50
Deskripsi Gambar 4 sebagai berikut: 1
Warna merah yang pertama menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
= t
. 2
Warna hijau menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
015 ,
= t
. 3
Warna kuning menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
030 ,
= t
. 4
Warna biru menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
045 ,
= t
5 Warna ungu menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
060 ,
= t
. 6
Warna biru muda menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
075 ,
= t
. 7
Warna merah yang kedua menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
09 ,
= t
. Gambar 3 dan 4 memperlihatkan bahwa gelombang untuk t yang semakin besar,
solusinya akan membentuk solusi yang periodik, hal ini disebabkan karena karakteristik dari gelombang adalah bersifat periodik.
4.2.2 Kasus Persamaan Gelombang dengan kondisi Neuman.
Contoh 4.2 : Sebuah gelombang
xx tt
u u
400 =
dengan kondisi awal
2
x
dan kecepatan awal 0. Gelombang tersebut digetarkan pada
4 x
dan
t
dalam kondisi kondisi Neuman
, ,
t l
u t
u
x x
= =
. Penyelesaian:
Dipunyai
xx tt
u u
400 =
untuk
1 x
, ,
t l
u t
u
x x
= =
2
, x
x x
u =
= φ
, =
= x
x u
t
ψ
Misalkan solusi persamaan gelombang di atas adalah ux,t=Xx.Tt Diperoleh
. t
T x
X u
t T
x X
u
xx x
= =
dan
. t
T x
X u
t T
x X
u
tt t
= =
.
51
Diperoleh
T T
X X
T X
T X
u u
xx tt
400 .
400 .
400 =
⇔ =
⇔ =
. 4.24
Tulis
λ −
= =
X X
T T
400
dengan
2
β λ =
dan
β
konstan. 4.25
Dari persamaan
λ −
= =
X X
T T
400
ada dua persamaan diferensial biasa Xx dan Tt yaitu:
1.
, =
+ ⇔
= −
X X
X X
λ λ
2.
200 144
= +
⇔ =
− T
T T
T λ
λ
\ Berdasarkan landasan teori 2.2.7 diperoleh solusi persamaan diferensial biasa
homogen yaitu: 1.
x D
x C
x X
β β
sin cos
+ =
2.
t B
t A
t T
β β
20 sin
20 cos
+ =
A, B, C, D konstan. Dari kondisi Neuman
, ,
t l
u t
u
x x
= =
Diperoleh
, =
t u
x
cos sin
= ⇔
= +
− ⇔
= ⇔
D D
C X
dan
, =
t l
u
x
sin sin
cos sin
= −
⇔ =
+ −
⇔ =
+ −
⇔ =
⇔
l C
l C
l D
l C
l X
β β
β β
Dari persamaan di atas
≠ C
, sehingga
sin =
l β
52
l n
n l
π β
π β
= ⇔
= ⇔
Dari persamaan 4.25 diperoleh
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= l
n
n
π λ
. Sehingga
x l
n C
x X
n
π cos
=
, ambil C=1.
Diperoleh
x l
n x
X
n
π cos
=
. Jadi
x l
n t
l n
B t
l n
A t
x u
n n
n
π π
π cos
20 sin
20 cos
, ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
=
n=1,2,3,.. Jadi
solusi umum dari persamaan gelombang dalam kondisi Neuman adalah
x l
n t
l n
B t
l n
A t
x u
n n
n
π π
π cos
20 sin
20 cos
,
1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
∑
∞ =
4.26 Dari
kondisi awal
2
, x
x u
=
. Diperoleh
∑
∞ =
= +
⇔ =
1 2
2
cos sin
cos ,
n n
n
x x
l n
B A
x x
u π
2 1
cos x
x l
n A
n n
= ⇔
∑
∞ =
π
\ Dengan
konversi deret Fourier Sinus diperoleh
x d
x n
x A
n
∫
=
1 2
cos 2
π
53
[ ]
3 3
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 1
2
cos 2
sin sin
4 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 1
cos 2
sin 2
cos 2
sin 2
sin sin
2 1
sin 2
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
n n
n n
n n
x n
n x
n x
n x
n x
n x
n d
x n
n x
n x
n x
n x
n x
n xd
n x
n x
n x
xd n
x n
x n
n x
n d
x
+ +
− =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
− +
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ =
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫ ∫
∫ ∫
Dari persamaan 4.26 diturunkan terhadap t diperoleh
x l
n t
l n
l n
B t
l n
l n
A t
x u
n n
n t
π π
π π
π cos
20 cos
20 20
sin 20
,
1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
=
∑
∞ =
Dari kondisi awal
, =
x u
t
. Diperoleh
cos cos
20 sin
20 ,
1
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− ⇔
=
∑
∞ =
x l
n l
n B
l n
A x
u
n n
n t
π π
π
sin 20
1
= ⇔
∑
∞ =
x l
n l
n B
n n
π π
. Dengan konversi deret Fourier Sinus diperoleh
=
n
B
Jadi solusi PDP dari persamaan gelombang dimensi satu dengan kondisi Neuman adalah
cos 20
cos cos
2 sin
sin 4
2 ,
1 3
3 2
2
x n
t n
n n
n n
n n
t x
u
n
π π
π π
π π
π π
∑
∞ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
− =
Akan ditunjukan
, t
x u
merupakan fungsi periodik. Ambil sembarang
R t
x ∈
,
. Pilih
π
2 =
T
. Diperoleh
54
2 cos
2 20
cos cos
2 sin
sin 4
2 2
,
1 3
3 2
2
π π
π π
π π
π π
π π
π
+ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
− =
+
∑
∞ =
x n
t n
n n
n n
n n
t x
u
n
. ,
cos 20
cos cos
2 sin
sin 4
2 1
. cos
1 .
20 cos
cos 2
sin sin
4 2
2 cos
2 20
cos cos
2 sin
sin 4
2
1 3
3 2
2 1
3 3
2 2
1 3
3 2
2
t x
u x
n t
n n
n n
n n
n x
n t
n n
n n
n n
n x
n t
n n
n n
n n
n
n n
n
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
− −
= −
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
− −
= +
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
− −
=
∑ ∑
∑
∞ =
∞ =
∞ =
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
π π
Jadi
cos 20
cos cos
2 sin
sin 4
2 ,
1 3
3 2
2
x n
t n
n n
n n
n n
t x
u
n
π π
π π
π π
π π
∑
∞ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
− =
peridodik dengan periode
π
2
. Berikut pergerakan
, t
x u
pada saat
= t
hingga
0009 ,
= t
Gambar 6. Plot persamaan gelombang Contoh 4.2 dengan kondisi Neuman
pada berbagai waktu
= t
hingga
0009 ,
= t
Pada Gambar 5 pergerakan gelombang dengan kondisi Neuman, x merupakan panjang gelombang. Untuk waktu yang berbeda terlihat hanya dua bentuk, hal ini disebabkan
selang waktu yang sangat pendek sehingga hanya tampak dua bentuk pergerakan gelombang. Untuk waktu yang lebih panjang, misal pada selang
= t
hingga
09 ,
= t
, maka pergerakan
, t
x u
digambarkan sebagai berikut:
55
Gambar 7. Plot persamaan gelombang Contoh 4.2 dengan kondisi Neuman pada berbagai waktu
= t
hingga
09 ,
= t
Deskripsi Gambar 6 sebagai berikut: 1
Warna merah yang pertama menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
015 ,
= t
. 2
Warna biru muda menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
030 ,
= t
. 3
Warna ungu menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
045 ,
= t
. 4
Warna biru tua y menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
060 ,
= t
5 Warna kuning menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
075 ,
= t
. 6
Warna hijau menunjukkan pergerakan
, t
x u
untuk
090 ,
= t
. Gambar 5 dan 6 memperlihatkan bahwa gelombang untuk t yang semakin besar,
solusinya akan membentuk solusi periodik dengan periode
π
2
, hal ini disebabkan karena karakteristik dari gelombang adalah bersifat periodik.
4.2.3 Kasus Persamaan Gelombang dengan Kondisi Campuran.
