari f pada selang , π π − adalah ∑ ∞ = + + = 1 sin cos 2 n n n L x n b L x n a a x f π π x n n x x x x x x x x nx n n nx n n nx n n n 1 2 sin 1 2 1 1 2 1 ...] 7 sin 7 2 5 sin 5 2 3 sin 3 2 sin 2 [ 1 2 1 ...] 7 sin 7 2 5 sin 5 2 3 sin 3 2 sin 2 [ 1 2 1 sin cos 1 1 1 2 1 ] sin cos 1 1 cos . [ 2 1 1 1 1 − − + = + + + + + = + + + + + + + + = − + = − + + = ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = π π π π π π π

2.5.2 Definisi 12

Jika fungsi f terdefinisi pada -L, L dan f merupakan fungsi genap maka deret Fourier dari f pada -L,L disebut deret Fourier cosinus dari f pada -L,L dan deret Forier tersebut berbentuk : 26 ∑ ∞ = + = 1 cos 2 n n L x n a a x f π dengan koefisien dx L x n x f L dx L x n x f L a dx x f L dx x f L a L L L n L L L ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = − − cos 2 cos 1 2 1 π π disebut deret Fourier cosinus Edwards, 1989: 555.

2.5.3 Definisi 13

Jika fungsi f terdefinisi pada ‐L, L dan f merupakan fungsi ganjil maka deret Fourier dari f pada ‐L,L disebut deret Fourier sinus dari f pada ‐L,L dan deret Forier tersebut berbentuk : ∑ ∞ = = 1 sin n n L x n b x f π dengan koefisien dx L x n x f L dx L x n x f L b L L L n ∫ ∫ = = − sin 2 sin 1 π π disebut deret fourier sinus Edwards, 1989: 555. Contoh 11: Dipunyai R R f → : , dengan 1 = x f , π x , tentukan: a. Deret Fourier cosinus dari f pada selang , π , b. Deret Fourier sinus dari f pada selang , π . Penyelesaian: a. Deret Fourier cosinus dari f pada selang , π adalah ∑ ∞ = + = 1 cos 2 n n L x n a a x f π . 27 ∫ = π π 2 dx x f a [ ] 2 2 2 1 2 = − = = = ∫ π π π π π π x dx . ∫ = π π π cos 2 dx L x n x f a n sin 1 2 cos 2 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = = ∫ π π π π nx n nxdx . Jadi deret Fourier cosinus dari f pada selang , π adalah ∑ ∞ = + = 1 cos 2 2 n L x n x f π 1 = ⇔ x f . b. Deret Fourier sinus dari f pada selang , π adalah ∑ ∞ = = 1 sin n n L x n b x f π . dx L x n x f L b L n ∫ = sin 2 π [ ] [ ] 1 1 2 1 1 2 cos 1 2 sin 2 1 + − = + − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− = = + ∫ n n n n nx n dx nx π π π π π π . Jadi deret Fourier sinus dari f pada selang , π adalah [ ] nx n x f n n sin 1 1 1 2 1 1 ∑ ∞ = + + − = π .

2.6. Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas